SME0300 Cálculo Numérico Aula 4

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1 SME0300 Cálculo Numérico Aula 4 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira icmc. usp. br Sala: Página: tidia-ae.usp.br 13 de agosto de 2015

2 Aula Passada Operações Aritméticas: Arredondamento a cada operação no sistema F (β, t, m, M) Efeitos Numéricos: Cancelamento (subtração de números muito próximos); Propagação de erro (Perda de algarismos significativos devido a soma intermediária grande).

3 Equações Não-Lineares OBJETIVO Calcular raízes de equações da forma f (x) = 0 com f (x) sendo um polinômio em x ou função transcendente. Em raros casos, conseguimos obter raízes exatas (polinômios fatoráveis). Numericamente, obtemos solução aproximada através de sequência de aproximações, cada uma mais precisa que a anterior, através de métodos iterativos para aproximar raízes isoladas.

4 Equações Não-Lineares (cont.) Teorema Se uma função contínua f (x) assume valores de sinais opostos (ou zero) nos pontos extremos do intervalo [a, b], i.e., se f (a) f (b) 0, então existe pelo menos um ponto x [a, b] tal que f (x) = 0. Definições (1) Se f : [a, b] R é uma função dada, um ponto x [a, b] é um zero (ou raiz) de f se f (x) = 0. (2) Um ponto x [a, b] é uma raiz de multiplicidade m da equação f (x) = 0 se f (x) = (x x) m g(x), com g(x) = 0 em [a, b]. Métodos numéricos para calcular raiz de f (x) = 0: método da Bissecção; método Iterativo Linear; método de Newton; método das Secantes; método Regula-Falsi.

5 Método da Bissecção Para cada passo k: 1. Consideramos intervalo [a k, b k ] onde f (a k ) f (b k ) < Calculamos f (x) no ponto médio x k+1 = a k + b k Três possibilidades: f (xk+1 ) = 0 x k+1 é zero; TERMINAMOS. f (ak ) f (x k+1 ) < 0 f tem zero entre a k e x k+1. Repetimos processo (1,2,3) com intervalo [a k, x k+1 ] e k = k + 1. f (bk ) f (x k+1 ) < 0 f tem zero entre x k+1 e b k. Repetimos processo (1,2,3) com intervalo [x k+1, b k ] e k = k + 1. Cada repetição é uma iteração, e aproximações sucessivas são termos iterados.

6 Método da Bissecção (cont.) Exemplo: Seja f : R R. Calcule uma aproximação para a raiz de f (x) = x 2 + 4x + 1 no intervalo [ 1, 0]. Raízes: x = 3,73205; x = 0, Com o Método da Bissecção: f (x) = x 2 + 4x + 1; a 0 = 1; b 0 = 0. f (a 0 ) = f ( 1) = ( 1) 2 + 4( 1) + 1 = 2 = 0; f (b 0 ) = f (0) = (0) 2 + 4(0) + 1 = 1 = 0 f (a 0 ) f (b 0 ) = ( 2) (1) = 2 < 0

7 Método da Bissecção (cont.) k = 1: a 0 = 1; f (a 0 ) = 2; b 0 = 0; f (b 0 ) = 1; x 1 = = 0,5; f (x 1 ) = 0,75 = 0; f (a 0 ) f (x 1 ) = ( 2) ( 0,75) = +1,5 > 0 f (x 1 ) f (b 0 ) = ( 0,75) (1) = 0,75 < 0 Intervalo escolhido: [x 1, b 0 ] = [a 1, b 1 ] = [ 0,5, 0] k = 2: a 1 = 0,5; f (a 1 ) = 0,75; b 1 = 0; f (b 1 ) = 1; x 2 = 0,5+0 2 = 0,25; f (x 2 ) = +0,0625 = 0; f (a 1 ) f (x 2 ) = ( 0,75) (0,0625) = 0, < 0 f (x 2 ) f (b 1 ) = (0,0625) (1) = +0,0625 > 0 Intervalo escolhido: [a 1, x 2 ] = [a 2, b 2 ] = [ 0,5, 0,25] e assim por diante.

8 Método da Bissecção (cont.) Algoritmo (Método da Bissecção) Versão 1: Entrada: a 0, b 0, f (x) Saída: x ou mensagem de erro [P1] Calcular f (a 0 ) e f (b 0 ) e verificar: Se f (a 0 ) = 0, RETORNAR a 0 e PARAR (com sucesso). Se f (b 0 ) = 0, RETORNAR b 0 e PARAR (com sucesso). Se f (a 0 ) f (b 0 ) > 0, PARAR com erro (não tem sinais opostos) [P2] Definir x 0 = a 0. [P3] Para k = 1, 2,... Calcular x k = a k 1+b k 1 2 e f (x k ); Se f (x k ) = 0, RETORNAR x k e PARAR (com sucesso); Se f (a k 1 ) f (x k ) < 0, a k = a k 1 e b k = x k ; senão, se f (x k ) f (b k 1 ) < 0, a k = x k e b k = b k 1.

9 Processo de Parada Como o computador determina que a aproximação x k está perto o suficiente da solução exata x, se não sabemos qual é a solução exata? Definimos um processo de parada para métodos numéricos. Para obter raiz com precisão ϵ = 10 m (m escolhido: número de casas decimais corretas), fazemos o seguinte teste durante o processo iterativo. Se x k x k 1 x k < ϵ, (erro relativo) então x k é raiz procurada (x = x k ).

10 Processo de Parada (cont.) Por que não utilizar como método de parada? f (x k ) < ϵ ou x k x k 1 < ϵ Explicação: 1) Um valor de f (x k ) menor que ϵ não implica em valor de x k próximo da raiz. Exemplo: f (x) = xe 3x x = 0. Mas f (2) = 0, ; f (3) = 0, ,... y x

11 Processo de Parada (cont.) 2) A utilização do erro absoluto x k x k 1 como teste de parada pode causar problemas se os valores de x k 1, x k são muito maiores em relação a ϵ. Exemplo: f (x) = x 2 381x = (x 180)(x 201). Se escolhermos ϵ = 10 6, quantos passos k serão necessários para o método parar com a solução aproximada x = x k? Para implementar erro relativo em programa computacional, escrever como x k x k 1 < ϵ max{1, x k }. Por segurança, adicionar também número máximo de iterações (MAXITER).

12 Algoritmo: Método da Bissecção v. 2 Método da Bissecção Com Método de Parada Entrada: f (x), a 0, b 0, ϵ, MAXITER Saída: x ou mensagem de ERRO [P1] Calcular f (a 0 ) e f (b 0 ) e verificar: Se f (a 0 ) = 0, RETORNAR a 0 ; se f (b 0 ) = 0, RETORNAR b 0 ; PARAR (com sucesso). Se f (a 0 ) f (b 0 ) > 0, PARAR com erro (mesmo sinal) [P2] Definir x 0 = a 0. [P3] Para k = 1, 2,..., MAXITER : Calcular x k = a k 1+b k 1 2 e f (x k ); Se f (x k ) = 0 ou x k x k 1 < ϵ max{1, x k }, RETORNAR x k e PARAR (com sucesso); Se f (a k 1 ) f (x k ) < 0, a k = a k 1 e b k = x k ; senão, a k = x k e b k = b k 1. [P4] RETORNAR erro (MAXITER atingido sem sucesso).

13 Iteração Linear Queremos escrever f (x) = 0 na forma x = ψ(x), tal que as soluções x são iguais, isto é, f (x) = x ψ(x) = 0. Para qualquer ψ, qualquer solução de x = ψ(x) é chamada de ponto fixo de ψ(x). Como determinar ψ(x)? ψ(x) = x + f (x) ψ(x) = x 3f (x) ψ(x) =...

14 Iteração Linear (cont.) Queremos raiz de f (x) = 0, tal que x é raiz: f (x) = 0 A(x)f (x) = 0 [A(x) = 0] ψ(x) = x + A(x)f (x) para qualquer A(x) tal que A(x) = 0. Exemplo: f (x) = x 5 2x Raiz real: x 1, ψ(x) = x x 5 + 2x 3 2 ψ(x) = 2 2 x 3 ψ(x) = x x 2 ψ(x) = x x5 2x x 4 6x 2 ψ(x) =... y x

15 Método Iterativo Linear Se supormos que x é uma raiz de f, com ψ(x) e ψ (x) contínuas num intervalo que contém a raiz, e escolhermos um x 0 que é uma aproximação inicial para a raiz x de x = ψ(x), determinamos aproximações sucessivas x k de x obtidas usando o processo iterativo x k+1 = ψ(x k ), k = 0, 1,... Essa sequência deve convergir (cada aproximação x k+1 chega mais perto de x), e se x k = x, x k+1 = ψ(x) = x. Como garantir que sequência converge? Existem condições suficientes para convergência do método.

16 Método Iterativo Linear (cont.) Teorema: Seja ψ(x) uma função contínua, com derivadas primeira e segunda contínuas num intervalo fechado I = x h, x + h, com centro x sendo a solução de x = ψ(x). Se x 0 I e M é um limitante tal que em I, então: ψ (x) M < 1 1. A iteração x k+1 = ψ(x k ), k = 0, 1,... pode ser executada indefinidamente, pois x k I, k. 2. x k x Se ψ (x) = 0, ou se ψ (x) = 0 e ψ (x) = 0, e se x 0 x for suficientemente pequeno, então a sequência x 1, x 2,... é monotônica ou oscilante.

17 Método Iterativo Linear (cont.) Algoritmo: Método Iterativo Linear Entrada: ψ(x), x 0, ϵ, MAXITER; Saída: x ou mensagem de ERRO [P1] Para k = 1,..., MAXITER: Calcular x k = ψ(x k 1 ); Se x k x k 1 < ϵ max{1, x k }, RETORNAR x k e PARAR (com sucesso). [P2] RETORNAR erro (número máximo de iterações atingido sem sucesso).

18 Método Iterativo Linear (cont.) Exemplo: Raiz de f (x) = x 3 + 4x 2 10 = 0 no intervalo [1, 2]. Raiz real: x 1, a) ψ(x) = x x 3 4x