1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016

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1 1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica o semestre de 16 1 Para que valores de t R a função definida por (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + tx y é um produto interno em R? Para cada par de vetores u = (x 1, x ) e v = (y 1, y ) de R, defina u, v = x 1 y 1 x 1 y x y 1 + x y Prove que, é um produto interno em R Ache todos os vetores de R que são ortogonais ao vetor (1, ) Calcule (1, ) 3 Determine λ R para que os polinômios p = x 1 e q = λx sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em P (R): a p, q = 1 p(x)q(x) dx; 1 b p, q = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1) + p()q() 4 Seja E um espaço vetorial real de dimensão finita n (a) Suponha que, é um produto interno definido em E Seja B = (u 1, u,, u n ) uma base de E Forme a matriz A = (a ij ), onde a ij = u i, v j Mostre que i A é uma matriz simétrica, ou seja, A = A t ii Para todo x = (x 1,, x n ) R n, tem-se xax t > iii Dados u, v E quaisquer, onde u = (u 1,, u n ) B e v = (v 1,, v n ) B, temos que u, v = (u 1,, u n )A (b) Reciprocamente, seja A uma matriz de tamanho n n satisfazendo i e ii em (a) Seja B uma base de E Mostre que iii em (a) fornece um produto interno em E 5 Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam u, v V Considere as seguintes relações envolvendo o produto interno e a norma em V : v 1 v n (A) u = v ; (I) u, v = u v ; (B) u + v = u + v ; (II) u + v, u v = ; (C) u + v = u + v ; (III) u, v = Assinale a alternativa contendo equivalências corretas: (a) (A) (III), (B) (II), (C) (I) (b) (A) (II), (B) (I), (C) (III) (c) (A) (I), (B) (III), (C) (II) (d) (A) (II), (B) (III), (C) (I) (e) (A) (I), (B) (II), (C) (III) 6 No espaço P (R) dos polinômios, mostre que, se a, b R e a < b, então p, q = b p(t)q(t)dt é um produto a interno Verifique por que não é um produto interno em C(R) (espaço das funções contínuas de R em R) embora o seja em C([a, b]) Observe também que, mudando os valores de a e b, obtemos um produto interno diferente no mesmo espaço P (R)

2 7 Seja V um espaço vetorial com produto interno, Considere as seguintes afirmações: (I) Dados v, w V, v e w são ortogonais se, e somente se, v + w = v w (II) v, w = 1 4 ( v + w v w ) para todo v, w V (Isso implica que se dois produtos internos em V têm as mesmas funções norma então eles são iguais) (III) Se V = [v 1, v,, v n ] e v, v i = w, v i para todo i, então v = w Assinale a alternativa correta: a As três afirmações são falsas b As três afirmações são verdadeiras c Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras d Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras e Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras 8 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n, com produto interno, Suponhamos que exista um subconjunto E = {v 1,, v n } com a seguinte propriedade: Para todo v V, se v, v i = para todo i, com 1 i n, então v = Nestas condições, podemos afirmar: a E é uma base ortogonal de V b E gera V mas pode não ser li c E é uma base de V d E pode ser ld e E nunca é base de V 9 Sejam p e q dois polinômios de grau Mostre que dados 1173 números reais diferentes quaisquer {c i } 1173 i=1 tem-se: ( 1173 i=1 p(c i )q(c i )) ( 1173 i=1 ) ( 1173 p(c i ) 1 Sejam f e g as seguintes funções definidas no intervalo [5π, 5π]: i=1 q(c i ) ) Mostre que ( 5π f(t) = et +33 sen(t 3 ) π f(t)g(t)dt) esen(t 35 ), g(t) = ( 5π 5π ln cos ( t ) ) ( 5π ) f(t) dt g(t) dt 5π 11 Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço vetorial R 3 munido com o produto interno usual para mostrar que, dados os números reais estritamente positivos a 1, a, a 3, vale a desigualdade: ( 1 (a 1 + a + a 3 ) ) 9 a 1 a a 3 1 Sejam f(x) e g(x) funções contínuas em [, 1] Prove: ( 1 ( ) ) dt 1 ( 1 ) 1 ( f(t) + g(t) f(t) 1 ) 1 dt + g(t) dt 13 Seja E um espaço vetorial munido com um produto interno, Mostre que u + v u + v + w para quaisquer vetores u, v, w de E

3 14 Seja E um espaço vetorial com produto interno, Considere as seguintes afirmações: (I) se B = {e 1,, e n } é uma base de E então: para todo x E; x = x, e 1 e x, e n e n, (II) se u, v E são li e se w = v proj u v então w é ortogonal a u se e somente se u = 1; (III) se {u, v, w} E é li e se z = w proj u w proj v w então z é ortogonal a u e a v Assinale a alternativa correta: a apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras b apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras c apenas a afirmação (III) é verdadeira d apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras e nenhuma das afirmações é verdadeira 15 Em V = M (R) com o produto interno dado por A, B = tr B t A, considere o subespaço W = {X M (R) X t = X} Nestas condições a dimensão de W é: a 4 b 3 c d 1 e 16 Encontre uma base ortonormal para P (R), com respeito ao produto interno p, q = p( 1)q( 1)+p()q()+ p(1)q(1) + p()q() 17 Encontre uma base ortonormal (com respeito ao produto interno canônico) para o subespaço U de R 4 gerado pelos vetores v 1 = (1, 1, 1, 1), v = (1, 1,, 4) e v 3 = (1,, 4, 3) 18 Considere em P (R) o produto interno definido por p, q = 1 p(x)q(x) dx a Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt ao conjunto {1, x, x } e obtenha um conjunto ortogonal com coeficientes inteiros b Encontre uma base ortonormal para o subespaço gerado por {1, x, x } 19 Em P 3 (R), considere o produto interno p, q = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1) + p()q() Se aplicamos o algoritmo de Gram-Schmidt à base {x 1, x } de um subespaço U de P 3 (R) obtemos a base ortogonal a {x 1, 1 3 x 3 } b {x 1, 3 x 4 3 } c {x 1, x } d {x 1, x + } e {x 1, 3 x } Em P 3 (R) considere o produto interno: p, q = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1) + p()q() Calcule proj P1(R) x 3 Esboce no mesmo plano cartesiano os gráficos dos polinômios x 3 e proj P1(R) x 3 Interprete o resultado

4 1 Em C ( [, π] ) munido do produto interno f, g = π f(x)g(x) dx considere o subespaço S = [1, sen x, cos x] Calcule proj S (x ) Considere o espaço vetorial C([, ]) com o produto interno f, g = f(t)g(t)dt Seja U o subespaço [1, t] Assinale a alternativa correta a proj U (e t ) = e 1 + 3t b proj U (e t ) = e t c proj U (e t ) = e 1 + 7t d proj U (e t ) = e 1 + 5t e proj U (e t ) = e 7 + 3t 3 Sejam a, b R tais que a expressão: π [ cos x (ax + b) ] dx assume o seu valor mínimo Assinale a alternativa correta: a a = e b = π b a = b = c a = π e b = d a = e b = π e a = π e b = π 4 Determine o polinômio de grau menor ou igual a que está mais próximo da função f(x) = e x no intervalo [, 1] considerando em C ( [, 1] ) o produto interno usual, ou seja, o produto interno dado por f, g = 1 f(x)g(x) dx 5 No espaço vetorial M (R) considere o produto interno: ( ) ( ) a11 a A, B = 1 b11 b, 1 = a a 1 a b 1 b 11 b 11 + a 1 b 1 + a 1 b 1 + a b a Prove que A, B = tr(b t A), onde X t denota a transposta de uma matriz X e tr(x) denota o traço de uma matriz quadrada X (isto é, a soma dos elementos de sua diagonal principal) b Se W = {( x y z w ) : x + y z = }, determine uma base ortonormal para W c Se W é como em (b), determine o vetor de W que está mais próximo de A = ( 1 1 ) 6 Seja V = C([ π, π]) com o produto interno dado por f, g = π π f(t)g(t)dt No subespaço W = [1, sen t, cos t] e lembrando que o conjunto {1, sen t, cos t} é ortogonal, o vetor mais próximo de t é: a sen t b cos t c 1 + sen t π + cos t π 1 d π sen t π + cos t π e cos t π

5 7 Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno,, S um subespaço de V e u, v V tais que v S e u v S Pode-se afirmar que: a u, v = b u S c u = d u, v = v e u, v = u 8 Considere R 4 com o produto interno usual Seja Assinale a alternativa correta a U = [(,, 1, 3), ( 1, 1,, )] b U = [(,, 1, 3)] c U = [( 1, 1,, )] d U = [(1, 1,, ), (,,, 3)] e U = [(,, 1, 3), (1, 1, 3, )] 9 Considere em R 4 o produto interno canônico e seja (a) Determine uma base ortonormal de S U = {(x, y, z, w) R 4 x + y = e x + z + 3w = } S = { (x, y, z, w) R 4 : x y + z + w = } (b) Dado v R 4, encontre vetores v 1 S e v S tais que v = v 1 + v 3 Considere em P 3 (R) o produto interno dado por p, q = 1 p(x)q(x) dx Seja (a) Determine uma base ortonormal de S S = { p P 3 (R) : p(1) = } (b) Dado p P 3 (R) encontre vetores p 1 S e p S tais que p = p 1 + p 31 Sejam E um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, S um subespaço de E, B um subconjunto de S e C um subconjunto de S Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA: a se B é uma base de S e C é uma base de S então B C é uma base de E b B C {} c se B e C são linearmente independentes então B C é linearmente independente d se B é uma base de S e C é uma base de S então B C gera E, mas pode não ser linearmente independente e se B gera S e C gera S então B C gera E 3 Sejam S e T subespaços de um espaço vetorial E com produto interno Considere as afirmações: (I) (S + T ) S T ; (II) Se E tem dimensão finita, então dim (S ) = dim S; (III) S + T (S T ) Podemos afirmar que: a As afirmações (I) e (III) são verdadeiras somente no caso em que E tem dimensão finita b As três afirmações são falsas c Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras d Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras e As três afirmações são verdadeiras

6 33 Seja V um espaço vetorial com produto interno, Seja U um subespaço de dimensão finita de V e {u 1,, u n } uma base de U Seja x um elemento de V Considere as afirmações: (I) Existem únicos u U e v U tais que x = u + v (II) O elemento de U mais próximo de x é w = x, u 1 u 1 u x, u n u n u n (III) Se U é um subespaço de V tal que V = U U, então U = U Assinale a alternativa correta: a As três afirmações são verdadeiras b Apenas (II) e (III) são verdadeiras c Apenas (I) e (II) são verdadeiras d Apenas (I) é verdadeira e Apenas (III) é verdadeira 34 Em cada um dos itens abaixo, verifique se a transformação T dada é linear: a T : C(R) R definida por T (f) = f(a), para toda f em C(R), onde a é um número real fixado b T : C (R) C (R) definida por T (f) = f, para toda f em C (R) c T : C (R) C (R) definida por T (f) = af + bf + cf, para toda f em C (R), onde a, b e c são números reais fixados d T : C(R) C(R) definida por T (f)(x) = x a f(t) dt, para toda f em C (R) e todo x R, onde a R é um número real fixado 35 Ache uma transformação linear T : P (R) P 4 (R) tal que T (1) = x 4, T (x + x ) = 1 e T (x x ) = x + x 3 Determine T (a + bx + cx ) 36 Seja V um espaço vetorial e T : V V uma tranformação linear Sejam v, w V Ache T (3v + w) e T (w) em termos de v e w, sabendo que T (v w) = v w e T (w v) = v + w 37 Recorde que o traço de uma matriz quadrada A é a soma de todos os elementos de sua diagonal principal, isto é, se A = (a ij ) n n, então tr(a) = a 11 + a + + a nn a Mostre que a função tr : M n (R) R é linear b Mostre que dim ker(t ) = n 1 c Mostre que tr A = tr A t, onde A t denota a transposta da matriz A 38 Sejam E um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e S E um subespaço de E Seja T : E E a transformação definida por T (u) = proj S u, para todo u E Considere as afirmações: (I) ker(t ) = S e im(t ) = S; (II) Se {v 1,, v k } é uma base de S e u E, então (III) T (u) = u se, e somente se, u S T (u) = u,v1 v 1 v u,v k v k v k ; Podemos afirmar que: a Apenas as afirmações (I) e (III) são falsas b Todas as afirmações são verdadeiras c Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas d Apenas a afirmação (II) é falsa e Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas

7 39 Seja T : M n (R) M n (R) definida por T (M) = AM MA, onde A M n (R) é uma matriz fixada Mostre que T é linear e determine seu núcleo A matriz identidade pertence à imagem de T? 4 Ache uma transformação linear T : P 3 (R) M 3 (R) tal que im(t ) seja gerada pelos vetores , 3 5, Ache uma base para im(t ) e uma base para ker(t ) 41 Sejam a, b, c R e T : M 4 1 (R) M 4 1 (R) a transformação linear definida por T (X) = AX, X M 4 1 (R), onde: 1 1 a A = b b c Pode-se afirmar que: a T não é injetora b se a = 1, b e c 1 então T é injetora c T é bijetora se e somente se a = 1, b e c 1 d T não é sobrejetora e se a 1, b e a + c então T não é bijetora 4 Seja T : P (R) R 3 uma transformação linear tal que T (1) = (1,, 1), T (1 + x) = (1, a, b), T (1 + x + x ) = (1, 1, ) Os valores reais de a e b para os quais T não é injetora são: a Sempre que a + b 3 b Sempre que a + b = 5 c Sempre que a + b = 3 d Sempre que a + b 5 e T é injetora para todos os valores de a e b 43 Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas a T : R R definida por T (x) = x é linear b T : R R definida por T (x) = x é linear c T : P n (R) R definida por T (a + a 1 x + + a n x n ) = a n é linear d Qualquer matriz real 5 6 define uma transformação linear de R 6 em R 5 e Se T : V W é uma transformação linear, dim(v ) = 6, dim(w ) = 4 e dim ker(t ) =, então T é sobrejetora f Se T : V W é uma transformação linear e im(t ) = {}, então T (x) =, para todo x V g Se T : V W é uma transformação linear e dim(v ) dim(w ), então T é injetora h Se T : V W é uma transformação linear injetora, então dim(v ) dim(w ) 44 Determine um operador linear T : R R cujo núcleo seja a reta { (x, y) R : y = x } e cuja imagem seja a reta { (x, y) R : y = x } 45 Determine um operador linear T : R R que tenha como núcleo e como imagem a reta [(1, )] 46 Determine um operador linear T : R 4 R 4 tal que ker(t ) = im(t )

8 47 Considere o operador linear T : C(R) C(R) definido por T (f) = ϕ, onde ϕ(x) = x f(t) dt, para todo x R Determine o núcleo e a imagem desse operador 48 Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas a Existe uma transformação linear inversível T : P 3 (R) M (R) b Se T : P 3 (R) P 3 (R) é definida por T (p) = p, então T é sobrejetora c Existe uma transformação linear injetora T : R 3 M (R) d Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T : V V é um operador linear, então T é sobrejetor se, e somente se, ker(t ) = {} e Existe um operador linear T : R 3 R 3 tal que R 3 = ker(t ) im(t ) 49 Seja W um espaço vetorial com produto interno, Dados um espaço vetorial V e uma transformação linear T : V W defina v 1, v = T (v 1 ), T (v ) para todos v 1, v V Mostre que, é um produto interno em V se, e somente se, T é injetora 5 Considere o espaço vetorial P 5 (R) com o produto interno Seja U = [1 + x, x ] p, q = Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA a Existe uma transformação linear injetora T : U R 5 p(t)q(t)dt b A transformação linear P 5 (R) U, v proj U (v), é sobrejetora c A transformação linear P 5 (R) U, v proj U (v), é sobrejetora d Se L: P 5 (R) R 5 é uma transformação linear, então dim ker L 1 e Existe uma transformação linear sobrejetora T : U R 5 51 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno, Seja T : V V linear, com a seguinte propriedade: Para todo x, y V, T (x), T (y) = x, y Podemos então afirmar que a T é invertível b T é injetora, mas pode não ser sobrejetora c T é a aplicação identidade d T pode não ser nem injetora nem sobrejetora e T pode ser sobrejetora, mas não injetora 5 Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa Justifique suas respostas a Uma transformação linear T : U V é sobrejetora se, e somente se, dim ker(t ) = dim(u) dim(v ) b Dada uma transformação linear T : U V e um vetor v V então o conjunto G = { x U : T (x) = v } é um subespaço de U c O núcleo de uma transformação linear T : R 5 R 3 tem dimensão maior ou igual a 3 d Se uma transformação linear T : R m R n for injetora, então dim im(t ) = m e Se T : R m R n for uma transformação linear sobrejetora, então dim ker(t ) = m n 53 Use o Teorema da Dimensão para provar que um sistema linear homogêneo que tem mais incógnitas do que equações tem que ter uma solução não trivial

9 54 Mostre que toda matriz A em M n (R) é da forma A = B t 3B para uma única B em M n (R) (Sugestão: Considere a função T : M n (R) M n (R) definida por T (B) = B t 3B) 55 Seja a um número real Considere o subespaço W = {p(x) P n (R) p(a) = } de P n (R) Prove que {x a, (x a),, (x a) n } é uma base de W (Sugestão: Considere a função avaliação A a : P n (R) R, A a (p(x)) = p(a) ) 56 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V V um operador linear Prove que V = ker(t ) im(t ) se, e somente se, ker(t ) im(t ) = {} 57 Seja T : V W uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W Seja B = {v 1,, v n } um conjunto de vetores de V, e considere o conjunto C = {T (v 1 ),, T (v n )} de vetores de W a Se C é li, mostre que B é li b Se ker T = e B é li, mostre que C é li c Se W = [C], mostre que im T = W d Se V = [B], mostre que im T = [C] 58 Sejam E um espaço vetorial de dimensão e T : E E um operador linear não nulo tal que T T = Considere as afirmações: Podemos afirmar que: (I) im(t ) = ker(t ); (II) dim im(t ) = ; (III) dim ker(t ) = 1 a Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras b Apenas a afirmação (II) é falsa c Apenas a afirmação (III) é falsa d Todas as afirmações são falsas e Todas as afirmações são verdadeiras 59 Seja W o subespaço vetorial de R 3 definido por W = {(x, y, z) R 3 x + y + z = } Assinale a alternativa correta a Existe uma única transformação linear T : R 3 R 3 tal que ker T = W e im T = [(1, 1, 1)] b Existem infinitas transformações lineares T : R 3 R 3 tais que ker T = W e im T = [(1, 1, 1)] c Existe uma única transformação linear T : R 3 R 3 tal que ker T = W e im T = [(1, 1, 1), (,, 1)] d Existem infinitas transformações lineares T : R 3 R 3 tal que ker T = W, im T = [(1, 1, 1), (,, 1)] e Existem infinitas transformações lineares T : R 3 R 3 tais que ker T = W, im T = [(1, 1, 1)] e T (1, 1, ) = (,, ) 6 Seja U um espaço vetorial de dimensão Seja T : U U uma transformação linear Considere as seguintes afirmações (I) Existe T tal que dim(ker T ) + 3 dim(im T ) = 35 (II) Se dim(im T ) = 15, então im T não está contida em ker T (III) Se dim(ker T ) = 185, então im T está contida em ker T Assinale a alternativa correta a Apenas (I) e (II) são verdadeiras b Apenas (II) é verdadeira c Apenas (I) e (III) são verdadeiras d As três afirmações são verdadeiras e Apenas (I) é verdadeira

10 61 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V V um operador linear tal que T e T tenham o mesmo posto (Recorde que o posto de uma transformação linear é a dimensão de sua imagem) Prove que ker(t ) im(t ) = {} Vale a recíproca? 6 Seja T : R 4 R 4 definido por T (x, y, z, w) = ( y, x y, z, w) Mostre que T 6 = id e determine T 1

11 RESPOSTAS 1 t > { (a, a) : a R } ; (1, ) = 3 a não existe λ; b λ = 3 9 Considere o espaço vetorial P (R) munido com o produto interno p, q = 1173 i=1 p(c i )q(c i ) e aplique a desigualdade de Cauchy-Schwarz 1 Considere o espaço vetorial C([5π, 5π]) munido com o produto interno b, d = 5π b(t)d(t)dt Observe 5π que f, g C([5π, 5π]) Aplique a desigualdade de Cauchy-Schwarz a f, g 11 Aplique Cauchy-Schwarz a os vetores ( a 1, a, a 3 ) e ( 1 a1, 1 a, 1 a3 ) 1 Desigualdade triangular no espa o C([, 1]) 13 Pela desigualdade triangular u + v u + v Observe agora que w (1e 57)x + (588 16e)x + (39e 15) 5 b Uma { ( possível ) base( é ) 1 1 1, c 1 3( ) (14x + 3) 1 π sen x, ( )} ; 1 9 a 1 (1,,, 1), 1 3 (1, 1,, 1), 1 4 ( 1,, 6, 1) b Se v = (x, y, z, w) então, v 1 = 1 7 (6x + y z w, x + 3y + z + w, x + y + 6z w, x + y z + 6w) e v = 1 7 (x y + z + w, x + 4y z w, x y + z + w, x y + z + w) 3 a { 3 (x 1), 5 (4x 5x + 1), 7 (15x 3 5x + 11x 1) } b Se f = a + bx + cx + dx 3 então, p 1 = 1 4( (5a + b + c + d) (15a + 11b + 15c + 15d)x+ (45a + 45b + 49c + 45d)x (35a + 35b + 35c + 31d)x 3) e p = 1 4 (a + b + c + d)( x 45x + 35x 3 ) 17 {( 1, 1, 1, ( ) ) 1, 6 1, 1 6,, 6, ( 1, 3 1, 3 5, )} 5 18 b Uma possível base é { (1,,, ), (, 1,, ), (,, 1, ) }

12 34 Todas as transformações dadas são lineares 35 T (a + bx + cx ) = b+c + b c x + b c x3 + ax 4 36 T (3v + w) = 18v e T (w) = 3v 39 ker T = { M M n (R) : AM = MA } e Id im(t ) 4 (a) Defina, por exemplo, a + b b + 6c a + 4b + c T (a + bx + cx + dx 3 ) = 3b + c a + 5b a b a b a 3b c (b) Para o exemplo dado em (a), uma base de ker(t ) é {x 3 } Uma base de im(t ) é constituida pelas matrizes dadas no enunciado do exercício 43 (a) Falsa (c) Verdadeira (e) Verdadeira (g) Falsa (b) Falsa (d) Verdadeira (f) Verdadeira (h) Verdadeira 44 Defina, por exemplo, T (x, y) = (x y, x y) 45 Defina, por exemplo, T (x, y) = (y, ) 46 Defina, por exemplo, T (x, y, z, t) = (z, t,, ) Assim, 47 ker(t ) = {}; im(t ) = { ϕ C 1 (R) : ϕ() = } ker(t ) = im(t ) = [ (1,,, ), (, 1,, ) ] 48 5 (a) Verdadeira (c) Verdadeira (e) Verdadeira (a) Verdadeira (c) Falsa (e) Verdadeira (b) Falsa (d) Verdadeira (f) Verdadeira (b) Falsa (d) Verdadeira Múltipla Escolha: Ex 5 (d); Ex 7 (b); Ex 8 (c) Ex 14 (e); Ex 15 (b); Ex 19 (a) Ex (e); Ex 3 (a); Ex 6 (a) Ex 7 (d); Ex 31 (d); Ex 3 (e) Ex 33 (d); Ex 38 (d); Ex 41 (b) Ex 4 (c); Ex 5 (e); Ex 51 (a) Ex 58 (b); Ex 59 (b;) Ex 6 (b)