REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA

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1 REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA AULA 1 Mínimo Múltiplo Comum Máximo Divisor Comum Profe. Kátia

2 MMC - Mínimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (MMC) corresponde ao menor número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números. Como Calcular o MMC? O cálculo do MMC pode ser feito, através da comparação da tabuada desses números. Por exemplo, vamos descobrir o MMC de 36, 45 e do 9. Para isso, vamos comparar a tabuada desses números: M (36) = {36, 72, 108, 144, } M (45) = {45, 90, 135, 180, 225,...} M (9)= {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180,...} Note que o menor múltiplo em comum é o número 180. Portanto, dizemos que o 180 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 36,45 e 9. Essa forma de calcular o MMC é prática? Para números grandes ou mais de dois números, o melhor é usar o método da fatoração, ou seja, decompor os números em fatores primos. Como exemplo, vamos calcular o MMC entre 36, 45 e 9 usando esse método:

3 Propriedades do MMC Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles. Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior deles. Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por esse outro. Ao multiplicar o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é o produto desses números. Ao dividir o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é igual ao produto de dois números primos entre si. MDC - Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) corresponde ao maior número divisível entre dois ou mais números inteiros. Lembre-se que os números divisores são aqueles que ocorrem quando o resto da divisão é igual a zero. Por exemplo, o número 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se dividirmos esses números pelo 12 obteremos um resultado exato, sem que haja um resto na divisão. Quando um número tem apenas dois divisores, ou seja, ele é divisível somente por 1 e por ele mesmo, eles são chamados de números primos. Vale notar que todo número natural possui divisores. O menor divisor de um número será sempre o número 1. Por sua vez, o maior divisor de um número é o próprio número. Atenção! O zero não é divisor de nenhum número.

4 Como calcular o MDC? Para encontrar o MDC, podemos determinar separadamente os divisores de cada termo numérico e em seguida verificar qual o maior divisor comum entre eles.. OBS: Para considerarmos um número como sendo divisor de outro, devemos obter divisões exatas, ou seja, com resto zero na divisão. Acompanhe o exemplo do cálculo de MDC de 12, 20 e 24: D (12)= { 1, 2, 3, 4, 6, 12) D (20)= { 1, 2, 4, 5, 10, 20} D (24)= { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Essa forma de calcular o MMC é prática? Para facilitar e agilizar o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre números, devemos realizar a fatoração por meio da decomposição dos números indicados. Ao realizarmos a decomposição numérica para encontrarmos o MDC, devemos considerar como divisor somente os fatores primos que dividem simultaneamente todos os números da decomposição. Calculando o MDC de 12,20 e 24:

5 Propriedades do MDC Quando fatoramos dois ou mais números, o MDC deles é o produto dos fatores comuns a eles, por exemplo o MDC de 12 e 18 é 6. Quando temos dois números consecutivos entre si, podemos concluir que o MDC deles é 1, uma vez que eles serão sempre números primos. Por exemplo: 25 e 26 (o maior número que divide ambos é o 1). Quando temos dois ou mais números e um deles é divisor dos outros, podemos concluir que ele é o MDC dos números, por exemplo, 3 e 6. (se 3 é divisor de 6, ele é o MDC de ambos). EXERCÍCIOS 1. Vovó foi viajar com a Tuma da melhor idade do bairro. O número de pessoas está entre 60 e 100. Quantos havia na viagem, se podemos contar as pessoas de 8 em 8 ou de 10 em 10? 2. Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto e, andado, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida? 3. Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 25 minutos, e um terceiro relógio C a cada 40 minutos. Qual é, em horas, o menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios? 4. Três luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o segundo, a cada 24 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os luminosos voltarão a acender simultaneamente? 5. A estação rodoviária de uma cidade é o ponto de partida das viagens intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 minutos partem um ônibus da viação Sol, com destino a cidade paraíso. Os ônibus da viação Lua partem da plataforma vizinha cada 18 minutos, com destino a cidade Porta do Céu. Se, às 8 horas os dois ônibus partirem simultaneamente, a que horas os dois ônibus partirão juntos novamente?

6 6. De um aeroporto partem, todos os dias, três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro, em 10 dias. Se, certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões esses aviões partirão novamente no mesmo dia? 7. Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, de 15 e 20, Caio observou que sobravam sempre 7 figurinhas fora dos grupos. Se o total de figurinhas for compreendido entre 200 e 300, qual será a soma dos algarismos do número de figurinhas de Caio? 8. Numa classe há 28 meninos e 21 meninas. A professora quer formar grupos só de meninos ou só de meninas, com a mesma quantidade de alunos e usando ao maior quando possível. a) quantos alunos terão cada um desses grupos? b) quantos grupos de meninas pedem ser formados? c) quantos grupos de meninos? 9. Em classe existem menos de 40 alunos. Se o professor de Educação Física resolve formar grupos de 6 alunos, ou de 10 alunos, ou de 15 alunos, sempre sobra um aluno. Quantos alunos têm a classe? a) 41 alunos b) 30 alunos c) 31 alunos d) 21 alunos 10. Para o casamento de sua filha Bernadete, dona Fátima encomendou 600 rosas, 300 margaridas e 225 cravos. Ela quer fazer arranjos de flores para enfeitar o salão de festas, sem deixar sobrar nenhuma flor. Todos os arranjos devem ser iguais e, para isso, devem ter o mesmo número de rosas, de margaridas e também de cravos. Desejando montar o maior número possível de arranjos, quantas flores dona Fátima deve colocar em cada um? 11. Um cesto contém maçãs, em número menor que 150. Distribuindo-se as maçãs em sacos, formando grupos de 7, sobrarão 3 maçãs. Distribuindo-se de 5 em 5, também sobrarão 3 maçãs. Sabendo que se as maçãs forem distribuídas de 11 em 11 não sobrará nenhuma maçã, calcule o número de sacos necessários para essa distribuição. 12. Todos os alunos de uma escola de ensino médio participarão de uma gincana. Para essa competição, cada equipe será formada por alunos de um mesmo ano com o mesmo número de participantes. Veja na tabela a distribuição de alunos por ano: a) Qual é o número máximo de alunos por equipe? b) Quantas equipes serão formadas ao todo?

7 13. Regina possui 3 pedaços de fita, como os apresentados abaixo, que serão utilizados na confecção de alguns enfeites. Ela pretende cortá-los em pedaços do maior tamanho possível, de forma que não haja sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho. a) Qual será o tamanho de cada pedaço de fita após o corte? b) Quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo? 14. Três viajantes de firma sairão a serviço no mesmo dia. Sabe-se que: O primeiro faz viagens de 12 em 12 dias; O segundo faz viagens de 20 em 20 dias; O terceiro faz viagens de 25 em 25 dias. Depois de quantos dias sairão juntos novamente? 15. (Enem 2010) Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro? a) Domingo. b) Segunda-feira. c) Terça-feira. d) Quinta-feira. e) Sexta-feira.