Cálculo Diferencial e Integral II 2012/13 1 o semestre

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Vitorino Madureira
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1 Cálculo Diferencial e Integral II 212/13 1 o semestre Modelo do 1 o Teste LEIC-TP, LEGI, LERC, LEE 6 de Novembro de 212 Justifique adequadamente todas as respostas. 1. Calcule V y dx dy dz em que V = {(x, y, z) R 3 : x 1 y 2, z 1 x}. 2. Seja g : R 2 R definida por y x +, se (x, y) (, ), g(x, y) = x 2 + y2 1, se (x, y) = (, ). a) Determine as derivadas parciais de g e em que pontos é que g é diferenciável. b) Determine max (u,v) =1 D (u,v) g(1, 1). 3. Seja f : R R uma função duas vezes diferenciável e considere uma função ϕ definida por ϕ(x, y) = f(log(y x 2 )). a) Determine o domínio de ϕ e decida se é aberto, fechado, limitado ou conexo. b) Exprima 2 ϕ x y em termos de derivadas de primeira e segunda ordem de f. 4. Mostre que o sistema { u = e x log y v = e y log x define uma bijecção de uma vizinhança de (1, 1) sobre uma vizinhança de (, ) com uma inversa ψ diferenciável e determine a derivada de ψ em (, ). 5. Considere a função definida por H(x, y) = e (x 1)2 + y 2 (x 1) 2 y 2. a) Mostre que H possui um extremo local em (1, ) e classifique-o. b) Determine o contradomínio da restrição de H a [, 2] [ 1, 1].

2 Resolução Notas adicionais sobre as questões apresentam-se entre [ ]. 1. [Faz-se notar que a notação... dx dy dz é simplesmente uma notação sobre integrais triplos e não faz qualquer restrição sobre a ordem de integração a usar no cálculo.] Figura 1: A região V. [Pode reproduzir o gráfico acima com Sage com os seguintes comandos: x, y, z = var( x, y, z ) p1 = implicit_plot3d((x-1+ y^2), (x,, 1), (y,-1, 1), (z,, 1), opacity=.5) p2 = implicit_plot3d((z-1+x), (x,, 1), (y,-1, 1), (z,, 1),color= red, opacity=.5) p1 + p2 ] V y dx dy dz = = = ( 1 y 2 ( 1 x ) ) y dz dx dy ( ) 1 y 2 (1 x)y dx dy (1 y 2 (1 y2 ) 2 2 ) y dy = 2

3 O último integral é pois a função integranda é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em relação a. Em geral pode demonstrar-se que um integral de uma função ímpar relativamente a uma variável x i numa região simétrica em relação a um (hiper)plano x i = se existir então vale. 2. a) Temos que g é diferenciável em R 2 \ {(, )} devido aos polinómios serem funções diferenciáveis, à raiz quadrada ser uma função diferenciável em ], + [, a soma e quociente de funções diferenciáveis ser diferenciável e a composição de funções diferenciáveis ser diferenciável. Neste conjunto temos g(x, y) = ( 1 xy 3 (x 2 + y 2 ) 3/2, 3y 2 (x 2 + y 2 ) 1/2 y 4 (x 2 + y 2 ) 3/2 [Em alternativa calcule g no complementar da origem e argumente que se trata de uma função contínua e as funções de classe C 1 num aberto são diferenciáveis.] Em (, ) usamos a definição de diferenciabilidade. Para calcular as derivadas parciais (1 + x) = 1, x (1 + x) =. y Além disso, considerando G(x, y) = g(x, y) 1 x temos G G(h, ) G(, ) (, ) = lim = lim x h h h G G(, k) G(, ) (, ) = lim = lim y k h k h =, k 3 k 2 k ). = lim k =, k donde g(, ) = (1, ). A diferenciabilidade de g em (, ) equivale a que lim (h,k) (,) O limite na igualdade anterior é neste caso Como lim (h,k) (,) g(h, k) g(, ) h g g x (, ) k y (, ) =. x 2 + y h + k3 h 2 +k 2 1 h 1 k h 2 + k 2 = lim (h,k) (,) k 3 h 2 + k 2 (h2 + k 2 ) 3/2 h 2 + k 2 = h 2 + k 2 o limite é de facto e a função diferenciável em (, ). k 3 h 2 + k 2 b) O máximo da derivada dirigida de uma função diferenciável segundo vectores unitários é a norma do gradiente. Neste caso ( max D (u,v)g(1, 1) = g(1, 1) = (u,v) = /2, 3 2 1/2 1 ) (2) 3/2 3

4 3. a) [Segue-se aqui a convenção de que a função irá estar definida no maior conjunto onde a fórmula faz sentido.] O domínio da função será o conjunto {(x, y) R 2 : y > x 2 }. Este conjunto é aberto pois para qualquer dos seus pontos uma bola centrada nesse ponto e com um raio inferior à distância à parábola y = x 2 está contido no conjunto. O conjunto não é fechado pois todos os pontos da parábola y = x 2 são pontos fronteiros que não pertencem ao conjunto. O conjunto não é limitado pois a sucessão ((, k)) k N é formada por pontos do conjunto cuja norma tende para + quando k +. O conjunto é conexo pois é conexo por arcos algo que decorre de quaisquer dois pontos do conjunto poderem ser unido pelo segmento de recta que os une e esse segmento estar contido no conjunto. b) Usando o teorema de derivação da função composta temos ϕ y (x, y) = f (log(y x 2 )) y x 2. Usando de novo o teorema de derivação da função composta 2 ϕ x y (x, y) = 2xf (log(y x 2 )) + 2xf (log(y x 2 )) (y x 2 ) A aplicação {(x, y) R 2 : x >, y > } (x, y) (e x log y, e y log x) tem uma matriz jacobiana [ e x e log y x ] y e y x e y log x Todas as derivadas parciais são funções contínuas pelo que esta função é de classe C 1 no seu domínio e o valor da função no ponto (1, 1) é (, ). Além disso o determinante da matriz jacobiana em (1, 1) é [ ] e det = e e pelo que é legítimo aplicar o teorema da função inversa para garantir a existência de uma inversa local ψ de classe C 1 (e portanto diferenciável) de uma vizinhança de (, ) com valores numa vizinhança de (1, 1). [ ] e Temos que a matriz jacobiana de ψ em (, ) será a matriz inversa de, isto é, e J ψ (, ) = [ ] 1 e = e 5. a) As derivadas parciais de primeira ordem de H são [ ] 1/e. 1/e H x = 2(x 1)e(x 1)2 2(x 1)y 2 H y = 2y 2(x 1)2 y 4

5 e, em particular, (1, ) será um ponto de estacionaridade desta função. Quanto às derivadas parciais de segunda ordem de H 2 H x 2 = 2e(x 1)2 + 4(x 1) 2 e (x 1)2 2y 2 2 H = 4(x 1)y x y 2 H = 2 2(x 1)2 y2 pelo que a matriz hessiana de H em (1, ) é [2 ] 2 donde o termo de segunda ordem da fórmula de Taylor de H em (1, ) é uma forma quadrática definida positiva e (1, ) é um ponto de mínimo local desta função. b) Começamos por notar que, como H é contínua e está restringida a um conjunto limitado, fechado e conexo, os teoremas de Weierstrass e do valor intermédio garantem que o contradomínio da restrição será necessariamente um intervalo da forma [m, M] em que m é o mínimo absoluto desta restrição e M o máximo absoluto. Os extremos absolutos da restrição de H a [, 2] [ 1, 1] poderão ocorrer em pontos de extremo que são pontos interiores deste conjunto, e portanto pontos de estacionaridade, ou em pontos fronteiros. Do cálculo das derivadas parciais de primeira de ordem de H verificamos que os pontos de estacionaridade de H verificam o sistema de estacionaridade { 2(x 1)e (x 1)2 2(x 1)y 2 = 2y 2(x 1) 2 y = para o qual já conhecemos a solução (1, ). Como a segunda equação é equivalente a y(1 (x 1) 2 ) =, sabemos que as soluções ou verificam y =, e nesse caso a primeira equação mostra que x = 1, ou então x = ou x = 2. Como os pontos de abcissa ou 2 estão incluídos na fronteira do conjunto, a análise do que se passa na fronteira incluirá também estes casos. Portanto, para determinar m e M temos que comparar os valores de H nas seguintes situações H(1, ) = 1, H(, y) = H(2, y) = e + y 2 y 2 = e, com y [ 1, 1], H(x, 1) = H(x, 1) = e (x 1)2 + 1 (x 1) 2, com x [, 2]. Para analisar o terceiro caso introduzimos g(λ) = e (λ 1)2 + 1 (λ 1) 2, que é uma função com derivada g (λ) = 2(λ 1)(e (λ 1)2 1) que só se anula para λ = 1. Portanto, para determinar m e M, é suficiente considerar os seguintes valores de H (note que os extremos do intervalo correspondem a pontos que já tomámos em consideração) H(1, ) = 1, H(, y) = H(2, y) = e, com y [ 1, 1], H(1, 1) = H(1, 1) = 2. 5

6 Portanto m = 1 e M = e, e concluímos que o contradomínio da restrição de H a [, 2] [ 1, 1] é o intervalo [1, e]. 6

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