INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. MATEMÁTICA APLICADA 1 o SEMESTRE 2016/2017

Transcrição

1 3 de janeiro de 7 Instruções: INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA o SEMESTRE 6/7 Resolução do o Teste Duração: hm É obrigatória a apresentação de um documento de identificação. Não se aceitam provas ou questões escritas a lápis. Não pode responder a diferentes grupos numa mesma folha de resposta. O abandono da sala só poderá efetuar-se decorrida uma hora a partir do início da prova e implica a entrega da mesma. É permitida a consulta de uma folha A4 manuscrita pelo aluno. Não é permitida a utilização de máquinas de calcular. Não é permitido o manuseamento ou exibição de equipamentos eletrónicos durante a prova. Justifique convenientemente todas as respostas. Grupo I [.5]. Considere o sólido S R 3 definido por S {(x, y, z R 3 : x >, y >, z x + y, z } x + y. Calcule a massa de S supondo que S é um sólido não-homogéneo com massa específica ρ (x, y, z + x + y. Utilizando coordenadas cilíndricas: x r cos θ, y r sen θ, z z com r > e θ [, π[ temos: x > r cos θ > cos θ > θ [, π [ ; y > r sen θ > sen θ > θ ], π]; Das duas condições anteriores, sai que θ ], π [. Por outro lado, temos ainda x + y z x + y r z r, donde temos ainda r r r r.

2 Logo, M π π π S ( + π x + y dxdydz (r + r ( r drdθ }{{} [ r4 + r dθ π 4. r 3 +r ] dθ Grupo II r. Considere a função f, par e periódica de período 4, definida por x, x < f (x., x < [.5] (a Represente graficamente a função f no intervalo [ 6, 6]; r ( + rrdzdrdθ [.5] (b Determine a representação da função f em série de Fourier.

3 Sendo f uma função par e periódica de período 4, então a série de Fourier associada à função é + a n cos, onde Assim, a n n f(x cos dx, n,,... e a [ x ] f(xdx xdx dx Assim, f(x a n f(x cos [ ] nπ sen x nπ sen ( nπ 4 n π cos ( nπ + n dx + 4 n π [ cos 4 n π a n cos x cos nπ sen ] n ímpar 4 n π, + nπ dx + dx + sen (nπ }{{} cos ] [ nπ sen nπ sen ( nπ n ímpar dx 8 n π, n, 6,,...(n 4k, k Z, n 4, 8,,...(n 4k, k Z 4 n π cos + + k,n4k 8 n π cos.

4 Grupo III [.] 4. Resolva a equação diferencial onde x >. x y xy + y, x y xy + y y x y x y. (equação de Bernoulli Fazendo a mudança de variável u y, então u y y u y ( x y + x y u x u x u + x u x (equação linear de a ordem Solução: [ ( u e P ( x P e P ( x ( x ] + C u }{{} e [P (e ( ln(x ln(x x ] + C x> u [P (x ( x ] + C x u (P ( + C x y x + C x, C R. [.5] 5. Sabendo que a função y é solução do seguinte problema determine a solução. y cos(t y e y (

5 y cos(t y dy cos(tdt (equações de variáveis separáveis. y Solução: Como y(, então arcsin(y sen(t + C, C R. donde a solução pedida é dada por arcsin(y( sen( + C arcsin( C C, arcsin(y sen(t y sen (sen(t. [3.] 6. Resolva a equação y y 3y e x. Sendo uma equação diferencial linear de a ordem homogénea sabemos que a solução será da forma y y sgh + y spc, onde y sgh é a solução geral da equação linear de a ordem homogénea associada e y spc é uma solução particular da equação dada. Cálculo de y sgh : o polinómio característico P (D D D 3 cujos zeros são D, D 3. Logo y sgh C e t + C e 3t, C, C R. Cálculo de y spc : Sendo f(x e x e α uma raíz do polinómio característico, então y spc xe x A, com A uma constante real a determinar. Vamos calcular A: y spc Ae x Axe x A( xe x e y spc A( + xe x. Substituindo na equação diferencial obtemos: Ae x + Axe x Ae x + Axe x 3Axe x e x 4A A 4. Finalmente, temos y C e t + C e 3t 4 xe x.

6 Grupo IV [.5] 7. Utilize a definição para calcular a transformada de Laplace da função f(t e t. L [f(t] + lim T + e lim T + e lim T + e T e t e st dt lim e e t st dt T + [ ] T s e t st ( s e T st s ( + s } e (+st {{} + + s se +s> e + s, s >. [3.5] 8. Utilize a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valores iniciais: y 3y + y 4e t y ( 3, y ( 5 Aplicando transformadas de Laplace a ambos os membros da equação diferencial obtemos: L [y 3y + y] L [ 4e t] L[y ] 3L[y ] + L[y] 4L[e t ] s L[y] sy( y ( 3sL[y] + 3y( + L[y] 4 s ( s 3s + L[y] 4 3s + 4 ( s 3s + L[y] s 4 3s(s + 4(s s L[y] 3s + s 4 (s (s 3s + [ ] [ ] 3s y L + s 4 L 3s + s 4 (s (s 3s + (s (s (s [ A y L s + B (s + C ] s,

7 C.A.: Pretende-se calcular A, B e C tais que 3s + s 4 (s (s (s A s + B (s + C s 3s + s 4 A(s (s + B(s + C(s 3s + s 4 (A + Cs + ( 3A + B 4Cs + A B + 4C 3 A + C A 4 3A + B 4C B 4 4 A B + 4C C 7 Então, [ 4 y L s + 4 (s + 7 ] s y 4e t + 4te t 7e t. Fim da resolução do teste