ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em

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Artur Bacelar Furtado
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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualiação: //003 ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC RESOLUÇÃO DA FICHA 3 SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S disponível em acannas/amiv () Calcule as séries de Maclaurin (i.e., séries de Taylor em torno de 0 0) das seguintes funções e indique os respectivos raios de convergência: (a) cosh ; (b) ; ( ) (c) + ( + ). ( ) Qual é a décima derivada de cosh na origem? (a) Usando a definição de cosh e a série da exponencial, obtém-se o seguinte desenvolvimento: cosh w ew e w Portanto, a série pedida é ( + cosh + w k + ( ) k (k)! ) ( w) k k+ (k)!, w k (k)!, w C. válida para qualquer complexo, pelo que o seu raio de convergência é +. Como o coeficiente de 0 nesta série é ero, conclui-se que a décima derivada de cosh na origem é ero. (b) A função ( ) tem um pólo duplo em 0, pelo que não tem série de Taylor em torno desse ponto, mas apenas série de Laurent: ( ) ( + + ) k k+ k, onde a aplicação da soma da série geométrica requer que <, pelo que a série obtida é válida na coroa 0 < <. (c) A série de Maclaurin do polinómio ( + ) é simplesmente + +, válida para qualquer. A série de Maclaurin da fracção ( ) pode ser obtida derivando uma

2 AMIV LEEC FICHA 3 série geométrica: ( ) d d d d ( d d d d k k k k k k ( k + k+ k, ) k ) válida para < ou seja <. Assim a série pedida é ( ) + ( + ) k k + k+ k + + +, a qual tem raio de convergência. () Determine as séries de Laurent válidas nas regiões indicadas: (a) e + na coroa circular 0 < + < + ; (b) e + no disco < ; (c) na coroa circular 0 < <. ( )( ) Classifique as singularidades destas funções e indique os respectivos resíduos. (a) Usando a série da exponencial (e w + wk válida w C), obtém-se: e + e + e e + e 0 k ( ) k + e( ) k ( k)! ( + )k, para qualquer, ou seja, na coroa circular 0 < + < +.

3 AMIV LEEC FICHA 3 3 (b) Sendo anaĺıtica em C \ { }, a função e + tem uma série de Taylor em torno do ponto convergente no disco <. A melhor expressão para essa série é e + e e + e e e e e ( )+ +( ) e ( ( + ( l0 ) ) k ( ) ) l k. (c) Usando a série geométrica de raão convergente para <, obtém-se ( )( ) + ( ) + ( ) k k o que é válido na coroa circular 0 < <. ( ) k+ ( ) k, A função e + tem uma única singularidade no ponto. Atendendo a que a série de Laurent válida em 0 < + < + tem infinitos termos em potências negativas de +, conclui-se que é uma singularidade essencial. O resíduo nesse ponto é e (o coeficiente de + na série de Laurent). A função ( )( ) tem singularidades nos pontos e. Observando a série da aĺınea (c), conclui-se que é um pólo simples onde o resíduo da função é. Analogamente, vê-se que também é um pólo simples com resíduo -. (3) Aplique o teorema dos resíduos para calcular os seguintes integrais: (a) d, onde γ é a curva parametriada por cos t+i sin t, t 0, ; γ ( )(+) (b) + d, onde a circunferência é percorrida no sentido negativo. sin (a) As duas singularidades, e, da função integranda f() região limitada pela elipse γ, pelo que, pelo teorema dos resíduos, ( )( + ) d i (Res f + Res f). γ ( )(+) estão na Vê-se que é um pólo simples pois o limite lim ( )f() lim (+) existe diferente de ero. Logo, o resíduo de f neste ponto é (coincidindo com o

4 AMIV LEEC FICHA 3 limite calculado antes, como acontece no caso de pólos simples) Res f lim ( )f(). Vê-se que é um pólo duplo pois o limite lim ( + ) f() lim existe diferente de ero. Logo, o resíduo de f neste ponto é dado por Res f lim d ( + ) f() lim d Conclui-se que o integral vale ero: γ d i ( )( + ) d d lim ( ) 0. ( ). (b) A função integranda g() + sin é singular nos pontos + k, k Z, onde sin. Apenas a singularidade está na região limitada pela circunferência, pelo que, pelo teorema dos resíduos, + sin d ires f. Vê-se que é um pólo duplo pois o seguinte limite existe diferente de ero: lim ( ( ) g() lim ( + ) lim ) ( + ), sin onde, para calcular o segundo limite do produto, se aplicou duas vees a regra de Cauchy para resolver as duas indeterminações do tipo 0 0. Logo, o resíduo de g neste ponto é dado por Res f lim d d ( ) g() d lim d ( + ) ( ) sin lim ( ) sin + ( + ) lim + ( + ) lim. + lim ( + ) d d d ( ) d sin ( )( sin ) ( ) cos ( sin ) ( ) sin Conclui-se que o integral vale + sin d i. () Seja f a função definida por f() ei +9. (a) Utilie o teorema dos resíduos para calcular γ R f() d, onde γ R é a curva fechada simples dada pela fronteira do semi-círculo, D R { ρe iθ C 0 ρ R, 0 θ }, de raio R > 3, percorrida no sentido positivo.

5 (b) Mostre que AMIV LEEC FICHA d ΓR R R 9, onde Γ R é a semi-circunferência { Re iθ C 0 θ } contida em γ R. (c) Utilie os resultados das aĺıneas anteriores para calcular + cos x x + 9 dx. (a) A função f() ei +9 tem singularidades nos pontos onde o denominador se anula. Ora ±3i, pelo que se pode escrever f() ( 3i)(+3i). Verifica-se que os pontos 3i e 3i são pólos simples pois os limites e lim ( 3i)f() lim 3i 3i + 3i i 6e 3 lim ( + 3i)f() lim 3i 3i e 3i 3i ie3 6 existem finitos e diferentes de ero. Utiliando o teorema dos resíduos, o integral pedido é igual a i vees a soma dos resíduos de f nas singularidades envolvidas pela curva γ R. Apenas o pólo 3i está na região limitada pela curva γ R, pelo que γ R f() d ires 3i f. Tratando-se de um pólo simples, o resíduo de f em 3i coincide com o limite calculado acima, Res 3i f lim ( 3i)f() i 3i 6e 3, donde se conclui que o integral pedido vale. 3e 3 (b) O módulo do integral é menor ou igual ao produto de um majorante M do módulo da função integranda pelo comprimento L do caminho. O comprimento da semicircunferência Γ R de raio R é L R. A integranda é majorada por + 9 ei + 9 e Im 9 R 9, porque sobre Γ R tem-se R e Im 0. Tomando então M R 9, obtém-se a desigualdade + 9 d M L ΓR (c) Para qualquer raio R > 3 tem-se 3e 3 f() d γ R ΓR R R 9. R + 9 d + e ix R x + 9 dx. Pela estimativa da aĺınea anterior, conclui-se que lim R + módulo estes integrais estão abaixo da função R R 9 Γ R +9 d 0 pois em a qual tende para ero quando

6 6 AMIV LEEC FICHA 3 R tende para infinito porque o grau do polinómio em R no denominador é maior do que o do numerador. Então no limite R + da equação acima obtém-se 3e Como cos x Re ( e ix), conclui-se que + cos x x dx Re e ix x + 9 dx. e ix x + 9 dx 3e 3. (5) Determine as soluções gerais das seguintes equações diferenciais: (a) dy ; dt t (b) dy + dt et y 0. (a) A primeira equação é trivial, sendo resolvida imediatamente por primitivação: dy dt y(t) ln t + c, c R. t Cada função desta solução geral está definida para t 0. (b) A segunda equação é linear homogénea e também separável, podendo ser resolvida pelo método do factor de integração ou pelo método de separação de variáveis (ou decalcando um fórmula geral já deduida). Por separação de variáveis, obtém-se para y 0 dy dt + et y 0 ẏ y et y dy e t dt + c, c R ln y e t + c, c R y(t) e et e c, c R y(t) ke et, k R + y(t) ke et, k R \ {0}. Esta dedução mostra também que se uma solução y(t) não se anula nalgum instante t 0, então ela nunca se anula para qualquer instante, pois a exponencial nunca se anula e a constante k é diferente de ero. Verifica-se agora que a função identicamente nula, y(t) 0, t R, também é solução da equação dada, e além disso pode ser escrita na forma acima se se tomar k 0. Assim conclui-se que a solução geral da equação dada é a família y(t) ke et, k R, a qual está definida para todo o t real.

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