Matrizes. Determinantes. Inversão de matrizes. Sistemas lineares C 6. E 2. C 6. B 2. B 1. D 7. D 3. A 7. C 8. C 4. C 8. B 4. B 9. A 5.

Transcrição

1 Matrizes EM8 MAT_A_. C 6. E 7. D. A 8. C 9. A. C. D 6. B 8. B 9. B. B. a) º dia e º instante b) 7, C Determinantes EM8 MAT_A_. A. E. B. A 6. B. A 7. A 8. E 9. C. E. f π f Inversão de matrizes EM8 MAT_A_. E. E. B. C. D. B. D. B 6. C a) 7 b) c) Não possui inversa. Sistemas lineares EM8 MAT_A_. D 6. C. E. E. C 6. B 7. A 8., e z. 9.,, z e w. padeiros do tipo A, padeiros do tipo B, padeiros do tipo C. EM8 MAT_A_GAB MAT A GAB 77

2 Trigonometria no triângulo. E 6. E. A. C 6. B 8. B. D 7. E. D 9. B. B. C Ciclo trigonométrico e arcos EM8 MAT_B_ 8. a) CO Rcos e CD Rcos b) 9.,8 m.. cm ou cm. EM8 MAT_B_. A. E 6. A 7. B 8. B 9. E. B. D. C 7. A 8. C 9. A. 77 km. Operações com arcos EM8 MAT_B_. E. D 7. E.. D. E. D 8. C. D 9. A. B. 7 (+ + ). a) Aplicando trigonometria no triângulo retângulo ABC conclui-se que: cos cos sen sen Area cos sen cos sen sen b) cos m sen m Funções trigonométricas EM8 MAT_B_ 6. C. A 8. B 9. D 78 GAB MAT B. A. E 7. D 8. C 9. A. sec cossec sec + cossec cos + sen cos sen cos + sen cos sen cos sen cos + sen EM8 MAT_B_GAB

3 Matrizes EM8 MAT_A_ EM8 MAT_A_SOL. C M m m m m m m 7 6, se i j A epressão aij representa a matriz, que, se i<j representa a tabela dada.. A O número total de samambaias eistentes na reserva florestal é dado pela epressão: Portanto, a operação necessária entre as matrizes A e B, a fim de obter a epressão anterior, é A t B. Sabendo que os apartamentos de número comportam pessoas ao todo, temos: Portanto, o valor de n é dado por: Realizando o produto das matrizes, tem-se: % [ 8] % % %, +, +, + 8, 89 mg 6. E Epressando o cálculo da média em cada disciplina e representando como uma multiplicação de matrizes (linha coluna), temos: 9, + 6, +, +, Matemática : 9, 6,, + + +, 66, + 7, + 6, + 8, Português : 66, ,,, 86, + 6, 8+ 7, 8+ 9, Geografia : 86, 68, 78, 9, , + 6, + 9, + 77, História: 6, + 6, + + 9, 77, 9, 6,,, 66, 7, 6, 8, 86, 68, 78, 9, 6, 6, 9, 77, 7. D Analisando as informações apresentadas na tabela, tem-se o seguinte sistema linear: + + z z z 79 z C M que corresponde à média de cada aluno nas três avaliações. 9. A Analisemos item a item: a) Verdadeira. Pode-se ir de A até B passando por D. b) Falsa. A não possui coneão até B. c) Falsa. a. d) Falsa. Eiste apenas um caminho passando por D. e) Falsa. Eiste apenas um caminho (ADBC).. C Da rua para a rua, num período de minutos, o semáforo fica aberto por 7 segundos, de acordo com a matriz S. Ou seja, em h: 7 s min min s aberto a cada h Se em min (6 s), passam carros então: 6 s carros s 9 carros passam em horas. 6. D O elemento que pertence à.ª linha e à.ª coluna da matriz A T é o elemento a da matriz A. Logo, a. Pelo enunciado, a soma dos elementos de qualquer linha, coluna ou diagonal deve ser igual a ( + ). A única matriz que satisfaz essa condição é a apresentada na letra B. É imediato que i e j. Logo, a ordem da matriz A é. Além disso, sendo %, a taa de crescimento, conclui-se que o fator de crescimento dos reservatórios é igual a ( +,). Portanto, a resposta é B ( + k) A, com k,. MAT A SOL 79

4 A epressão dada equivale a A B+ + C A B+ + 6C B+ A+ 6C B+ A+ 6C B B Com os dados do enunciado, pode-se escrever: z w 6 8 z w A A I B I. Falsa. A. II. Falsa. AB BA AB 6 6 BA III. Verdadeira. Ver cálculos da afirmação II. IV. Verdadeira. ( AB) e ( BA) 9. B I. Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa. II. Falsa. Se A, AB AC não implica que B C. 6 III. Falsa. A matriz ao quadrado resulta na matriz nula. 8 6 Porém, seus elementos são diferentes de zero.. IV. Verdadeira. Propriedade das matrizes. V. Falsa. AB nem sempre é igual a BA, apenas se as matrizes A e B forem comutativas, o que não está escrito no enunciado. Portanto, não podemos afirmar esse fato. (A B) (A B) (A B) A (A B) B (A B) A AB BA + B Assim, não se pode afirmar que A AB + B A AB BA + B. a) A maior temperatura da matriz é,. Esse valor está registrado na.ª linha e.ª coluna. Sendo assim, podemos dizer que, corresponde ao elemento matricial a. Logo, o instante i é, enquanto o dia j é. Podemos concluir que a maior temperatura do paciente ocorreu no. dia e no. instante. b) As temperaturas do terceiro dia estão descritas na terceira coluna. Para calcular a média, devemos somá-las e dividir a soma por. 8, 6+ 7, + 6, M, 9 M M 7, Assim, a média das temperaturas do terceiro dia é 7, C. Determinantes EM8 MAT_A_ Observando que os elementos da quarta linha são múltiplos dos elementos da primeira, conclui-se que o determinante da matriz dada é igual a. O determinante da matriz dada é 6. Então, o determinante de n 6 n.. B As informações do teto e da situação proposta definem o seguinte a+ f 69, sistema de equações lineares:, cuja matriz dos 9, a+ 9, f 96, 8 SOL MAT A coeficientes de ordem equivale a 9, 9, e seu determinante, a,9,9,.. A A det A B detb det( AB) det A det B 7 EM8 MAT_A_SOL

5 EM8 MAT_A_SOL. E + ( + ) ( + + ) + + Sendo (, a, ) uma progressão aritmética, temos: a +, ou seja, a. Sendo (, a, c) uma progressão geométrica, temos: c a, ou seja, c 9. Sendo (a, b, c) uma progressão aritmética, temos: b a+ c, ou seja, b 6. Sendo det A 8, temos: log8 log8 log. A det( AB) det A det B ( ) ( + ) + ; Logo, a diferença é igual a.. A O determinante corresponde a ( 8) det( I A) det + ( + ) +. E A A B 8 7 ( 7 ) 8 7 r s t z s + t + r t r z+ s z z r s t s t r + t + rz sz Logo, a soma dos determinantes é igual a zero. Observação: apenas aplicando a propriedade de determinantes, que afirma que trocando de posição uma linha ou coluna o determinante troca de sinal, pode-se concluir que a soma é nula. 6. B Do enunciado, temos o seguinte sistema já organizado: z + z + z 7 Como o sistema pode ser escrito na forma AX B com X e B, conclui-se que: z 7 z 7 Nessas condições, A e, portanto, det A. 7. A O determinante da matriz A em função de e de é dado por deta Mas det A 6 e +. Logo, + ( + ) ( + ) 6. Assim, ² + 8 e ou 9. Daí, (, ) (, ) ou (9, ). Por outro lado, o determinante da matriz B é dado por det B Assim, dado que det B 9, conclui-se por inspeção que e e, assim, + 7. MAT A SOL 8

6 8. E log( ) log log loglog( [ ) ] log( ) ou ; log( ). Calculando o determinante, temos: f() cos sen cos f() cos sen f cos( )sen( ) f π π π cos sen π π cos sen 9. C det( A) det A, pois A é quadrada de ordem. Logo, 97 6 ( 6) Inversão de matrizes. E Como A B, segue que det( AB) det( A ) det( A ) ( deta) det A det ( AB).. E a) Não admite inversa, pois as linhas e são proporcionais e seu determinante vale zero. b) Não admite inversa, pois a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras. Seu determinante também é zero c) Não admite inversa, pois as linhas da matriz são proporcionais e seu determinante vale zero. d) Não admite inversa, pois a terceira linha é igual ao dobro da segunda menos a primeira e seu determinante vale zero. e) Seu determinante é 66 (diferente de zero). Logo, admite inversa.. B Calculando: a a A A I A A A I I I 6 A A A II I 6 A A A I I I A A A I A A A a EM8 MAT_A_ Calculando, inicialmente, a inversa da matriz M. T M M det Determinando, agora, a transposta da matriz N, temos: Portanto: N T T MN M N Considere a matriz B inversa da matriz A será dado por:, logo b Det( A) b A + 8 SOL MAT A EM8 MAT_A_SOL

7 . C Se a matriz não é invertível, então seu determinante é nulo. Logo, det A. D Para que a matriz M não admita inversa, o determinante deve ser nulo. Logo, m², ou seja, m ±.. B Para que a matriz A seja inversível, seu determinante deve ser diferente de zero. a a Logo, a+ a + a+ ( a+ ) ( a+ ) a ; a. D A condição necessária e suficiente para que uma matriz tenha inversa é que seu determinante seja diferente de zero. Nota-se imediatamente que para k, as colunas e se igualam e, nesse caso, o determinante será nulo. E para k, a matriz não admite inversa.. B a As matrizes diagonais de ordem são do tipo com a e b sendo números reais. b I. a c c a ac Verdadeira. b d d b bd II. Falsa. A matriz pertence a X, conjunto formado por todas as matrizes diagonais de ordem, e não possui inversa. III. Verdadeira. A matriz identidade de ordem é, que é uma matriz diagonal. IV. Verdadeira. Sejam a A b eb c d a Então, diagonal. c + b a+ c d, que é uma matriz b+ d 6. C I. Verdadeira. Como o produto é inversível, conclui-se que det A e det B. Considerando que B é antissimétrica, conclui-se que: t n det( B ) det( B) det B t n det B det B Portanto, n é par. II. Falsa. No eemplo A B Ou seja, a matriz AB é nula (não inversível) e n. III. Verdadeira. Se B for inversível, então o determinante de B é diferente de zero. n det B t det B Logo, n é par. Determinando a inversa de M, conclui-se que: IM ) det M M. det M II) P M 7 A soma dos elementos da diagonal principal é +. a b 8. Se a matriz c d é a inversa de, então: a b c d a+ b a a+ b b c+ d c c + d d 9. Portanto, a + b + c + d a) b) 8 6 c) 6 8 Logo, a matriz dada não possui inversa. EM8 MAT_A_SOL MAT A SOL 8

8 Sistemas lineares Sejam X e V os tempos que as luzes verde e vermelha ficam acesas, respectivamente. Do enunciado: X V V X Logo, Y + X+ V Y + X+ X X Y+ Admitindo a situação temos o seguinte sistema: Obtendo o produto temos: Como 7 temos: + + ( ) Multiplicando temos: + ( ) O número de suítes é, então: m+ p+ q 8 m+ p+ q 66 m+ p+ 8 m+ p+ 66 m 8; p Logo, a diferença procurada é igual a 8.. D m+ l+ r m+ l+ r m ; l ; r 8 m+ l+ r Logo, um arranjo com apenas uma de cada flor custará reais. EM8 MAT_A_ 6. C Considere, e z, respectivamente, o número de embalagens de L, L e L compradas pela família. Pode-se escrever: + + z z 6 Para resolver esse sistema linear, substitui-se por nas duas primeiras equações: + z 9 + z 7 z 7 + z 6 + z 6 O número 7 é divisor de 77.. E Seja H o número de filhos e M o número de filhas. Logo, H M H ; M H ( M) O total de filhos e filhas do casal é igual a 7.. E A+ B B+ C A+ C A+ B+ C 8 ( A+ B+ C) 8 A+ B+ C 9 Para solução única D. Logo, m m m Sejam, e z, respectivamente, o número de provas disputadas apenas por homens, apenas por mulheres e mistas. Conclui-se: + + z z 6. z 9 Portanto, a resposta é 9.. C Um sistema linear homogêneo terá infinitas soluções quando o determinante dos seus coeficientes for igual a zero, logo: a b c det a b c a b c 8 SOL MAT A EM8 MAT_A_SOL

9 6. B Para que o sistema homogêneo seja indeterminado devemos considerar o determinante dos coeficientes nulo. Então: k k k + k k Como k é um número real, devemos considerar k. Portanto, k (, ]. 7. A + + z z fazendo L L L e L L L, conclui-se que: + + z z 6 + z 7 fazendo L L L, conclui-se que: z + + z 6 + z 7 z z Logo, S abc z 8 + z + z z 6 6 z z z + w (I) + + z + w (II) Fazendo (I) (II) conclui-se que: z + w (III) + + z + w (IV) Fazendo (III) (IV) conclui-se que: z w w z + Substituindo em (I) e (III) conclui-se que: + ( + ) + z+ (z + ) + z (V) + ( + ) + z + (z + ) + z (VI) Somando (V) e (VI) conclui-se que +z, então: z. Logo,, z Substituindo em (I) e (II) conclui-se que: ( ) + + ()+ w + w ( ) + + () + w + w Então e w Portanto: z w. Sejam a, b e c, respectivamente, o número de padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C. Temos, a+ b+ 9c a+ b+ c a+ 7b+ c 77 a+ 7b+ c 77 a+ b+ c 6 a+ b+ c 8 a+ b c a+ 7b+ c 77 c a+ b 8 a+ 7b 7 c a b c Portanto, são necessários padeiros do tipo A, padeiros do tipo B e padeiros do tipo C. EM8 MAT_A_SOL MAT A SOL 8

10 Trigonometria no triângulo EM7 MAT_B_. D. E m m sen Considerando altura da pessoa em relação ao solo, temos: sen m P. B,76 m cos,,76,77,88m m 6 m A B C O triângulo ABP é isósceles (AB BP ) No triângulo PBC, conclui-se que: d sen6 d d m,77m Na figura temos:, 88 sen,, De acordo com a tabela dada, a medida aproimada de q é º. 6. E Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. A Pelas informações fornecidas, tem-se que: C (balão),7 6,8 A,7 A C B H tg 6 8, H 8, H 8, H, m. Do triângulo ABC obtemos tga BC BC tg AB BC 6, BC 9, 6 m. Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproimadamente igual a BC m (, ),. 86 SOL MAT B EM8 MAT_B_SOL

11 Sejam e, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo. Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se β oposto a e β oposto a. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos: sen βcos β sen β sen β sen β cos β. C Considere a figura. B A D 8. B Depois de uma hora de viagem o navio (N ) terá percorrido 6 km e o navio (N ) terá percorrido 6 km. Obtemos, então, a seguinte figura: Norte º º º 6 km 6º Sendo d a distância entre os navios, temos: d N N cos6 d C Como AB AD u.c. e BAD pela Lei dos Cossenos, obtemos: BD AB + AD AB AD cos BAD Logo, ( 6 ) BD 6 BD 6 EM8 MAT_B_SOL d d 96 d km 9. B Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC 6º e CPG 9º, vem SPG º. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos: SG SP + PG SP PG cosspg cos SG 8 + km. A O seno do ângulo c equivale a Sabendo a tangente do ângulo e o cateto adjacente, pode-se calcular a altitude (cateto oposto). Porém, se tivermos apenas uma das informações ficaremos com duas incógnitas.. D 7 + cos Logo, o outro lado do triângulo mede 8 cm. Pela Lei dos cossenos, conclui-se que: cos MAT B SOL 87

12 . C Aplicando a Lei dos Cossenos: (BC)² (AB)² + (AC)² (AC) (AC) cos BÂC (BC)² 8² + ² 8 cos 6 (BC)² (BC)² BC, 8 km 6. B Para o semáforo de coluna simples, temos H tg +, D +,,, D +, 6, D 97,, D, m. Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem H tg +, D +, H, 6,, +, H,, 6 D, m. Por conseguinte, como,,,m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre a via é aproimadamente,m maior do que a altura H do semáforo de coluna simples. 7. E S km E 8. Aplicando ao triângulo TES a Lei dos Cossenos determina-se a distância em quilômetros entre o epicentro e Sendai: cosα 9, km V 6 m km/h 6 km/h h 6 BC a) O lado BC corresponde a sen BC Rsen R CO O lado CD corresponde a CO. Logo, cos CO R cos R e CD Rcos b) A área do retângulo equivale a BC CD Rcos Rsen R ( sen cos ) R sen Como o seno admite valor máimo para um ângulo de 9º, conclui-se que 9. Os dados apresentados no problema sugerem a seguinte relação: 8, 88,, 7, m 8, Logo, o homem poderá se afastar,8,7,8 metros.. A km 6 km X 6 B C Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos: T + cos Resolvendo a equação do segundo grau, temos ou. Portanto, a resposta é: cm ou cm. 88 SOL MAT B EM8 MAT_B_SOL

13 Ciclo trigonométrico e arcos Medida do arco em rad: π rad 6 sen + co ( sen + cos ). A Logo, cos( 8 ) cos π tg tg( ) tg tg. E Dividindo por 6 obtemos quociente e resto. Concluímos, então, que o arco tem etremidade no terceiro quadrante. Dividindo 9 por 6 obtemos quociente e resto. Concluímos, então que é côngruo de 9. Logo, a resposta E é a correta. 6. A Pelos dados da tabela, conclui-se que: a a, cos cos cos co a π, π π s π 7. B 8. B Portanto, a resposta é. f sen + sencos + cos + sen sencos+ cos f + f() é uma função constante. π π π + π 8 7π π 6π+ π+ Logo, pode-se concluir que o arco trigonométrico corresponde a voltas e meia mais, parando no. quadrante. 9. E De acordo com a figura a seguir, concluímos que:,6 π sen,6 sen, Circunferência trigonométrica sen, < sen,6 <. π Logo, B< A< sen.. B Dentre os fatores de P, temos cos cos e cos 8º. Além disso, cada um dos ( ) - 76 fatores restantes é um número real pertencente ao intervalo ], [. Portanto, como o produto de um número par de fatores negativos é um número positivo, segue-se que cos9 cos 9 cos9 cos 68 cos 69 α com α ], [, o que implica em < P <. EM7 MAT_B_ π 8 π Logo, sen sen 8 sen + cos cos cos 9 sen tg cos 9 8, 9, EM8 MAT_B_SOL MAT B SOL 89

14 . D. C sen + cos cos 6 cos sen tg cos cos6 + sen + cos sen + cos + cos cos + sen cos sen + cos + cos Analisando o ciclo trigonométrico, conclui-se que são verdadeiras: I) tan 9 tan 88 III) tan 68 tan 88 IV) tan 7 tan A sen cos ( tg +) ( sen ) + ( cos ) cos cos sen ( cos ) cos + ( cos ) cos cos sen cos sen + cos 8. C I. Falso. cos cos(8 + ) cos 8 cos sen 8 sen cos cos cos(8+) cos como cos < cos cos > cos Operações com arcos II. Verdadeira. 6 π π 7 para > e < 9 tg() > < sen() <, ou seja, o maior valor de sen(), logo, tg 7 > sen 7. III. Verdadeira. sen8, ou seja, quanto mais próimo de 8 no quadrante, mais próimo de zero é o valor do seno. 9. A I. cos cos cos cos ou cos II. cotg cossec ( π)sec( π) cos cos sen cos sen sen sen sen sen( ) + cos sen π cos( π ) sen co sen cos. Logo, ou A distância na verdade é um arco d limitado pelos raios de 6 km e o ângulo central de 6. I. Representando 6 em radianos, temos: II.. D 8 πrad 6πrad π rad Calculando este comprimento de arco, temos: d km 6 ( 6 ) 9 77 EM7 MAT_B_ cos. E Se sen,6, então cos,8 (segundo quadrante) Sen sen cos,6 (,8),96 Sabendo que sen sen e cos sen, obtemos: cos( sen ) ( sen ) ( sen ) SOL MAT B P II quadrante sen( ) P Q A origem EM8 MAT_B_SOL

15 Q III quadrante sen( ) α Com isso α+ β 7 β α+ β é congruente a o. Então, tg 7 tg. sen cos sen ( ) 7, sen sen, 67 sen 6, Analisando a imagem a seguir, conclui-se que: cm h 7. E O comprimento horizontal c da rampa é o cateto adjacente do triângulo retângulo. Logo: c cos c 6 cos 6 Vamos calcular cos. Para isso, usa-se a fórmula: cos(a b) cos a cos b + sen a sen b. Podemos fazer. Assim: cos cos( ) cos cos + sen sen Sabemos que c 6 cos. Substituindo o valor do cos, temos: c c 6 + Para chegar numa alternativa correta, devemos elevar ao quadrado os membros da igualdade, ou seja: ( ) ( + ) + + c 6 + c 6 c c 6( 6+ + ) c 6 ( 8+ ) c 6 + c 6( + ) c 8 + Portanto, a alternativa correta é a letra E. EM8 MAT_B_SOL Início h sen h 6, h 6 m Como + π concluímos que sen cos e cos sen. De sen( ), temos: D + tg 7 tg 6 ( + ) E π π π sen sen cos sen cos cos. D cos 7 cos² 6 cos( 6 ) cos² 6 cos² 6 cos² 6 ( cos² 6 ) sen² 6 cos sen sen sen sen e cos cos + sen sen cos Assim: sen sen sen tg tg cos cos cos sen cos sen sen tg( )+. B tg( )+ 7 sen sen cos tg tg tg tg 69 cos cos cos tg tg ( ) + tg tg tgtg 7 + tg tg sen a / sen² a - cos² a ( tg tg) ( ) ( + tg tg) tg tg + tg tg. D Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, temos: MAT B SOL 9

16 Uma vez que pertence ao segundo quadrante. sen tg tg cos tg tg 6 6 tg 9 9 B A D ) cos( α+ β) sen 9 ( α+ β) ) No triângulo ABC, de acordo com a lei dos senos, tem-se: sen 9 α+ β sen α Assim: sen α sen α sen cos6 sen ( cos ) sen cos sena sena sena cosa sena cos a sen O denominador equivale a: sen² + sen² 7 sen² + cos² Logo: 8. C De acordo com os dados do problema, temos o sistema: Resolvendo o sistema temos 7 e. Utilizando uma das fórmulas de transformação em produto, temos: sen7 + sen sen cos 6 sen cos. 9. A A área de T é dada por sen, enquanto que a área de T é igual a sen. Logo, sabendo que a área de T é o triplo da área de T, temos: sen sen sen sen cos cos 6 9 SOL MAT B C. 7 ( + + ). () É uma oscilação periódica assim como a senoide e cossenoide. () O período total de observação foi de 9 horas e 9 minutos ou 9, horas. Como precisamos analisar a média da observação que foram em períodos, dividimos por obtendo 6, horas, aproimadamente. () Amplitude: V ma Vmin,, (8) π sen + sen + 8π π π P (6) E tg + sec sec sec sec sec sec sec cos sen. sen () sen, cos, no º quadrante e no º quadrante, pelo triângulo na imagem a seguir: Tem-se: cos e sen (negativo, º quadrante) Assim, são verdadeiras as afirmações, e. Soma 7. a) Aplicando trigonometria no triângulo retângulo ABC conclui-se que: AB cos cos sen sen Area cos sen cos sen sen b) Para que a área seja máima, sen e isso só ocorre se o, uma vez que é um ângulo agudo (º quadrante) Assim: cos m sen m C EM8 MAT_B_SOL

17 Funções trigonométricas O período da função dada equivale a π π Das alternativas, a única função que possui dois pontos de intersecção com o gráfico de f() é g() ².. A Sabemos que a lei de F é F() + sen(). Portanto, como F() e F π + segue que a alternativa A apresenta o gráfico de F no intervalo [, ]. 86 Maior valor (cos (,6t) ) rt () 69 +, ( ) 86 Menor valor(cos(,6t) ) rt () +, () Somando, temos: arcsen sen Q cos cosarcsen cos. o resultado é Tmá + 7 C. Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem cos πt π + 6. Assim, πt π πt π cos + cos cos πt π + + kπ 6 t k Tomando k, segue-se que t h. 9. D O período de f é igual a ( + π - π). Logo, temos c. Além disso, o gráfico de f corresponde ao gráfico de f() a + bsen deslocando duas unidades para a direita. Em consequência, d. O conjunto imagem de f é o intervalo [, ]. Desse modo, temos: [a b, a + b] [,] a e b Portanto, segue que f + sen( ) com [, + π] É fácil ver que f f( ). Logo, f + sen( ) sen( + ). Ademais, temos f f + sen( + ) e f f sen EM7 MAT_B_ EM8 MAT_B_SOL 6. C π f + cos, cos π 6 6 π π + k π 6 ou π π + k π, com 6 k + k ou 8+ k Assim, no intervalo [; ], os únicos valores possíveis de são e 8. arcsen sen Q cos 9 cos 9 cosarcsen cos cos B O período da função é dado por π π h. 6 A temperatura máima ocorre quando cos πt π + atinge seu 6 valor máimo, ou seja, quando cos πt π +. Logo, tem-se que 6. A,, 8, tg α tg α 8, α arctg O menor valor de acontece quando cos é máimo. cos A função cos assume valores entre e. Assim, se cos, conclui-se que: cos. E se cos, a epressão cos. Logo, o menor valor de ocorre quando cos, e cos assim,. cos ( ). E π π f() + sen e f sen + π Logo, o gráfico que possui os pontos (, ) e, é o representado na letra E. π a) Falsa. f cos +. ( + ) b) Falsa. f π cos. + + π c) Verdadeira. f cos +. ( + ) d) Falsa. f(). e) Falsa. Porque os únicos valores inteiros de f() são f(), f() e f(). MAT B SOL 9

18 As funções dadas são representadas graficamente por: f() π/ π π/ π π/ g() Assim, pode-se concluir que o período da função f() é o dobro do período da função g(). arcsen sen + + a ; b a + b 6 7. D π π Sendo < <, temos: sen arcsen sen + cos + cos sen cos sen tg cos 9. A π π O domínio mais amplo da função f é (, π){, π, }, pois devemos ter cos e sen, e nesse domínio concluímos que f(). π π Já o domínio de g é [, π]{, }. O domínio de h, por sua vez, é dado por (, π){ π}. Assim, as intersecções de f e g são os pontos em que sec cos sen, mas esses pontos não estão no domínio de f. Assim, concluímos que não eistem pontos de interseção entre f e g. Do mesmo modo conclui-se que não eistem pontos de interseção de f com h, pois esses pontos satisfariam cossec sen cos Averiguando as interseções entre g e h, temos: π π π 7π sec cossec sen cos {,,, }. E os valores encontrados estão no domínio de ambas as funções. Logo, tem-se pontos de interseção entre g e h e a resposta é,,.. sec cossec sec + cossec cos + sen cos sen cos + sen cos sen cos sen cos + sen 8. C π Sabemos que sen a+ a cos e sen a sen a cos a Com isso, f ( ) sen sen sen s cos π π π π π en π f sen (A) Podemos observar que o máimo da função ocorre quando π sen f. Logo, a proposição é verdadeira. (B) Para acharmos os instantes de tempo em que a onda atinge as cristas, devemos resolver a equação:, onde π π π π sen sen kπ k ± + +. (C) Vemos no item b que +, onde, são os instantes onde ocorrem as cristas da onda. Substituindo valores de, achamos que ocorrem somente duas cristas até minutos ( e ) e não mais do que duas. Logo, a proposição é falsa. (D) Vamos calcular f() para,,,..., ou seja, + k, onde k. 9 SOL MAT B EM8 MAT_B_SOL