UNIVERSIDADE CATÓLICA PORTUGUESA. Microeconomia

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1 UNIVERSIDADE CATÓLICA PORTUGUESA Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais Microeconomia Licenciaturas em Administração e Gestão de Empresas e em Economia Ano lectivo Fernando Branco 2º Semestre fbranco@ucp.pt Teoria dos jogos Exercício 1. Considere os seguintes jogos: I) Jogador Coluna II) Jogador Coluna A B C A B C Jog. A 4,3 2,2-4,2 Jog. A 4,10 3,0 4,3 Linha B 5,5 5,-1 0,4 Linha B 0,0 4,9 2,10 III) Jog. Coluna IV) Jog. Coluna A B A B Jog. A 2,2-1,-1 Jog. A 2,0 0,2 Linha B -1,-1 1,1 Linha B 1,1 2,0 a) Para cada um dos jogos verifique se existem estratégias dominadas e/ou dominantes. Quando possível, identifique equilíbrios em estratégias dominantes. b) Para cada um dos jogos identifique os equilíbrios de Nash em estratégias puras. 1

2 Exercício 2. Determine os equilíbrios de Nash dos seguintes jogos: I) Jogador 2 L M R A 3,3 0,0 2,4 Jogador 1 B 0,0 1,1 0,0 C 4,2 0,0 3,3 II) Jogador R Jogador C C1 C2 C3 C4 R1 3,3 4,0 5,1 2,1 R2 2,0 3,1 1,1 5,2 Exercício 3. Suponha que a localização dos eleitores entre direita e esquerda pode ser representada através de um número entre 0 e 1, correspondendo 0 à extrema esquerda e 1 à extrema direita. Em certo país há 10 eleitores em cada extremo, 20 nos pontos 0.25 e 0.75 e 40 em 0.5. Os dois partidos deste país devem decidir onde se situar, de forma a ter o maior número de votos. Cada eleitor vota no partido que lhe está mais próximo (escolhendo aleatoriamente com probabilidade 0.5 se ambos os partidos estiverem à mesma distância). Os partidos escolhem a sua localização em simultâneo. Que localizações serão escolhidas? Exercício 4. Volte agora a considerar o problema descrito no exercício 3, mas suponha que o partido 1 pode escolher o seu nível posicionamento político primeiro que o partido 2. Quais as localizações que em equilíbrio irão ser escolhidas por cada partido? Exercício 5. Dois jogadores estão a decidir como dividir um bolo entre si. Para isso os jogadores têm de simultaneamente decidir qual a fracção do bolo que querem para si. A função de utilidade de cada jogador é crescente no montante de bolo que esse jogador obtem. a) Suponha que as regras para a divisão do bolo são as seguintes: se o total pedido pelos jogadores for não superior a 1 então cada jogador obtem o que pediu; se for superior cada jogador obtem 0. Identifique os equilíbrios de Nash. 2

3 b) Suponha agora que quando a soma dos pedidos exceder 1, cada jogador obtem o que pediu menos metade do excesso de procura. Identifique os equilíbrios de Nash. Exercício 6. Considere o seguinte jogo sequencial: 1 I 2 E NE (4,1) (6,2) E (5,4) NI 2 NE (7,3) a) Neste jogo o Jogador 1 tem duas estratégias: I ou NI. Alguém observou que NI é uma estratégia dominante, daí se concluindo que o Jogador 1 deve escolher NI. Comente. b) Verifique que no equilíbrio perfeito em subjogos o Jogador 1 escolhe I e depois o Jogador 2 escolhe NE, tendo os lucros de (6,2). Comente este resultado, tendo em conta a observação na alínea anterior. c) Identifique um outro equilíbrio de Nash. Porque é que este não é um equilíbrio perfeito em subjogos? Exercício 7. Uma associação patronal e um sindicato vão negociar como dividir os benefícios da produção entre os trabalhadores e os patrões. Ambas as associações desejam obter o máximo possível para os seus membros. A negociação decorre do seguinte modo: 1. A associação patronal propõe uma divisão; 2. O sindicato pode aceitar ou rejeitar; - se o sindicato aceita termina o jogo e cada jogador obtem o acordado; - caso contrário o jogo continua; 3. O sindicato propõe uma divisão; 4. A associação patronal pode aceitar o rejeitar; - se a associação aceita termina o jogo e cada jogador obtem o acordado; - caso contrário uma comissão arbitral impõe uma divisão de 50% para cada uma das partes. 3

4 É necessário algum tempo para preparar uma proposta. Por isso, se o acordo se verificar em 2, os benefícios a repartir são iguais a 1; se terminar com a associação patronal a aceitar em 4 os beneficios são apenas de δ (δ <1); e se terminar com a comissão arbitral, os benefícios são apenas de δ 2. Quanto vai cada jogador obter em equilíbrio? Explique a razão da assimetria da repartição dos benefícios. Exercício 8. Considere o seguinte jogo: Jog. Coluna A B Jog. A 2,1 0,0 Linha B 0,0 1,2 Este jogo estático vai ser jogado duas vezes, com as escolhas dos jogadores no primeiro período a serem observadas por ambos antes de se iniciar o segundo período. A utilidade de cada jogador no jogo repetido é igual à soma das utilidades obtidas em cada período. a) Explique como é possível em equilíbrio obter utilidades iguais para ambos os jogadores. b) Determine todos os equilíbrios perfeitos em subjogos. Exercício 9. Considere o seguinte jogo estático: Jogador 2 A B C Jog. A 5,5 2,1 1,2 1 B 1,0 4,2 0,1 C 6,1 1,2 2,4 a) Determine os equilíbrios de Nash (em estratégias puras). b) Suponha agora que este jogo é jogado em dois períodos, com as escolhas do primeiro período a serem observadas antes de se jogar a segunda vez, e com as utilidades finais a corresponderem à soma das utilidades obtidas em cada período. Construa um equilíbrio perfeito em subjogos em que as acções (A,A) sejam escolhidas no primeiro período. 4

5 Exercício 10. Considere o seguinte jogo: Jogador Coluna A B C Jog. A 3,3 3,0 0,1 Linha B 1,5 4,4 1,0 C 0,0 2,0 1,1 Este jogo estático vai ser jogado duas vezes, com as escolhas dos jogadores no primeiro período a serem observadas por ambos antes de se iniciar o segundo período. A utilidade de cada jogador no jogo repetido é igual à soma das utilidades obtidas em cada período. a) Determine todos os equilíbrios perfeitos em subjogos, que correspondem a jogar em cada período equilíbrios de Nash do jogo estático. b) Verifique que existem outros equilíbrios perfeitos em subjogos. Em particular, é possível sustentar (B,B) como as acções de equilíbrio do período inicial. Exercício 11. Dois duopolistas desejam conluiar-se de modo a maximizar os lucros conjuntos. A estrutura do duopólio é a seguinte: a procura global é dada por P = 1 Q, onde Q é a quantidade total procurada; cada empresa produz sem custos (pelo que os lucros são iguais às receitas). As empresas, em cada período vão decidir simultaneamente as quantidades a produzir nesse período. Após cada período há uma probabilidade p de que surja uma outra empresa com um novo produto que torna o produto actualmente existente obsoleto dissipando a sua procura. Os duopolistas desejam maximizar a soma dos seus lucros durante os períodos em que estejam activos, sendo a taxa de desconto igual a 0. a) Explique que, apesar de a taxa de desconto ser nula, o jogo está bem definido, no sentido em que é possível determinar os lucros globais de cada empresa. b) Qual o parâmetro de que depende a possibilidade de o cartel ser sustentável no longo prazo? Qual o valor mínimo desse parâmetro que permite a sustentabilidade do cartel. Exercício 12. Duas empresas são as únicas produtoras de um bem para um certo mercado. Elas dispõem da mesma tecnologia, descrita pela função de custos C( q) = 2 q. A procura neste mercado é dada por P = 10 Q. a) As empresas competem em preços, decidindo simultaneamente. Os consumidores, obviamente, compram da empresa que tiver o preço mais baixo, e 5

6 caso os preços sejam iguais repartem-se igualmente pelas duas empresas. Quais os preços de equilíbrio se as empresas produzirem uma única vez? Todavia, as empresas produzem em cada período, sendo imprevisível durante quanto tempo vai existir procura para este bem. Por isso, suponha que a procura se vai manter indefinidamente. O factor de desconto é δ < 1. b) Quais as produções e o preço que deve ser praticado em cada período se se pretender maximizar o lucro conjunto? c) Sob que condições é possível manter a solução encontrada em b) como equilíbrio do jogo dinâmico? Exercício 13. Admita que num mercado de um produto perfeitamente homogéneo, cuja procura inversa anual é P = 10 Q, actuam apenas duas empresas com as seguintes estruturas 1 2 de custos: C1( q1) = q e C2 ( q2 ) = 2q Inicialmente a empresa 1 comporta-se como líder de quantidades e a empresa 2 como seguidora. a) Determine o equilíbrio inicial do mercado. Na situação da alínea a) ambas as empresas têm lucros e estão satisfeitas com a situação. No entanto, dentro de dois anos o mercado vai ser aberto a outras empresas e os lucros vão passar a ser nulos, por isso estas empresas estão a ponderar a possibilidade de se coligarem para terem o máximo lucro possível nos dois anos que faltam. O acordo que está a ser discutido estabelece que as empresas produzam de modo a maximizar o seu lucro conjunto. Além disso, no início de cada período, a empresa 1 tem de pagar uma compensação à empresa 2, no valor de 5.25 e se alguma das empresas não cumprir o acordo no primeiro período, a outra retalia no segundo período produzindo a quantidade da alínea a). b) Determine as quantidades que cada empresa vai produzir se cumprir o acordo. Quanto terá de ser a taxa de actualização para que a empresa 2 não tenha incentivo em quebrar o acordo? c) Voltando à situação da alínea a), mostre que para a empresa 2, que pretende maximizar o lucro e que toma a quantidade da empresa 1 como um dado, a estratégia alternativa de manter uma determinada quota de mercado é (fracamente) dominada pela estratégia de produzir de acordo com a sua função de reacção, calculada na alínea a). Exercício 14. No mercado de seguros do país TudoOk a entidade reguladora tem de decidir entre três enquadramentos legais diferentes: A, B e C. Depois de adoptado um destes enquadramentos as empresas de seguros podem escolher uma de duas formas de actuação: a e ß (Nota: qualquer um dos três enquadramentos: A, B e C possibilita a escolha de a e ß). 6

7 Considere a seguinte matriz representativa deste jogo sequencial: Entidade Reguladora Empresas de Seguros a, a, a a, a, ß?, ß, ß ß, ß, ß ß, ß, a ß, a, a a, ß, a ß, a, ß A (4,2) (4,2) (4,2) (7,5) (7,5) (7,5) (4,2) (7,5) B (4,12) (4,12) (8,6) (8,6) (8,6) (4,12) (8,6) (4,12) C (10,10) (5,11) (5,11) (5,11) (10,10) (10,10) (10,10) (5,11) a) Defina sucintamente o conceito de equilíbrio de Nash. Quais os equilíbrios de Nash deste jogo? b) Com base na matriz construa a árvore de decisão. c) Com base no conceito de equilíbrio de Nash perfeito em subjogos classifique os equilíbrios de Nash encontrados. Justifique a classificação. (Nota: Teste 12/01/2005) Exercício 15. Considere o mercado em expansão de cães de guarda robots cuja procura foi estimada em P = 100 Q, onde Q é a quantidade total de robots produzidos (em milhares). Suponha que no território nacional existem apenas duas empresas a considerar entrar neste ramo de actividade, as empresas A e B, ambas com igual função custo: CT = 10q com i= AB,. i i a) Se as empresas entrarem no mercado e decidirem simultaneamente a quantidade a produzir, qual será o equilíbrio? Calcule as quantidades, preço e lucros individuais. b) Através de contactos entre o Sr. Malaquias (o presidente da empresa A) e a comissão reguladora da actividade, a empresa A tem a possibilidade de entrar no mercado como líder em quantidades. Para tal, apenas tem que proceder ao pagamento de uma licença simbólica de 12.5 u.m. Nesta nova situação, quais seriam os lucros das duas empresas? c) A empresa B, por não ter conhecimentos na comissão reguladora, está a considerar investir em R&D. Assim poderá entrar no mercado com uma nova tecnologia mais eficiente, cuja função custo é CTB = 2qB. Suponha que a empresa B vai observar a escolha da empresa A antes de tomar a sua decisão. Ou seja: (i) - a empresa A pode comprar ou não a licença que lhe garante a liderança em quantidades; - caso a empresa A compre a licença, a empresa B pode usar ou não a nova tecnologia; - se a empresa A não comprar a licença, assuma que a empresa B não pode usar a nova tecnologia, ficando com a tecnologia inicial, e as duas empresas decidem simultaneamente as quantidades. Represente este jogo na sua forma extensiva. 7

8 (ii) Qual o equilíbrio perfeito em subjogos? d) Antes de se dedicar aos robots, o Sr. Malaquias era um conhecido criador de cães. Ele e um amigo dedicavam-se com grande sucesso à criação de três raças de cães de guarda: Doberman, Rotweiller, e Pastor Alemão. Havendo interacção estratégica nesta actividade, os ganhos anuais podiam ser sintetizados no seguinte quadro: Sr. Malaquias Amigo do Sr. Malaquias Doberman Rotweiller Pastor Alemão Doberman 4,4 5,1 1,1 Rotweiller 4,1 10,10 4,10+x Pastor Alemão 1,4 9,1 9,9 Suponha que o jogo foi jogado durante dois anos, com as escolhas do primeiro período a serem observadas antes de se jogar a segunda vez, e sendo os payoffs totais iguais à soma do resultado em cada período. Com x estritamente positivo, construa um equilíbrio perfeito em subjogos em que as acções (Rotweiller, Rotweiller) fossem escolhidas no primeiro período. Qual o x máximo associado? (Nota: Teste 06/06/2005) 8