Fórmula de Taylor. Cálculo II Cálculo II Fórmula de Taylor 1 / 15

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Pedro Lucas Godoi Bayer
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1 Fórmula de Taylor Cálculo II Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Cálculo II Fórmula de Taylor 1 / 15

2 Outra vez a exponencial... Uma função pode ser aproximada (na proximidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo que o erro que se comete ao substituir a função pelo polinómio seja pequeno. A função exponencial é definida por meio da série: e x = 1 + x + 1 2! x ! x3 + Quando x < 1, os valores de x 2, x 3,... são menores (em módulo) que x. É de esperar que, para valores de x pequenos, se tenha e x 1 + x onde o símbolo se lê é aproximadamente igual a, e deve ser entendido de modo informal. Cálculo II Fórmula de Taylor 2 / 15

3 Outra vez a exponencial... Do ponto de vista geométrico, trata-se de aproximar o gráfico da função exponencial pela reta de equação y = 1 + x (que é a tangente ao gráfico no ponto de abcissa 0). y y = 1 + x + x 2 y = e x y = 1 + x (0, 1) x Cálculo II Fórmula de Taylor 3 / 15

4 Fórmula de Taylor A fórmula de Taylor representa uma série de funções, potências centradas em c, f (x) = + n=0 a n (x c) n em que a n = f (n) (c) n! e permite moldar funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas através polinómios. Cálculo II Fórmula de Taylor 4 / 15

5 Fórmula de Taylor Trata-se da expansão de uma função real f (x) ao redor do ponto c em que x assume um valor qualquer, digamos c, e nesse caso escrevemos a série da seguinte maneira f (x) = f (c) 0! (x c)0 + f (c) (x c)+ f (c) (x c) f (n) (c) (x c) n + 1! 2! n! a constante c é o centro da série e se c = 0 a série é chamada de série de MacLaurin. Cálculo II Fórmula de Taylor 5 / 15

6 Polinómio de Taylor Considera-se uma função f admitindo derivadas finitas até à ordem n N, num dado ponto c R. Considerando o polinómio P(x) de grau n satisfazendo as condições f (c) = P(c), f (c) = P (c), f (c) = P (c),..., f (n) (c) = P (n) (c) (1) então a k = f (k) (c), k = 0, 1, 2,..., n. (2) Quando os coeficientes do polinómio P(x) forem dados por (2), então P(x) satisfaz as (n + 1) condições (1). Portanto, T n c f (x) = n f (k) (c) (x c) k é o único polinómio de grau n que possui as propriedades (1). Cálculo II Fórmula de Taylor 6 / 15

7 Polinómio de Taylor Definição A um polinómio na forma T n c f (x) = n f (k) (c) (x c) k = f (c) 0! (x c)0 + f (c) (x c) + f (c) (x c) f (n) (c) (x c) n 1! 2! n! chamamos polinómio de Taylor de ordem n de f no ponto c. Se c = 0 então a T0 n f (x) chamamos polinómio de MacLaurin de ordem n de f. Cálculo II Fórmula de Taylor 7 / 15

8 Exemplos Determine os polinómio de Taylor de ordem n no ponto c das funções indicadas: 1 T n 1 ( 1 x ), x 0 2 T0 n( 1 1 x ), x 1 (sin x) 3 T T 3 0 (x3 + 2x + 1) Cálculo II Fórmula de Taylor 8 / 15

9 Teorema [Fórmula de Taylor de ordem n com resto integral] Sejam n N 0, f uma função real com derivadas contínuas até à ordem (n + 1) num intervalo I e c I. Ent ao, para todo x I, temos f (x) = n sendo o polinómio de Taylor Tc n f (x) = o resto integral R n c f (x) = 1 n! f (k) (c) (x c) k + 1 x f (n+1) (t)(x t) n dt n! c x n f (k) (c) (x c) k c f (n+1) (t)(x t) n dt Nota: No caso n = 0 trata-se da fórmula de Barrow para integrais x f (x) = f (c) + f (t)dt c Cálculo II Fórmula de Taylor 9 / 15

10 Teorema [Fórmula de Taylor de ordem n com resto de Lagrange] Sejam n N 0, f uma função real com derivadas contínuas até à ordem (n + 1) num intervalo I e c I. Ent ao, para todo x I \{c}, existe θ (c, x) tal que f (x) = n f (k) (c) sendo o polinómio de Taylor T n c f (x) = (x c) k + f (n+1) (θ) (x c)n+1 (n + 1)! n o resto de Lagrange R n c f (x) = f (n+1) (θ) (n+1)! f (k) (c) (x c) k (x c)n+1 Nota: No caso n = 0 trata-se da fórmula do Teorema de Lagrange f (x) = f (c) + f (θ)(x c) f (θ) = Nota: se c < x, θ ]c, x[, se c > x, θ ]x, c[ f (x) f (c). x c Cálculo II Fórmula de Taylor 10 / 15

11 Majoração do erro Podemos obter uma estimativa para o erro que se comete ao aproximar os valores f (x) pelos polinómios T n c f (x). Temos f (x) = T n c f (x) + R n c f (x) Se a (n + 1)-ésima derivada da função f é contínua num intervalo [a, b] contendo o ponto c, então esta é limitada neste intervalo. Assim, partindo da fórmula de Taylor com resto de Lagrange, obtemos R n c f (x) = f (x) T n c f (x) M (n + 1)! x c n+1 onde M = sup f n+1 (y) para y entre x e c, desde que f seja contínua entre x e c Cálculo II Fórmula de Taylor 11 / 15

12 Que condições garantem que uma dada função f pode ser representada através de uma série de potências? Cálculo II Fórmula de Taylor 12 / 15

13 Nota: Uma função diz-se anaĺıtica num ponto se for possível representá-la por uma série de potências centrada nesse ponto (num intervalo aberto centrado nesse ponto). Existem funções que não admitem uma representação em série de potências em nenhuma vizinhança de determinado ponto (e, portanto, não s ão anaĺıticas nesse ponto). Exemplo: A função f (x) = { e 1 x 2, x 0; 0, x = 0 possui derivadas finitas de todas as ordens em R, mas f (n) (0) = 0 para todo n N 0, pelo que a sua série de MacLaurin converge para a função nula. A função f (x) não é anaĺıtica. Cálculo II Fórmula de Taylor 13 / 15

14 Teorema de Taylor Seja I =]x 1, x 2 [ R um intervalo aberto onde está definida uma função real f (x), f : I = R, (n + 1) vezes diferenciável em I e seja c I. Para todo o x I, com x c, existe um ponto θ I onde f (x) = n f (k) (c) (x c) k + f (n+1) (θ) (x c)n+1 (n + 1)! n sendo Tc nf (x) = f (k) (c) (x c) k o polinómio de Taylor e Rc nf (x) = f (n+1) (θ) (x c) (n+1)! n+1 o resto (de Lagrange) de ordem n de f (x) no ponto c. A soma da série de Taylor + n=0 f (n) (c) (x c) n n! em torno do ponto c coincide com f (x) se, e só se, para todo x I o lim Rc n f (x) = 0. n + Nota: Isto significa que o erro cometido ao utilizar Tc n f (x) para aproximar f (x) pode ser estimado por Rc n f (x). Cálculo II Fórmula de Taylor 14 / 15

15 Teorema Seja I R um intervalo aberto onde está definida uma função real f (x), f : I = R, que admite derivadas finitas de qualquer ordem em I e seja c I. Se existe M > 0 tal que f (n) (x) M, x I, n N 0 então f (x) = + n=0 f (n) (c) (x c) n, x I n! Cálculo II Fórmula de Taylor 15 / 15

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