Proporcionalidade - Conceito integrador da matemática em nível do Ensino Básico

Transcrição

1 Proporcionalidade - Conceito integrador da matemática em nível do Ensino Básico Fabio Paredes Gilda M Q. Portela Lennon de A. Pereira Lucia Tinoco Luciana M. L. da Silva M Palmira da C. Silva Rosimeri C. França

2 Reflexão Quando o aluno tem os primeiros contatos com a proporcionalidade? Por que o título Conceito Integrador deste curso? Cite exemplos de assuntos onde a proporcionalidade se apresenta.

3

4 Questões para pensar Proporcionalidade É considerada apenas uma parte da aritmética, isolada dos demais assuntos de matemática e da vida. É ensinada por meio de regras e nomenclatura, nem sempre compreendidas. Os problemas vêm depois das noções de razão e proporção, bem como de suas propriedades.

5 Proporcionalidade no dia a dia A turma 701 resolveu fazer uma vaquinha para dar um presente à D. Roselena. Todos os alunos vão colaborar. Se o presente custar R$ 200,00, cada aluno vai participar com R$ 8,00. Se a turma escolher um presente de R$ 350,00, quanto deverá dar cada aluno? a) Que grandezas variam no problema? b) Elas são proporcionais? Por quê? c) Observe a tabela. Que número se mantém constante? d) O que esse número representa? Preço do Presente Contribuição do aluno 200,00 8,00 100,00 50,00 350,00 24,00

6 A turma 701 resolveu fazer uma vaquinha para dar um presente à D. Roselena. Todos os alunos vão colaborar. Se o presente custar R$ 200,00, cada aluno vai participar com R$ 8,00. Se a turma escolher um presente de R$ 350,00, quanto deverá dar cada aluno? a) Que grandezas variam no problema? O preço do presente e a quantia que cada aluno vai dar. b) Elas são proporcionais? Por quê? Sim. Se o preço do presente for multiplicado ou dividido por um número, a quantia que cada aluno vai dar ficará multiplicada ou dividida por esse número. c) Observe a tabela. Que número se mantém constante? O quociente entre cada número da 1ª coluna e o correspondente da 2ª coluna: 25 d) O que esse número representa? O número de alunos da turma. Preço do Presente Contribuição do aluno 200, ,00 50,00 600,00 350,00 4,00 2,00 24,00 14,00

7 Proporcionalidade no dia a dia A turma 702 resolveu fazer uma vaquinha para dar um presente à D. Roselena. Se a turma toda cooperar, cada aluno deverá contribuir com R$ 8,00. a) Se apenas a metade da turma participar da vaquinha, e o presente for o mesmo, a quantia que caberá a cada aluno será menor ou maior? b) De quanto será essa quantia? c) Sabendo-se que a turma tem 24 alunos, quanto deverá dar cada aluno, se apenas 20 participarem da vaquinha? d) Que grandezas variam no problema? e) Elas são proporcionais? Por quê? f) Observe a tabela. Que número se mantém constante? Quantidade de alunos Contribui ção do aluno 24 8, ,00

8 A turma 702 resolveu fazer uma vaquinha para dar um presente à D. Roselena. Se a turma toda cooperar, cada aluno deverá contribuir com R$ 8,00. a) Se apenas a metade da turma participar da vaquinha, e o presente for o mesmo, a quantia que caberá a cada aluno será menor ou maior? Maior b) De quanto será essa quantia? R$ 16,00 c) Sabendo-se que a turma tem 24 alunos, quanto deverá dar cada aluno, se apenas 20 participarem da vaquinha? R$ 9,60 d) Que grandezas variam no problema? O número de alunos que participará da vaquinha e a quantia que cada um dará. e) Elas são proporcionais? Por quê? Sim. Se a quantidade de alunos que participará da vaquinha for dividida por um número, a quantia que cada um dará ficará multiplicada por esse número. f) Observe a tabela. Que número se mantém constante? O produto de cada número da 1ª coluna pelo correspondente da 2ª coluna: 192. Quantidade de alunos Contribui ção do aluno 24 8, ,00 24,00 64,00 9,60

9 Proporcionalidade Razão constante Diretamente proporcionais Produto constante Inversamente proporcionais Preço do Presente Contribuição do aluno Quantidade de alunos Contribuição do aluno 200, ,00 4,00 50,00 2,00 600,00 24,00 350,00 14, , , , ,60

10 O preço do sabão Um pacote de sabão em pó de 1 kg custa R$ 9,00. O pacote de 600 g do mesmo sabão está sendo vendido a R$ 6,60. Se no mercado no qual essas opções estão sendo oferecidas, se não for informado o preço de 100 g desse sabão, você seria capaz de decidir qual embalagem é mais econômica? , Seria possível determinar o preço de 100 g do mesmo sabão? Não, pois o preço de 100g é diferente nos dois pacotes R$9,00 : 10= R$ 0,90 R$ 6,60 : 6= R$ 0,66

11 Consumo dos carros. i) Um automóvel roda, em certas condições, 180 km com 15 litros de gasolina. Quantos litros o mesmo automóvel gastará de gasolina, para rodar 210 km, com as mesmas condições? ii) Dois tipos de carro foram testados duas vezes, em idênticas condições de trânsito na cidade, com relação ao consumo de combustível. Os resultados obtidos estão na tabela abaixo. a) Segundo esses testes, qual dos dois carros é o mais econômico? Por quê? Que razão indica isso? b) Essas razões são iguais nos dois testes para o carro tipo A? E para o tipo B? c) O que essa razão representa para cada um dos carros?

12 O consumo dos carros II a) Segundo esses testes, qual dos dois carros é o mais econômico? Por quê? Que razão indica isso? Carro A : 420 = 14 km/l Carro B: = 13 km/l b) Essas razões são iguais nos dois testes para o carro tipo A? E para o tipo B? carro A: 420 = 280 = = carro B: 520 = 390 = = c) O que essa razão representa para cada um dos carros? O consumo de cada carro nas condições dadas.

13 Projeto Fundão/Matemática abril /2017

14 Relação com a Álgebra Numa semana, 8 acertadores da Mega Sena receberam R$ ,00 cada um. Se nesta semana o número de acertadores fossem 12, quanto receberia cada um? a) Qual a quantia que foi rateada pela loteria nesta semana? Como você calculou? b) Essa quantia se modifica quando muda o número de acertadores? c) Que grandezas podem variar nesta situação? d) Essas grandezas são proporcionais? e) Escreva uma igualdade que relacione a quantia que cada acertador receberá com o número de acertadores. f) Verifique se esta igualdade vale para os valores encontrados na primeira pergunta do problema.

15 Relação com a Álgebra Numa semana, 8 acertadores da Mega Sena receberam R$ ,00 cada um. Se nesta semana o número de acertadores fossem 12, quanto receberia cada um? 8 x = 13 x q a) Qual a quantia que foi rateada pela loteria nesta semana? Como você calculou? R$ ,00 Multiplicando o número de acertadores pela quantia que cada um recebeu. b) Essa quantia se modifica quando muda o número de acertadores? c) Que grandezas podem variar nesta situação? d) Essas grandezas são proporcionais? e) Escreva uma igualdade que relacione a quantia que cada acertador receberá com o número de acertadores. q. n = , onde q é a quantia que cada f) Verifique se esta igualdade vale para os valores encontrados na primeira pergunta do problema. Não O número de acertadores e a quantia que cada um ganhará. Sim, inversamente proporcionais. acertador ganhará e n, o número de acertadores.

16 A prova do Thiago Thiago tirou 6,4 de nota numa prova que valia, no total, 8 e falou a nota para sua mãe. Esta não entendeu e perguntou: - A prova não valeu 10? Se o valor total da prova fosse 10, qual seria a nota que Thiago teria tirado? 6,4 8 = x x = 64 x = 8 Thiago teria tirado 8 na prova.

17 Atividade: Loja Virtual Marcelo sempre escutava de seus conhecidos o problema de ter de comprar ferramentas para pequenos reparos e depois não ter lugar onde guardá-las. Então, ele resolveu tornar-se empreendedor e montar uma loja virtual de aluguel de ferramentas para reparos domésticos. Criou duas propostas para serem oferecidas aos clientes: Proposta Aluguel por dia: ao alugar qualquer ferramenta, a pessoa paga uma taxa de aluguel por dia. Proposta Aluguel fidelidade: a pessoa se obriga a pagar uma taxa de cadastro mensal, tendo a possibilidade de escolher qualquer ferramenta e pagar por ela uma taxa menor de aluguel por dia. Observe a tabela: Proposta Aluguel por dia Proposta Aluguel fidelidade R$ 1,65 por dia Taxa inicial de R$ 35,00, mais R$ 0,35 por dia.

18 Loja Virtual Proposta Aluguel Fidelidade Taxa mensal - R$ 35,00 mais R$ 0,35 por dia Custo (real) Proposta - Aluguel por dia Taxa mensal - Isenta aluguel de 1,65 por dia Custo (real) , , Tempo (dia) Tempo (dia)

19 Analisando essas propostas, responda às perguntas, justificando as suas respostas. a) Quanto uma pessoa que optar pela proposta Aluguel fidelidade terá que pagar por 30 dias de aluguel de ferramentas? E por 60 dias? R$ 45,50; R$ 56,00 b) E, se a pessoa optar pela proposta Aluguel por dia, quanto terá que pagar por 30 dias de aluguel? E por 60 dias? R$ 49,50; R$ 99,00 c) Em qual das duas propostas, o valor a pagar pelo aluguel de ferramentas é proporcional ao número de dias que a pessoa ficou com elas? Proposta Aluguel por dia

20 d) Podemos afirmar que, nas duas propostas, a quantia a pagar é função dos dias de aluguel das ferramentas? Sim e) Escreva as fórmulas que representam essas funções. P1 = ,35 h e P2= 1,65 h f) Analise os gráficos abaixo e responda, justificando sua resposta: Qual das propostas você acha mais vantajosa? Analisemos os gráficos

21 Loja Virtual Proposta Aluguel Fidelidade Proposta Aluguel Fidelidade Taxa mensal - R$ 35,00 mais R$ 0,35 por dia Custo (real) Taxa mensal - Isenta Aluguel: 1,65 por dia Custo (real) Proposta - Aluguel por dia Proposta Aluguel por dia , , Tempo (dia) Tempo (dia)

22 Loja Virtual Proposta Aluguel Fidelidade Proposta Aluguel Fidelidade Taxa mensal - R$ 35,00 mais R$ 0,35 por dia Custo (real) Taxa mensal - Isenta Aluguel: 1,65 por dia Custo (real) Proposta - Aluguel por dia Proposta Aluguel por dia , , Tempo (dia) Tempo (dia)

23 Loja Virtual Proposta Aluguel Fidelidade Proposta Aluguel Fidelidade Taxa mensal - R$ 35,00 Mais R$ 0,35 por dia Custo (real) Proposta Aluguel por dia Assinatura mensal - Isenta aluguel de 1,65 por dia Custo (real) Proposta - Aluguel por dia , , Tempo (dia) Tempo (dia)

24 Loja Virtual Proposta Aluguel Fidelidade Proposta- Aluguel Fidelidade Taxa mensal - R$ 35,00 mais R$ 0,35 por dia Taxa mensal - Isenta Aluguel: 1,65 por dia Custo (real) Proposta - Aluguel por dia Proposta Aluguel por dia ,50 45, Tempo (dia)

25 Então, já estamos poderosos mentalmente. Projeto Fundão/Matemática abril /2017

26 Escala Relação com a geometria Ampliação de um Puzzle A figura representa um quebra-cabeça com a forma de um retângulo, cuja medida do maior comprimento é 20 cm. Ele é constituído por cinco peças. Pretende-se agora construir um novo quebra-cabeça como este, mas ampliado de forma que a medida do maior comprimento do novo quebracabeça seja 30 cm

27 Exemplificando: Figura 5 X 1,5 Medidas (cm) Figura original Figura ampliada Maior dimensão Figura , ,5 A cada comprimento somar a metade dele. Medidas (cm) Maior dimensão Figura 5 Figura original Figura ampliada , ,5 30 O que esta atividade possibilita esclarecer ao aluno?

28 A cara do palhacinho Na folha dada, há uma figura que deve ser copiada, ampliada ou reduzida em outras malhas. Desenhe a figura nas malhas que faltam e discuta com seus colegas o que aconteceu com a figura. Identifique noções matemáticas que podem ser exploradas a partir desta atividade.

29 Teorema de Tales Dados os segmentos de medidas 1, x, y e z, em certa unidade, construir o segmento de medida a) xy b) x/y c) a quarta proporcional entre x, y e z. Com construção

30 Construção no Geogebra XY

31 Construção no Geogebra X/Y

32 Construção no Geogebra da quarta proporcional

33 Construção no Geogebra da quarta proporcional

34 Triângulos homotéticos Construa com régua e compasso um triângulo homotético a um triângulo ABC, dado, com razão 2, considerando o centro da homotetia no interior, no exterior e num dos seus vértices. O que caracteriza uma homotetia? Cite conceitos envolvidos numa construção homotética.

35 Centro da homotetia no Interior

36 Centro da homotetia no exterior

37 Centro da homotetia num dos vértices

38 Verifique se, em cada item, as figuras A e B são homotéticas (folha em anexo). B B Item 1 A A Item 2 A B Item 3

39 Não há centro de homotetia

40 São homoteticos

41 Não são homoteticos

42 Concluindo O que a define? Uma homotetia de Centro O e Razão k, k 0, 1, k > 0, no plano, é uma transformação que, a todo ponto P do plano, associa um ponto P, tal que: - O, P e P estão alinhados; OP - = k OP O que são figuras homotéticas? Duas figuras são homotéticas se é possível definir uma homotetia que leva uma figura na outra. Propriedade dos polígonos homotéticos. Polígonos homotéticos tem lados correspondentes paralelos. São semelhantes.

43 O que a define?

44 Propriedades

45 Malha triangular Na malha triangular há duas figuras. Podemos dizer que uma é ampliação ou redução da outra? Justifique sua resposta.

46 Semelhança Considere as figuras abaixo e construa com régua e compasso: a) um triângulo semelhante a ABC, com razão de semelhança 2 (entre o novo e este) e outro com a razão de semelhança 1/2; Outra construção: Dobro metade b) um hexágono, não semelhante ao ABCDEF, com ângulos congruentes aos dele; c) um quadrado que tenha como área o dobro da área do quadrado ABC

47 Razão de semelhança 2

48 Razão de semelhança 1/2

49 Não semelhantes

50 Dobrar a área de um quadrado