Exercícios sobre zeros de funções Aula 7
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- Ana Clara Van Der Vinne
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1 Exercícios sobre zeros de funções Aula 7 André L. R. Didier 1 6 de Maio de /47
2 Introdução Todas as questões foram obtidas da 3 a edição do livro Métodos Numéricos de José Dias dos Santos e Zanoni Carvalho da Silva. 8/47
3 Questão 1.6 Representação numérica, aritmética de ponto flutuante, arredondamento Considere a máquina F(10,5, 9,9). Nela, verifique se (a + b) + c = a + (b + c), onde a = b = c = /47
4 Questão 1.6 F(10,5, 9,9) Normalizando os números, temos: a = = b = = c = = /47
5 Questão 1.6 F(10,5, 9,9), a = , b = , c = Fazendo (a + b) + c, temos: ( ) =( ) = = = E fazendo a + (b + c), temos: ( ) = ( ) = = = /47
6 Questão 1.6 F(10,5, 9,9), a = , b = , c = Fazendo (a + b) + c, temos: ( ) =( ) = = = E fazendo a + (b + c), temos: Os resultados são diferentes ( ) = ( ) = [arredondamento] = = [arredondamento] 11/47
7 Questão 1.7 Representação numérica, aritmética de ponto flutuante Considere um computador hipotético que trabalha na base 10, com 5 dígitos no significando e 2 dígitos no expoente, denotado por F(10,5, 99,99). Nele calcue o valor de: S = 4 n=0 de duas formas: (i) da maior parcela para a menor e (ii) da menor parcela para a maior. O que dizer 1 diante dos resultados dos itens (i) e (ii)? 1 7 n 1 Alguma propriedade dos números reais não foi verificada? Dos dois resultados, qual o mais próximo do verdadeiro? Etc. 12/47
8 Questão 1.7 F(10,5, 99,99) ((( ) ) ) 1 Em (i), calculamos: Temos: ((( ) ) ) (( = ) ) ( = ) = = Em (ii), calculamos: 1 + ( 1 + ( 1 + ( ))) Temos: 4 ( ( ( ))) ( = ( )) = ( ) = = /47
9 Questão 1.7 F(10,5, 99,99) ((( ) ) ) 1 Em (i), calculamos: Temos: ((( ) ) ) (( = ) ) ( = ) = = Em (ii), calculamos: 1 + ( 1 + ( 1 + ( ))) Temos: 4 ( ( ( ))) ( = ( )) = ( ) = = /47
10 Questão 1.11.e Representação numérica, aritmética de ponto flutuante Considere o sistema de ponto flutuante dado por F(10,6, 99,99). Os elementos x = , y = e z = pertencem a essa máquina. Verifique usando as representações de x, y e z neste sistema, se x (y + z) = x y + x z. 14/47
11 Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = , y = , z = Normalizando os números, temos: x = = y = = z = = /47
12 Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = , y = , z = Normalizando os números, temos: x = = [arredondamento] y = = z = = /47
13 Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = , y = , z = Fazendo x (y + z), temos: ( ) = = Fazendo x y + x z, temos: ( ) + ( ) = = = /47
14 Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = , y = , z = Fazendo x (y + z), temos: ( ) = = Fazendo x y + x z, temos: ( ) + ( ) = = = Logo, os cálculos têm resultados diferentes. 16/47
15 Questão 2.1 Bisseção, falsa posição (cordas), M.I.L., Newton e secantes Para cada função: 1. Localizar, se existir, raiz real mais próxima da origem; 2. Determinar analiticamente um intervalo de amplitude 0.1 contendo tal raiz; 3. Aplicar os métodos abaixo para calcular a raiz aproximada: 3.1 Bisseção Falsa posição (cordas) 3.3 Iterativo linear 3.4 Newton-Raphson 3.5 Das secantes Considere uma máquina com 5 casas decimais e arredondamento padrão. 2 Para o método da Bisseção faça até que o intervalo de separação seja menor que 10 2 e indique quantas iterações serão necessárias antes de aplicar o método. Para os demais métodos, faça até que x i+1 x i 10 3 ou i = 3 17/47
16 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 18/47
17 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x 1 f(x) 18/47
18 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x 1 f(x) 1 e 18/47
19 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x 1 0 f(x) 1 e 18/47
20 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 1 1 e /47
21 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 1 1 e /47
22 Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 1 1 e e Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raiz real. 18/47
23 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
24 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x 0.1 f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
25 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
26 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
27 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
28 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
29 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
30 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
31 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
32 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
33 Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4, 0.5]. 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
34 Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln( ) ln k ln2 k 20/47
35 Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 k ln(0.5 k ln2 ) ln 20/47
36 Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln( ) ln k ln2 k 20/47
37 Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln( ) ln10 2 k ln2 k 20/47
38 Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln( ) ln10 2 k ln2 k A quantidade de iterações necessárias é 4. 20/47
39 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
40 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
41 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
42 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
43 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
44 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
45 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
46 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
47 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
48 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
49 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) /47
50 Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) b 4 a 4 = < 10 2 e x = /47
51 Questão 2.1.g - aplicar o método das cordas f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 x = a f(b) b f(a) f(b) f(a) a b f(a) f(b) x i f(x i ) x i+1 x i Encontramos x = /47
52 Questão 2.1.g - aplicar o M.I.L. f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 Inicialmente precisamos determinar uma função geradora ϕ. Como x e x + x 2 1 = 0, podemos escolher ϕ 1 (x) = x = 1 x 2 e. Sua derivada é: ϕ x 1 (x) = (x 2 1) e x 2x e x e 2x Vamos verificar as condições de convergência: 1. As duas funções ϕ 1 e ϕ 1 são contínuas. 2. ϕ 1 (x) k < 1, x I: x ϕ 1 (x) Logo ϕ 1 não pode ser usada. Trivialmente não podemos escolher. Tente obter ϕ 2 e ϕ 3 isolando os outros termos da equação. 23/47
53 Questão 2.1.g - aplicar o método new Newton-Raphson f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 A função geradora é definida por: Logo, temos que: Aplicando o método obtemos: Encontramos x = ϕ (x i ) = x i+1 = x i f(x i) f (x i ) ϕ (x i ) = x i+1 = x i x i e x i + x 2 i 1 (x i + 1)e x i + 2 x i x ϕ (x) x i+1 x i /47
54 Questão 2.1.g - aplicar o método das secantes f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 A função geradora é definida por: Aplicando o método obtemos: ϕ (x i ) = x i+1 = x i 1 f(x i ) x i f(x i 1 ) f(x i ) f(x i 1 ) x i x i 1 f(x i ) f(x i 1 ) ϕ (x i ) x i+1 x i Encontramos x = /47
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