Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 4: Formas de Jordan

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1 Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico ET-DMAT Prof. Maria Eugênia Martin Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 4: Formas de Jordan Exercício 1. Seja A = (a i j ) uma matriz diagonal sobre um corpo, ou seja, uma matriz tal que a i j = 0 para todo i j. Seja f o polinômio em definido por. Qual é a matriz f (A)? f (x) = (x a 11 ) (x a nn ). Exercício 2. Seja T : V V um operador linear não injetor, mostre que 0 é um autovalor de T. Exercício 3. Decida se o operador linear T : n n é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal [T] = com = [T] = com = [T] = com =, Exercício 4. Seja T : V V um operador linear. Mostre que se todo vetor de V for autovetor de T, então existe um λ tal que T(v) = λv para todo v V. Exercício Ache expressões para o polinômio característico de um operador linear T : V V onde dim V = 1, 2 e Prove que o polinômio característico de um operador linear T : V V, dim V = n, pode ser escrito como: p T (x) = det(x I n [T] ) = λn + a n 1 λ n a + a 0 sendo o coeficiente a k igual a soma dos menores principais de ordem n k da matriz multiplicados por ( 1) n k. Ou seja p T (x) é um polinômio mônico de grau dim V. (Dica: indução sobre dim V ) 3. Prove que p T (x) = det(x I n [T] ) não depende da base escolhida. Exercício 6. Prove que 1. Se λ 1,..., λ n são autovalores de T então λ k 1,..., λk n são os autovalores de T k. 2. Se p(x) é um polinômio e T um operador diagonalizável. Prove que λ é um autovalor de T se e somente se p(λ) é um autovalor de p(t). Exercício 7. Prove que o polinômio característico da transposta de um operador T t coincide com o polinômio característico de T. Exercício 8. Seja T : V V um operador sobre um -e.v. V. Mostre que se p T tiver todas suas raízes em e todas elas tem multiplicidade algébrica 1, então T é diagonalizável. 1

2 Exercício 9. Seja T : V V um operador linear. Mostre que se dim Im(T) = m, então T tem no máximo m + 1 autovalores. Exercício 10. Sejam T, S : V V operadores lineares. Suponha que v é autovetor de T e de S associado aos autovalores λ 1, λ 2 de T e S, respectivamente. Ache um autovetor e um autovalor de: 1. αs + β T onde α, β 2. S T Exercício Mostre que se B, M M n ( ) com M invertível, então (M 1 BM) n = (M 1 B n M) para todo n Calcule A n, n onde A = Seja A = M 3 ( ). Dado n determine B M 3 ( ) tal que B n = A Exercício 12. Seja A = calcule A Exercício 13. Seja T : 2 ( ) 2 ( ) tal que [T] = onde = { 1 2 x 2, 1 2, 1 2 x} e = {x 2, x, 1}. Mostre que T é diagonalizável. Exercício 14. Em (, ) considere as funções f 1 (x) = e 2x sin(x), f 2 (x) = e 2x cos(x) e f 3 (x) = e 2x, o subespaço S = f 1, f 2, f 3 e o operador linear D : S S definido por D(f ) = f. Determine: 1. A matriz de D em relação à base = { f 1, f 2, f 3 } de S. 2. os autovalores de D e as funções de S que são autovetores de D. Exercício 15. Seja T : V V (dim V < ) um operador diagonalizável cujos autovalores têm multiplicidade algébrica Prove que qualquer operador G : V V tal que GT = T G pode ser representado como um polinômio em T. 2. Prove que a dimensão do espaço vetorial formado por tais operadores (operadores que comutam com T) é igual a dimensão de V. Exercício 16. Sejam S, T : V V operadores diagonalizáveis que comutam. Então eles são simultaneamente diagonalizáveis, i.e. existe uma base de V tal que consiste de autovetores de S e de T. Exercício 17. Considere uma matriz real simétrica A de ordem 3 com determinante igual a 6. Suponha que u = (4, 8, 1) e v = (1, 0, 4) sejam autovetores desta matriz associados aos autovalores 1 e 2, respectivamente. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: 1. Os autovalores de A são apenas 1 e O produto vetorial u v é autovetor de A. 3. O vetor (5, 8, 3) é autovetor de A. 2

3 4. A pode não ser diagonalizável. Exercício 18. Prove que se T : V V é um operador linear, então ker T, Im(T) são subespaços T- invariantes. Se λ for um autovalor de T então Aut T (λ) é um subespaço T-invariante. Exercício 19. Prove que a soma e a intersecção de subespaços T-invariantes é T-invariante. Exercício 20. Prove que se um operador T é um isomorfismo então T e T 1 possuem os mesmos subespaços invariantes. Exercício 21. Mostre que qualquer subespaço T-invariante também é invariante com respeito a qualquer polinômio desse operador. Exercício 22. Mostre que W V é um subespaço invariante para T (V ) se e só se W 0 é T t -invariante. Exercício 23. Sejam T, G : V V operadores que comutam. Mostre que ker T e Im(T) são G-invariantes e ker G e Im(G) são T-invariantes. Exercício 24. Sejam T : V V um operador linear, W V um subespaço e λ. Então W é (λid T)- invariante se e somente se W for T-invariante. Exercício 25. Verifique que se V é um -e.v., T : V V um operador linear e p(x), q(x) ( ) então (p + q)(t) = p(t) + q(t) e (p q)(t) = p(t) q(t). Exercício 26. Seja T : V V um operador linear. Mostre que se T = T 1 T 2 então p T (x) = p T1 (x) p T2 (x). Exercício 27. Seja V um -espaço vetorial. Se o polinômio característico de uma transformação linear T : V V é x 2 x 1, então é correto afirmar que: 1. T é inversível e T 1 = T I. 2. T não é necessariamente inversível. 3. T é inversível e T 1 = T + I. 4. Não existe T com tal polinômio característico. 5. T é inversível, mas nenhuma das fórmulas para a inversa de T nos outros itens é válida. Exercício 28. Seja T (V ). 1. Mostre que T é inversível se e somente se o termo independente de seu polinômio minimal é nãonulo. 2. Nestas circunstâncias, T 1 é um polinômio em T, i.e., existe p(x) ( ) tal que T 1 = p(t). Exercício 29. Seja A uma matriz complexa tal que A k = I para algum inteiro k. Prove que A é diagonalizável. Exercício 30. Prove que uma matriz n n sobre que satisfaz A 3 = A pode ser diagonalizada. Exercício 31. Encontre todas as possibilidades para o polinômio minimal de um operador T : 5 5 com polinômio característico: 1. p T (x) = (x 3) 3 (x 2) 2 2. p T (x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 3. p T (x) = (x 1) m, m 1 É possível concluir que algum deles é necessariamente diagonalizável? 3

4 Exercício 32. Sejam V um -e.v. de dim V = n <, T : V V um operador linear e W V um subespaço T-invariante. Para cada v V definimos o T-condutor de vem W como sendo o conjunto Mostre que: S T (v, W ) = {p(x) ( ) : p(t)(v) W }. 1. m T S T (v, W ) para todo v V e subespaço T-invariante W. 2. Mostre que existe em S T (v, W ) um polinômio mônico g T,v de grau minimal tal que se p(x) S T (v, W ) então g T,v p(x). 3. Conclua que g T,v m T. Exercício 33. Sejam V um -e.v. de dim V = n < e T : V V um operador linear com polinômio minimal m T (x) = (x λ 1 ) r 1... (x λ k ) r k. 1. Se W V é um subespaço T-invariante, mostre que existe v V W e um autovalor λ tal que (T λ Id)(v) W. 2. Existe uma base de V tal que a matriz de T em relação à base é triangular superior. Exercício 34. Sejam V um -e.v. de dim V = n < e T : V V um operador linear. Mostre que T é diagonalizável se e somente se m T (x) = (x λ 1 )... (x λ k ) (λ i todos distintos). Exercício 35. Prove que um operador é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores forem iguais a zero. Exercício 36. Dado T, G operadores lineares num espaço n-dimensional sobre um corpo de característica zero. Assuma que T n = 0, dim ker T = 1 e que GT T G = T. Prove que os autovalores de G são da forma α, α 1, α 2,..., α n para algum α. Exercício 37. Seja T : 5 5 o operador linear dado por T(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (3x 1 2x 5, 0, 2x 3 x 4 + x 5, x 5 x 1, 2x 1 x 5 ). Determine a decomposição T = T 1 T 2 onde T 1 é nilpotente e T 2 um isomorfismo. Exercício 38. Seja T : dada por T(x 1, x 2,... ) = (0, x 1, x 2,... ). Mostre que T não se escreve como soma direta de um operador nilpotente com um isomorfismo. Exercício 39. Seja T : n n um operador com polinômio característico p T (x) = (x λ) n. Mostre que o operador T = λ Id T é nilpotente. Exercício 40. Para qualquer r 1 e λ, seja o bloco de Jordan J r (λ). Mostre que: 1. λ é o único autovalor de J r (λ) 2. O polinômio minimal de J r (λ) é (x λ) r 3. O polinômio característico dej r (λ) é (x λ) r 4. A multiplicidade geométrica de λ é 1. Exercício 41. Seja A M 6 ( ) tal que A 4 8A I 6 = 0. Quais são as possíveis formas de Jordan não semelhantes para A? Exercício 42. Ache a forma de Jordan J da matriz A M 4 ( ) onde A = e ache uma matriz invertível M (base de Jordan) em M 4 ( ) de tal maneira que M 1 AM = J. 4

5 Exercício 43. Ache a forma de Jordan das seguintes matrizes: n n 1 n n n n n n Exercício 44. Seja A uma matriz real 9 9 cujo polinômio característico é (x 3) 5 (x 2) 4 e cujo polinômio minimal é (x 3) 3 (x 2) 2. Dê as possíveis formas de Jordan de A. Exercício 45. Seja T : n ( ) n ( ) dado por T(p(x)) = p(x + 1). 1. Determine a forma de Jordan de T. 2. Para n = 4, encontre uma base de 4 ( ) tal que [T] = J. Exercício 46. Sejam as matrizes A = B = C = D = veja que p A = p B = p C = p D = (x 2) 4. Determine a forma de Jordan de cada uma Exercício 47. Dados um polinômio f (x) = (x λ 1 ) d 1(x λ 2 ) d 2... (x λ k ) d k e um espaço vetorial V com dim V = n = d 1 + d d k. Quantos operadores T : V V com p T = f existem? Exercício 48. Suponha A e B matrizes n n sobre. Mostre que A é semelhante a B se e somente se A e B possuem a mesma forma canônica de Jordan. Exercício 49. Seja A uma matriz n n tal que A = J r1 (λ)... J rk (λ). Mostre que o polinômio minimal de A é (x λ) max{r i}., 5

6 Exercício 50. Ache todas as formas de Jordan possíveis para uma transformação linear com polinômio característico (x 2) 3 (x 1) 2 (x 5). Ache o polinômio minimal correspondente a cada uma dessas formas de Jordan. Exercício 51. Ache a forma de Jordan dos operadores que satisfazem: 1. T 2 = I 2. T 2 = T 6