Revisão de Cálculo Diferencial e Integral
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- Orlando Rios
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1 Cálculo Numérico Diferencial e Integral Prof. Daniel G. Alfaro Vigo dgalfaro@dcc.ufrj.br Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ
2 Limite, continuidade e derivadas Uma das noções mais básicas e importantes em Cálculo é o conceito de limite. Definição do limite: L = lim x x0 f [Burden, 2013]. A partir do conceito de limite são introduzidos os conceito de continuidade e derivada.
3 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Continuidade Considere a função f : [a, b] R. f é contínua em x 0 [a, b] se x 0 = a lim x a + f = f (a) se x 0 = b lim x b f = f (b) se x 0 (a, b) lim x x0 f = f (x 0 ) f é contínua em [a, b] se for contínua em todo x 0 [a, b]. Se f é contínua em [a, b] escrevemos f C[a, b].
4 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Continuidade Considere a função f : [a, b] R. f é contínua em x 0 [a, b] se x 0 = a lim x a + f = f (a) se x 0 = b lim x b f = f (b) se x 0 (a, b) lim x x0 f = f (x 0 ) f é contínua em [a, b] se for contínua em todo x 0 [a, b]. Se f é contínua em [a, b] escrevemos f C[a, b]. Observação: Analogamente podemos considerar os casos quando o intervalo de definição da função é aberto ou semi-aberto e também quando a ou b correspondem aos símbolos ou +.
5 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Derivada Considere a função f : [a, b] R. A derivada de f em x 0 (a, b) é dada por f f f (x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 quando o limite existe. Se f possuir derivada em todo x 0 (a, b) dizemos que ela é derivável em (a, b). Escrevemos f C 1 (a, b).
6 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Derivada Considere a função f : [a, b] R. A derivada de f em x 0 (a, b) é dada por f f f (x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 quando o limite existe. Se f possuir derivada em todo x 0 (a, b) dizemos que ela é derivável em (a, b). Escrevemos f C 1 (a, b). A derivada nos extremos do intervalo será dada por f (a) = lim x a + f (b) = lim x b se os limites existem. f f (a) x a, f f (b) x b,
7 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Derivada Considere a função f : [a, b] R. A derivada de f em x 0 (a, b) é dada por f f f (x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 quando o limite existe. Se f possuir derivada em todo x 0 (a, b) dizemos que ela é derivável em (a, b). Escrevemos f C 1 (a, b). A derivada nos extremos do intervalo será dada por f (a) = lim x a + f (b) = lim x b f f (a) x a, f f (b) x b, se os limites existem. Podemos definir funções deriváveis nos intervalos fechados e semi-abertos: [a, b], [a, b) e (a, b]. Os conjuntos dessas funções são representados por C 1 [a, b], C 1 [a, b) e C 1 (a, b], respectivamente.
8 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Interpretação geométrica da derivada [Burden, 2013].
9 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Teorema (relação entre derivada e continuidade) Se a função f possui derivada em x 0 então ela é contínua em x 0.
10 Limite, continuidade e derivadas (cont.) Teorema (relação entre derivada e continuidade) Se a função f possui derivada em x 0 então ela é contínua em x 0. Observações As derivadas de ordens mais altas definem-se recursivamente: f (n) = (f (n 1) ), n 2. O conjunto de funções n vezes derivável em (a, b) é denotado por C n (a, b). Representações análogas usam-se no caso de um intervalo fechado ou semi-aberto.
11 Alguns teoremas importantes Teorema de Rolle Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f (a) = f (b) então existe um número c (a, b) tal que f (c) = 0.
12 Alguns teoremas importantes Teorema de Rolle Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f (a) = f (b) então existe um número c (a, b) tal que f (c) = 0. Interpretação geométrica do Teorema [Burden, 2013].
13 Alguns teoremas importantes (cont) Teorema do valor médio (Lagrange) Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um número c (a, b) tal que f (c) = f (b) f (a). b a
14 Alguns teoremas importantes (cont) Teorema do valor médio (Lagrange) Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um número c (a, b) tal que f (c) = f (b) f (a). b a Interpretação geométrica do Teorema [Burden, 2013].
15 Alguns teoremas importantes (cont) Teorema de Rolle generalizado Sejam n 1 inteiro e f uma função contínua em [a, b] derivável n vezes em (a, b). Se f (x 0 ) = f (x 1 ) = = f (x n ) em que a = x 0 < x 1 < < x n = b então existe um número c (a, b) tal que f (n) (c) = 0.
16 Alguns teoremas importantes (cont) Teorema de Taylor Sejam n 0 inteiro e f uma função n vezes continuamente derivável em [a, b] que possui derivada de ordem n + 1 em (a, b). Se x 0, x [a, b] então f = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! e existe um número ξ entre x 0 e x tal que R n (x; x 0 ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1. (x x 0 ) n + R n (x; x 0 )
17 Alguns teoremas importantes (cont) Expansão de Taylor de f centrada em x 0 f = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + R n (x; x 0 )
18 Alguns teoremas importantes (cont) Expansão de Taylor de f centrada em x 0 f = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + R n (x; x 0 ) O polinômio na variável x (para x 0 fixo) T n (x; x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k, k! k=0 é o polinômio de Taylor de ordem n de f centrado em x 0.
19 Alguns teoremas importantes (cont) Expansão de Taylor de f centrada em x 0 f = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + R n (x; x 0 ) O polinômio na variável x (para x 0 fixo) T n (x; x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k, k! k=0 é o polinômio de Taylor de ordem n de f centrado em x 0. O termo R n (x; x 0 ) é o resto (ou erro de truncamento).
20 Exemplo: f = e x Lembretes: O número de Euler e = lim n + ( n ) n 2, Temos que f (k) = dk e x dx k = e x. T n (x; x 0 ) = e x 0 + e x 0 (x x 0 ) + + ex 0 R n (x; x 0 ) = = e x 0 n (x x 0 ) k, k! k=0 e ξ (n + 1)! (x x 0) n+1 em que ξ é um número entre x 0 e x. n! (x x 0) n,
21 Exemplo: f = e x (cont) Para x 0 = 0 e x = 1 temos n 1 e = k! + e ξ (n + 1)!, em que ξ (0, 1). Observe que e 0 < R n (1; 0) < (n + 1)! k=0 lim R n(1; 0) = 0, e = lim T n(1; 0). n n +
22 Exemplo: f = e x (cont) Para x 0 = 0 e x = 1 temos n 1 e = k! + e ξ (n + 1)!, em que ξ (0, 1). Observe que e 0 < R n (1; 0) < (n + 1)! k=0 lim R n(1; 0) = 0, e = lim T n(1; 0). n n + n T n (1; 0) R n (1; 0)
23 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 0 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
24 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 1 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
25 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 2 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
26 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 3 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
27 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 4 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
28 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 5 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
29 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 6 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
30 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 7 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
31 Exemplo: Função exponencial Expansão de Taylor, de ordem n = 12 centrada em x 0 = 0. y=e x y=t n y=r n
32 Exemplo: f = ln x Lembretes: ln x é contínua e infinitamente derivável em x (0, + ). f = 1 x, f = 1, f = 2,... x 2 x 3 f (k) = ( 1)k+1 (k 1)! k 1. x k
33 Exemplo: f = ln x Lembretes: ln x é contínua e infinitamente derivável em x (0, + ). f = 1 x, f = 1, f = 2,... x 2 x 3 f (k) = ( 1)k+1 (k 1)! k 1. x k Temos que para x 0, x > 0 T n (x; x 0 ) = ln x 0 + (x x 0) x 0 (x x 0) 2 R n (x; x 0 ) = = ln x 0 + 2x 2 0 n ( 1) k+1 (x x 0 ) k k x0 k, k=1 ( 1)n+2 (n + 1)ξ n+1 (x x 0) n+1 em que ξ é um número entre x 0 e x. + + ( 1)n+1 (x x 0 ) n n x0 n,
34 Exemplo: f = ln x (cont) Para x 0 = 1 e x = 3/2 obtemos ln(3/2) = em que ξ (1, 3/2). Observe que n k=1 ( 1) k+1 ( 1) n+2 k 2 k + (n + 1)(2ξ) n+1 R n ( 3 2 (n+1) 2 ; 1) < n + 1 lim R n( 3 n 2 ; 1) = 0, ln( 3 2 ) = lim n T n( 3 2 ; 1).
35 Exemplo: f = ln x (cont) Para x 0 = 1 e x = 3/2 obtemos ln(3/2) = em que ξ (1, 3/2). Observe que n k=1 ( 1) k+1 ( 1) n+2 k 2 k + (n + 1)(2ξ) n+1 R n ( 3 2 (n+1) 2 ; 1) < n + 1 lim R n( 3 n 2 ; 1) = 0, ln( 3 2 ) = lim n T n( 3 2 ; 1). n T n ( 3 2 ; 1) R n( 3 2 ; 1)
36 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 0 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
37 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 1 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
38 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 2 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
39 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 3 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
40 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 4 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
41 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 5 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
42 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 6 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
43 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 7 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
44 Exemplo: Função logaritmo Expansão de Taylor, de ordem n = 50 centrada em x 0 = 1.5. y=ln y=t n y=r n
45 Observações Podemos usar os polinômios de Taylor para aproximar os valores de uma função não elementar na vizinhança de um ponto onde conhecemos os valores exatos da função e suas derivadas. O intervalo onde essas aproximações são apropriadas depende da função que está sendo estudada. É possível usar a fórmula correspondente ao resto para obter uma estimativa do nível de erro cometido nessas aproximações.
46 Referências R.L. Burden e J.D. Faires, Análise Numérica. Trad. 8a Edição, Cengage Learning, 2013.
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