Spline cúbica. Clarimar J. Coelho. November 8, 2013

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1 Interpolação polinomial Spline cúbica Clarimar J. Coelho November 8, 2013

2 1 Splines cúbicos 2 Cálculo dos coeficientes 3 Sistema linear subdeterminado 4 Splines cúbicos naturais 5 Splines cúbicos extrapolados 6 Cálculo das derivadas

3 Splines cúbicos Splines cúbicos Sejam n+1 pontos (x i,y i ),i = 0,1,2,...n com x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n A construção de n polinômios interpoladores cúbicos s i (x) Denominados splines 1 cúbicos Que passam por dois pontos sucessivos (x i,y i ) e (x i+1,y i+1 ) Usado no intervalo [x i,x i+1 ] 1 Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós.

4 Splines cúbicos Forma da spline cúbica s i (x) = a i (x x i ) 3 +b i (x x i ) 2 +c i (x x i )+d i, i = 0,1,2,...,n 1 (1) Que satisfaz às condições s i (x i ) = y i i = 0,1,2,...,n 1 e s n 1 (x n ) = y n (2) s i (x i+1 ) = s i+1 (x i+1 ), i = 0,1,2,...,n 2 (3) Garantem que os splines cúbicos passem pelos pontos (x i,y i ) e sejam contínuos

5 Splines cúbicos Inclinações e concavidades Garantia que as inclinações e concavidades sejam contínuas s i (x i+1) = s i+1 (x i+1), i = 0,1,2...,n 2 (4) s i(x i+1 ) = s i+1(x i+1 ), i = 0,1,2...,n 2 (5) Obtemos da equação (1) n equações com 4n incógnitas a i,b i,c i e d i A condições das equações (2) e (5) fornecem 4n 2 equações São necessárias mais duas equações para calcular todas as 4n incógnitas

6 Cálculo dos coeficientes Cálculo dos coeficientes Para x = x i na equação (1) e comparando com a equação (2) s i (x i ) = d i, d i = y i, i = 0,1,2,...,n 1 (6) Para x = x i+1 na equação (1) e comparando com equação (3) em consideração com a equação (2) Definindo s i (x i+1 ) = s i+1 (x i+1 ) = y i+1 a i (x i+1 x i ) 3 +b i (x i+1 x i ) 2 +c i (x i+1 x i )+d i = y i+1 E substituindo na equação (6), temos h i = x i+1 x i (7) a i h 3 i +b i h 2 i +c i h i +y i = y i+1 (8)

7 Cálculo dos coeficientes Derivadas As derivadas da equação (1) são Para x = x i na equação (10) s i (x) = 3a i(x x i ) 2 +2b i (x x i )+c i (9) s i(x) = 6a i (x x i )+2b i (10) s (x i ) = 6a i (x i x i )+2b i b i = s i, i = 0,1,2...,n 1 (11) 2

8 Cálculo dos coeficientes Derivadas, cont. Para x i+1 na equação (10) s i (x 1+1) = 6a i (x i+1 x i )+2b i Devido a equação (5) e substituindo na equação (7) e equação (11) i+1 (x i+1) = 6a i h i +2 s i x i 2, s a i = s i+1 s i (x i) 6h i, i = 0,1,2,...,n 1 (12)

9 Cálculo dos coeficientes Derivadas, cont. Substituindo as equações (6,11) e (12) na equação (8) Temos, s i+1 (x i+1 s i (x i) h 3 i 6h + s i (x i ) h 2 i i 2 +c ih i +y i = y i+1 c i = y i s i+1 (x i+1)+2s i (x i) h i,...i = 0,1,2,...,n 1 (13) 6 O operador de dividida y i = y i+1 y i h i (14)

10 Sistema linear subdeterminado Sistema linear subdeterminado 2 Impondo a condição da equação (4) que as inclinações de dois splines cúbicos adjacentes s i 1 (x) e s i (x) sejam iguais no ponto comum (x i,y i ) Devido a equação (9), temos s i 1(x i ) = s i(x i ) 3a i 1 (x i x i 1 ) 2 +2b i 1 (x i x i 1 )+c i 1 = 3a i (x i x i ) 2 +2b i (x i x i )+c i Substituindo as equações (7), (12) e (13), temos 3 s i (x i) s 6h i 1 = y i+1 y i h i i 1 (x i 1) h 2 i 1 (x i 1 ) i 1 +2s s i+1 (x i+1 )+2s i (x i) 6 h i 2 h i 1 + y i y i 1 h i 1 s i (x i )+2s i 1 (x i 1) 6 h i 1 2 Possui menos equações que incógnitas (m < n).

11 Sistema linear subdeterminado Sistema linear subdeterminado, cont. Simplificando, obtemos a i ésima equação para i = 1,2,3,...,n 1 h i 1 s i 1 (x i 1)+2(h i 1 +h i )s i (x i)+h i s i+1 (x i+1) = 6( y i y i 1 ) (15) Que é um sistema linear subdeterminado com n 1 equações e n+1 incógnitas s i (x i), i = 0,1,2,...,n

12 Sistema linear subdeterminado Sistema linear subdeterminado, cont. O sistema linear (15) é da forma h 0 2(h 0 +h 1 ) h 1 h 1 2(h 1 +h 2 ) h 2 h 2 2(h 2 +h 3 ) h s s s 1 (x 1) 2 (x 2) 3 (x 3). s n 1 (x n 1) y 1 y 0 y 2 y 1 y 3 y 2 = 6. y n 1 y n 2 h n 2 2(h n 2 +h n 1 ) (16)

13 Splines cúbicos naturais Splines cúbicos naturais A forma mais simples usada para eliminar duas incógnitas do sistema (15) consiste em atribuir s 0 (x } 0) = 0, s n (x (17) n) = 0

14 Splines cúbicos naturais Cálculo das derivadas Substituindo o valor de s 0 (x 0) na primeira equação do sistema (15) E s n(x n ) na última equação Obtemos o sistema linear tridiagonal simétrico (18)

15 Splines cúbicos naturais Cálculo das derivadas naturais A solução do sistema fornece as derivadas s i (x i),i = 1,2,3,...,n 1 2(h 0 +h 1 ) h 1 h 1 2(h 1 +h 2 ) h 2 h 2 2(h 2 +h 3 ) h s s s 1 (x 1) 2 (x 2) 3 (x 3). s n 1 (x n 1) y 1 y 0 y 2 y 1 y 3 y 2 = 6. y n 1 y n 2 h n 2 2(h n 2 +h n 1 ) (18)

16 Splines cúbicos naturais Splines cúbicos naturais Com estas derivadas temos os chamos splines cúbicos naturais Devem ser usados quando y = f(x) apresentar comportamento linear nas proximidades dos pontos finais x 0 e x n

17 Splines cúbicos naturais Exemplo 1 Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), calcular as segundas derivadas s i,i = 0,1,2,3,4 dos splines cúbicos naturais

18 Splines cúbicos naturais Solução Pela equação (7) h 0 = x 1 x 0 = 2 1 h 0 = 1, h 1 = x 2 x 1 = 4 2 h 1 = 2 Usando a equação (14) h 2 = x 3 x 2 = 6 4 h 2 = 2, h 3 = x 4 x 3 = 7 6 h 3 = 1 y 0 = y 1 y 0 h 0 y 1 = y 2 y 1 h 1 = 4 2 = y 0 = 2 2 y 1 = 1,5

19 Splines cúbicos naturais Solução, cont. y 2 = y 3 y 2 h 2 y 3 = y 4 y 3 h 3 = 3 1 = y 0 = 2 1 y 3 = 0

20 Splines cúbicos naturais Solução, cont. Substituindo os valores no sistem (18), temos 2(1+2) (2+2) (2+1) 1 (x 1) 2 (x 2) = 6 3 (x 3) s s s ( 1,5) 0 1 A partir da equação (17) e da solução acima abtemos as segundas derivadas s 0(x 0 ) = 0; s 1(x 1 ) = 4,7; s 2(x 2 ) = 3,6; s 3(x 3 ) = 2,2; s 4(x 4 ) = 0

21 Splines cúbicos naturais Solução do sitema no octave a = b = 6 Basta fazer x = inv(a) b 2 (1+2) (2+2) (2+1) ( 1,5) 0 1

22 Splines cúbicos naturais Exemplo 2 A partir dos pontos do Exemplo 1, determine as equações dos quatro splines cúbicos naturais

23 Splines cúbicos naturais Solução Determinação do spline s 0 (x) a 0 = s 1 (x 1) s 0 (x 0) = 4,7 0 a 0 = 47 6h b 0 = s 0 (x 0) = b 0 = 0 c 0 = y 0 s 1 (x 1)+2s 0 (x 0) h 0 = 2 4, d 0 = y 0 d 0 = 2 1 c 0 = s 0 (x) = a 0 (x x 0 ) 3 +b 0 (x x 0 ) 2 +c 0 (x x 0 )+d 0 = (x 1)3 +0(x 1) (x 1)+2

24 Splines cúbicos naturais Solução, cont. Determinação do spline s 1 (x) a 1 = s 2 (x 2) s 1 (x 1) = 3,6 ( 4,7) a 1 = 83 6h b 1 = s 1 (x 1) = 4,7 b 1 = c 1 = y 1 s 2 (x 2)+2s 1 (x 1) h 1 = 1,5 3,6+2 4,7 6 6 d 1 = y 1 d 1 = 4 2 c 1 = s 1 (x) = a 1 (x x 1 ) 3 +b 1 (x x 1 ) 2 +c 1 (x x 1 )+d 1 = (x 2) (x 2) (x 2)+4

25 Splines cúbicos naturais Solução, cont. Determinação do spline s 2 (x) a 2 = s 3 (x 3) s 2 (x 2) = 2,2 3,6 a 2 = 29 6h b 2 = s 2 (x 2) = 3,6 2 2 b 2 = 9 5 c 2 = y 2 s 3 (x 3)+2s 2 (x 2) h 2 = 1 2,2+2 3,6 6 6 d 2 = y 2 d 2 = 1 2 c 2 = 2 5 s 2 (x) = a 2 (x x 2 ) 3 +b 2 (x x 2 ) 2 +c 2 (x x 2 )+d 2 = (x 4) (x 4)2 2 3 (x 4)+1

26 Splines cúbicos naturais Solução, cont. Determinação do spline s 3 (x) a 3 = s 4 (x 4) s 3 (x 3) = 0 ( 2,2) a 3 = 11 6h b 3 = s 3 (x 3) = 2,2 b 3 = c 3 = y 3 s 4 (x 4)+2s 3 (x 3) h 3 = ,2 6 6 d 3 = y 3 d 3 = 3 1 c 3 = s 3 (x) = a 3 (x x 3 ) 3 +b 3 (x x 3 ) 2 +c 3 (x x 2 )+d 3 = (x 6) (x 6) (x 6)+3

27 Splines cúbicos naturais Derivadas dos splines naturais s 0(x) = (x 1) e s 0 = (x 1) s 83 1 (x) = 40 (x 2) (x 2) e s 1 (x) = (x 2) s 2(x) = (x 4) (x 4) 2 3 e s 2(x) = (x 4) s 3(x) = (x 6) (x 6) 5 15 e s 3(x) = 11 5 (x 6) 11 5

28 Splines cúbicos naturais Condição Pela condição da equação (3) os splines são contíntuos s i (x+1) = s i+1(x i+1 ) : s 0 (2) = s 1 (2) = 4;s 1 (4) = s 2 (4) = 1 e s 2 (6) = s 3 (6) = 3 Otave: s12 = (83/120) (2 2) 3 +(47/20) (2 2) 2 +(13/30) (2 2)+4 A primeiras derivadas, pela condição (4) s i (x i+1) = s i (x i+1) : s 0 (2) = 13 s 1 (2) = 30 ;s 1 (4) = s 2(4) = 2 3 e s 2 (6) = 11 s 3 (6) = 15 As segundas derivadas, pela condição (5) s i(x) = s i+1(x i+1 ) : s 0(2) = s 1(2) = ;s 1(4) = 18 5 e s 2(6) = s 3(6) = 11 5 Também são contínuas

29 Splines cúbicos naturais Exemplo 3 Intepole os valores z = 1,2;2,9;5,2 e 6,7 usando as splines cúbicos naturais obtidos no Exemplo 2

30 Splines cúbicos naturais Solução s 0 (1,2) = (1,2 1)3 +0(1,2 1) (1,2 1)+4 = 2,5504 s 1 (2,9) = (2,9 2) (2,9 2) (2,9 2)+4 = 2,9907 s 2 (5,2) = (5,2 4)3 +0(5,2 4) (5,2 4)+1 = 1,9568 s 3 (6,7) = (6,7 6) (6,7 6) (6,7 6)+3 = 3,1001

31 Splines cúbicos naturais Splines cúbicos naturais s 0 (x) e s 2 (x) são representados pela linha tracejada s 1 (x) e s 3 (x) são represetados pela linha sólida representa os valores interpolados

32 Splines cúbicos naturais Parâmetros do algoritmo Entrada n número de pontos x abscissas em ordem crescente y ordenadas Saída: s2

33 Splines cúbicos extrapolados Splines cúbicos extrapolados 3 Outra forma de estimar duas incógnitas do sistema linear (15) é impor a condição s 0 (x 1 ) = s 1 (x 1 ) e s n 2(x n 1 ) = s n 1(x n 1 ) (19) s i (x) é obtido da derivação (10) de acordo com (12) s i (x) = s i+1 (x i+1) s i (x i) i = 0,1,2,...,n 1 (20) h i 3 Estimar valor da função fora do intervalo de valores conhecidos.

34 Cálculo das derivadas Cálculo das derivadas Considerando na equação (19) que E avaliando na equação (33) s 0 (x 1 ) = s 1 (x 1) s 1 (x 1) s 0 (x 0) h 0 = s 2 (x 2 ) s 1 (x 1) h 1 s 0 (x 0) = (h 0+h 1 )s 1 (x 1) h 0 s 2 (x 2) h 1

35 Cálculo das derivadas Cálculo das derivadas, cont. Do mesmo modo, a partir da condição (19) s n 2 (x n 1) = s n 1 (x n 1) Temos s n 1 (x n 1) s n 2 (x n 2) h n 2 = s n (x n) s n 1 n 1(x n 1 ) h n 1 s n (x n) = (h n 1+h n 2 )s n 1 (x n 1) h n 1 s n 2 (x n 2) h n 2

36 Cálculo das derivadas Cálculo das derivadas, cont. Substituindo o valor de s 0 (x 0) na primeira equação do sistema 15 e s n (x n) na última temos o sistema linear tridiagonal não simétrico

37 Cálculo das derivadas Cálculo das derivadas, cont. (h 0 +h 1 )(h 0 +2h 1 ) h 2 1 h2 0 h 1 h 1 s s 1 (x 1) 2 (x 2). s n 2 (x n 2) s n 1 (x n 1) h 1 2(h 1 +h 2 ) h 2 h 2 2(h 2 +h 3 ) h y 1 y 0 y 2 y 1 y 3 y 2. y n 1 y n 2 h 2 n 2 h2 n 1 h n 2 (h n 2 +h n 2 )((h n 1 +h n 2 ) h n 2 (21)

38 Cálculo das derivadas Cálculo das derivadas, cont. A partir do sistema (21) obemos as derivadas s i (x i),i = 1,2,3,...,n 1 As derivadas s 0 (x 0) e s n(x n ) são dadas pelas expressões deduzidas acima s 0 (x 0) = (h 0+h 1 )s 1 (x 1) h 0 s 2 (x 2) h 1, s n (x n) = (h n 1+h n 2 )s n 1 (x n 1) h n 1 s n 2 (x n 2) h n 2 } (22)

39 Cálculo das derivadas Exemplo 4 Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), calcular as segundas derivadas s x i,i = 0,1,2,3,4 dos splines cúbicos extrapolados

40 Cálculo das derivadas Solução Pela equação (7) h 0 = x 1 x 0 = 2 1 h 0 = 1,h 1 = x 2 x 1 = 4 2 h 1 = 2 h 2 = x 3 x 2 = 6 4 h 2 = 2,h 3 = x 4 x 3 = 7 6 h 3 = 1

41 Cálculo das derivadas Solução, cont. Pela equação (14) y 0 = y 1 y 0 h 0 = y 0 = 2, y 1 = y 2 y 1 h 1 = = y 1 = 1,5 y 2 = y 3 y 2 h 2 = y 2 = 1, y 3 = y 4 y 3 h 3 = = y 3 = 0

42 Cálculo das derivadas Solução cont. Substituindo os valores na equação (21), temos (1+2)(1+2 2) 2 s s s (2+2) (x 1) 2 (x 2) 6 3 (x 3) 41/12 37/12 17/12 s x = 1,5 2 1 ( 1,5) 0 1 (1+2)(1+2 2) 2

43 Cálculo das derivadas Solução, cont. Pela equação (22) s 0 (x 0) = (1+2) 41/ /12 2 s 0(x 4 ) = (1+2) 17/ /12 2 Logo, as segundas derivadas são = 20/3 = 11/3 s (x 0 ) = 20 3 ;s 1 (x 1) = ;s 3(x 3 ) = 17 12,s 4 (x 4) = 11 3

44 Cálculo das derivadas Exemplo 5 A partir dos pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), determine as equações dos quatro splines extrapolados na forma da equação (1)

45 Cálculo das derivadas Solução Determinação do spline s 0 (x) a 0 = s 1 (x 1) s 0 (x 0) = 41/12 ( 20/3) a 0 = 13 6h b 0 = s 1 (x 0) = 20/3 b 0 = c 0 = y 0 s 1 (x 1)+2s 0 (x 0) h 0 = 2 41/ /3 6 6 d 0 = y 0 d 0 = 2 s 0 (x) = (x 1) (x 1) (x 1)+2 1 c 0 =

46 Cálculo das derivadas Solução, cont. Determinação do spline s 1 (x) a 1 = s 2 (x 2) s 1 (x 1) = 37/12 ( 41/12) 6h a 1 = c 1 = y 1 s 2 (x 2)+2s 6 b 1 = s 1 (x 1) = 41/12 = b 1 = (x 1) h 1 = 1,5 37/ / d 1 = y 1 d 1 = 4 c 1 = 1 4 s 1 (x) = (x 2) (x 2)2 1 4 (x 2)+4

47 Cálculo das derivadas Solução, cont. Determinação do spline s 2 (x) a 2 = s 3 (x 3) s 2 (x 2) = 17/12 37/12 6h a 2 = 3 8 b 2 = s 2 (x 2) = 37/12 b 2 = c 2 = y 2 s 3 (x 3)+2s 2 (x 2) h 2 = 1 17/ / d 1 = y 2 d 2 = 1 s 2 (x) = 3 8 (x 2) (x 4) (x 4)+1 2 c 2 = 7 12

48 Cálculo das derivadas Solução, cont. Determinação do spline s 3 (x) a 3 = s 4 (x 4) s 3 (x 3) = 11/3 ( 17/12 6h b 3 = s 3 (x 3) = 17/ c 3 = y 2 s 3 (x 3)+2s 2 (x 2) 6 b 3 = a 3 = 3 8 h 3 = 1 17/ /12 2 c 2 = d 3 = y 2 d 2 = 1 s 3 (x) = 3 8 (x 2) (x 4) (x 4)+1

49 Cálculo das derivadas Solução, cont. As derivadas dos splines extrapolados são s 0 (x) = 13 8 (x 1) (x 1) ;s 0 (x) = (x 1) 4 3 e s 0 (x) = 13 4 s 1(x) = 13 8 (x 2) (x 2) 1 4 ;s 1(x) = (x 2) 4 12 e s 0 (x) = 13 4 s 2 (x) = 9 8 (x 4) (x 4) 7 12 ;s 2 (x) = 9 37 (x 4) e s 0 (x) = 9 4 s 3 (x) = 9 8 (x 6) (x 6) ;s 3 (x) = 9 17 (x 6) 4 12 e s 0 (x) = 9 4

50 Cálculo das derivadas Solução, cont. Pela equação (condição) (3), os splines são contínuos s i (x i+1 ) = s i+1 (x i+1 ) : s 0 (2) = s 1 (2) = 4;s 2 (4) = 1 e s 2 (6) = s 3 (6) = 3 As primeiras derivadas, pela condição (4) s i (x i+1) = s i+1 (x i+1) : s 0 (2) = s 1 (2) = 1 4 ;s 1 (4) = s 2 (4) = 7 e s 2 (6) = s 13 3 (6) = As segundas derivadas, pela condição (5) s i (x i+1) = s i+1 (x i+1) : s 0 (2) = s 1 (2) = 41 e s 2 (6) = s 3 (6) = 17 As terceiras derivadas, pela condição (19) s ;s 1 0 (x 1) = s 1 (x 1) : s 0 (2) = s 1 (2) = 13 4, s 0 (x 3) = s 3 (x 3) : s 2 (6) = s 3 (6) (4) = s (4) =

51 Cálculo das derivadas Exemplo 6 Interpolar os valores z = 1,2;2,9;5,2;6,7 usando os splines extrapolados obtido no Exemplo 5

52 Cálculo das derivadas Solução s 0 (1,2) = (1,2 1) (1,2 1) (1,2 1)+2 = 2, s 1 (2,9) = (2,9 2) (2,9 2)2 1 (2,9 2)+4 = 2, s 2 (5,2) = 3 8 (5,2 4) (5,2 4)2 + 7 (5,2 4)+1 = 1, s 3 (6,7) = 3 8 (6,7 6) (6,7 6) (6,7 6)+3 = 3,

53 Cálculo das derivadas Splines cúbicos extrapolados

54 Cálculo das derivadas Parâmetros de entrada e saída do algoritmo Entrada n - número de pontos x - vetor com as abscissas y - vetor com as ordenadas Saída s2 - vetor solução contendo as segundas derivadas ce - condição do erro 1 - n < 4, o algoritmo não pode ser executado

55 Cálculo das derivadas Avaliação dos splines cúbicos Calculados os splines cúbicos da forma (1) s i (x) = a i (x x i ) 3 +b i (x x i ) 2 +c i (x x i )+d i, i = 0,1,2,...,n 1, Têm seus coeficientes calculados a partir de (12), (11), (13) e (6) a i = s i+1 (x i+1) s i (x i) 6h i, b i = s i 2, ı = 0,1,2,...,n 1 c i = i y i s i+1 (x i+1) s i (x i) 6 h i d i = y i,

56 Cálculo das derivadas Avaliação dos splines cúbicos, cont. h i = x i+1 x i, y i = y i+1 x i h i } ı = 0,1,2,...,n 1 Dados por (7) e (14)

57 Cálculo das derivadas Exemplo 7 Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), interpolar os valores z = 1.2,0.1,2.9,5.2 e 6.7 usando os splines cúbicos naturais