Termodinâmica I - FMT 159 Segunda prova: 30/11/2009 Noturno

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1 ermodinâmica I - FM 159 Segunda prova: 30/11/2009 Noturno AENÇÃO: JUSIFIQUE todas as suas respostas. Não destaque a folha de rascunho. empo de prova: 100 minutos. NOME: 1. (3,0) Em uma máquina térmica o agente é um gás ideal de coeciente adiabático γ, que executa o ciclo da gura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA é uma isoterma. (a) (0,25) Em que etapas do ciclo o gás recebe calor? Em que etapas cede calor? Em que etapas realiza trabalho? em que etapas trabalho é realizado sobre o sistema? Justique suas respostas! (b) (0,75) Calcule o calor trocado e o trabalho realizado/recebido em cada uma das etapas. Lembre que: U Q W ; U n c v. Etapa AB: Nessa etapa W 0 (pois V constante) U Q n c v ; Como > 0 temos Q > 0; o sistema recebe calor. Etapa BC: Nessa etapa Q 0 (adiabática) U W W n c v ; Como < 0 temos W > 0; o sistema realiza trabalho. Etapa CA: Nessa etapa constante U 0 e portanto Q W ; como o volume diminui, W < 0 (o sistema recebe trabalho) e Q < 0 (o sistema cede calor). Vf Vf dv Nesse caso W p(v ) dv N R V NR ln(v f / ) Q. 1

2 (c) (1,00) Calcule o rendimento, em função das variáveis c p, c v, γ, r, R, ou (nem todas podem ser necessárias.) η W Q 1 Em uma adiabática, V γ 1 constante; portanto ( ) W 1 Q nr CA A ln VA VC 1 Q AB Q AB n c v ( ), C ( VB V C ) γ 1, sabemos também que V A V B e que C portanto V A V C ( B ) 1/(γ 1) 1 r (1) η 1 R ln ( / ) 1/(γ 1), (2) c v ( / 1) (d) (1,00) Exprima o resultado primeiro em função de γ e r, e depois apenas em função da razão ρ / entre as temperaturas extremas. (Lembre-se que a log(x) log(x a ).) Usando o resultado do item anterior, podemos escrever c v e c p em função de R e γ, com R/c v (γ 1). Substituindo na expressão anterior temos η 1 (γ 1) ln (/ ) 1/(γ 1). (3) / 1 substituindo V A V B V e V C rv na equação (1) teremos η 1 ln (/ ) / 1. (4) ( ) 1 (γ 1), r 1 ρ, (5) substituindo as expressões acima na equação (4) teremos respectivamente η 1 + (γ 1) ln r r (1 γ) 1, η 1 + ρ ln ρ 1 ρ. (6) 2

3 2. (2,0) Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: suponha que isso fosse possí vel, complete o ciclo com uma isoterma e mostre que a segunda lei da termodinâmica seria violada se um tal ciclo existisse. Solução: p A Q0 B Q0 Q0 C V Note que no processo isotérmico AB temos U AB 0, então o calor é absorvido, tal que Q AB W AB > 0. Além disso, nos outros dois processos BC e CA, ambos adiabáticos, temos que Q BC Q CA 0. Portanto, tal ciclo constituiria uma máquina térmica miraculosa, onde o único efeito seria absorver uma quantidade de calor Q AB > 0 de uma fonte quente e realizar uma certa quantidade de trabalho (correspondente à área dentro do ciclo) também > 0, violando a segunda lei da termodinâmica (enunciado de Kelvin). 3

4 3. (2,0) Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 l de água a 30 o C. Coloca-se nele um bloco de 500 g de gelo. (a) (0,5) Calcule a temperatura nal do sistema. Considere 80 cal/g para o calor latente de fusão do gelo. (b) (1,5) Calcule a variação de entropia do sistema. Solução: (a) Como a energia é conservada U total 0 e como nenhum trabalho é realizado no processo W total 0, portanto Q total 0. Dessa forma, o calor absorvido pelo gelo é igual em modulo pelo calor cedido pela água líguida portanto Q g + Q l 0, (7) m g L fusão + m g c ( f ig ) + m l c ( f il ) 0, (8) f m gl fusão c (m g ig + m l il ) c (m l + m g ) onde c é o calor especíco da água 1,0 cal/g o C, m g é a massa do gelo, m l é a massa da água na fase líguida, ig é a temperatura inicial do gelo, il é a temperatura inicial da água na fase líguida. Fazendo as contas teremos (b) A variação de entropia do sistema é dada por S m gl fusão S m gl fusão substituindo os dados do problemas obtemos (9) f 281, 23 K 8 o C (10) f + m g c ig d + m lc f il d, (11) ( ) ( ) f f + m g c ln + m l c ln, (12) ig il S 10, 9 cal/k. (13) 4

5 4. (3,0) Dois litros de ar (γ 1, 4), inicialmente à pressão de 1,0 atm e à temperatura de -73 o C sofrem uma expansão isobárica até chegar a um volume 50% maior que o inicial, seguido de um resfriamento, a volume constante, até chegar à pressão de 3/4 atm. Suponha que o ar se comporte como um gás ideal. (a) (0,5) Desenhe a transformação em um diagrama P-V; Calcule o número de moles de ar contidos nos 2 l, a temperatura depois da expansão isobárica, bem como a temperatura nal do ar. (b) (0,5) Calcule a capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (c p e c v ), para esse gás. Deixe o resultado na forma de fração. (c) (1,0) De quanto varia a entropia do sistema? (Não se esqueça de especicar em que unidades essa variação foi calculada.) (c) (1,0) Suponha que a expansão se dê através do contato com um reservatório térmico a 300 K e que o resfriamento se dê através do contato com um outro reservatório térmico a 200 K. Qual a variação de entropia dos reservatórios? O que é possí vel falar sobre a reversibilidade ou irreversibilidade do processo? JUSIFIQUE SUA RESPOSA! Solução: p(atm) 1,00 0,75 C V 1,5V (a) o número de moles de ar contidos nos 2 l, pode ser obtido através dos dados iniciais do gás n pv R (1, 0 atm) (2 l) ( , 1249 mols (14) atm.l/mol.k) (200, 15 K) As temperaturas são calculadas usando a lei dos gases ideais tal que pv nr V A 200, 15 K nr (15) ( ) V A nr 3 2 e C 3 ( ) V A nr 9 8 (16) (b) A capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (c p e c v ), para esse gás. γ c p c v 1, c p 7 5 c v, (17) 5

6 usando obtemos c p c v R, (18) c v 5 2 R, e c p 7 2 R (19) (c) A variação de entropia no sistema é dada por S total S isob + S isov (20) ( ) ( ) VB C S total nc p ln + nc v ln (21) V A ( ) 7 S total n 5 c v ln ( 3 2 S total nc v [ 7 5 ln ( 3 2 ) + nc v ln ) + ln ( 3 4 ( ) 3 4 )] (22) (23) S total 0, 52 J K (24) (d) A variação de entropia dos reservatórios é, em modulo, igual ao calor trocado com o sistema dividido pela temperatura do respectivo reservatório. S viz Q isob Q isov, (25) 300K 200K o sinal negativo representa o fato da quantidade do calor absorvido(cedido) pelo reservatório é a quantidade contrária ao calor cedido(absorvido) pelo sistema. [ ncp ( ) S viz + nc ] v ( C ), (26) 300K 200K S viz A entropia do universo é então mostrando que o processo é irreversível! [ n 7 5 c ( 3 v 2 ) A + nc v 300K ( ] A) 200K [ 7 1 S viz nc v K K, (27) ], (28) S viz 0, 23 J K, (29) S univ S total + S viz 0.29 J K > 0 (30) 6

7 FORMULÁRIO R atm.l/mol.k 8 J/mol.K 2 cal/mol.k ; 1 cal 4 J; 1 atm.l 100 J 24 cal 1 atm 10 5 P a; 1 mmhg 133 P a. 1 l 10 3 m 3 ; 1 mol ocupa 22,4 l nas condições normais de temperatura e pressão. γ c p /c v, e c p c v R. Para um gás ideal: P V nr, U n C v ; em uma adiabática, as expressões P V γ, V γ 1, e /P (γ 1)/γ são constantes; Para a água: calor latente de fusão 80 cal/g; calor latente de vaporização 540 cal/g; calor especíco da água 1,0 cal/g o C. V f dv V γ V C V (1 γ) f Vf dv V (1 γ) f V (1 γ) i 1 γ ln V f V (1 γ) i 1 γ P f V f P i 1 γ ; Se o processo é adiabático (PV γ C), então RASCUNHO - devolva esta folha GRAMPEADA junto com sua prova. 7