Lista de Exercícios de Funções de Várias Variáveis

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1 Lista de Exercícios de Funções de Várias Variáveis 29 de dezembro de 2016

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3 Sumário 1 Sequências e Séries InnitasP1) Sequências Digitado por:luele Ribeiro de Sousa Barbosa Digitado por:jheimisson Luiz Santos Digitado por:ana Paula Barbosa de Souza Digitado por:antônio Carlos Telau Digitado por:david Miguel Soares Júnior Séries Digitado por:vitor Hugo Souza Leal Digitado por:gustavo Camilo Santos O Teste da Integral e Estimativa de Somas Os Testes de Comparação Séries Alternadas Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz Séries de Potência Representação de Funções como Séries de Potências Série de Taylor e Maclaurin Derivadas ParciaisP2) Funções de Várias Variáveis Limites e Continuidade Derivadas Parciais Planos Tangentes e Aproximações Lineares Digitado por:huallisson Michael Soares Ferraz Digitado por:jhonatan do Amparo Madureira Regra da Cadeia Digitado por:ana Karolyne Sousa Cosme Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Digitado por:fernanda Paiva Valores Máximo e Mínimo Digitado por:daniel Alves Pereira

4 4 SUMÁRIO 2.8 Multiplicadores de Lagrange

5 Capítulo 1 Sequências e Séries InnitasP1) 1.1 Sequências Liste os cinco primeiros termos da Sequência Digitado por:luele Ribeiro de Sousa Barbosa 8. {2, 4, 6,, 2n)} Aplica-se a lei de formação da sequência a n = 2n, para as respectivas posições observando o índice referente a cada posição. a 1 = 1 2 = 2 a 2 = 4 2 = 2 a 3 = 6 2 = 3 a 4 = 8 2 = 4 a 5 = 10 2 = Digitado por:jheimisson Luiz Santos 12. a 1 = 2, a 2 = 1 e a n+1 = a n a n 1 5

6 6 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASP1) a 1 = 2 a 2 = 1 a 3 = a 2+1 = a 2 a 2 1 = a 2 a 1 = 1 2 = 1 a 4 = a 3+1 = a 3 a 3 1 = a 3 a 2 = 1 1 = 2 a 5 = a 4+1 = a 4 a 4 1 = a 4 a 3 = 2 1 = Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite Digitado por:ana Paula Barbosa de Souza 29. a n = tg ) 2nπ 1+8n lim a n = lim tg ) 2nπ n n 1+8n ) 2nπ = tan lim n 1+8n ) 2π = tg lim 1 n n +8 = tg ) 2π 8 = tg ) π 4 = 1 ) existe, então, a sequência { tg 2nπ 1+8n)} é conver- Como o lim tg 2nπ n gente. 1+8n

7 1.1. SEQUÊNCIAS Digitado por:antônio Carlos Telau 47. a n = n ) n Vamos provar que lim n a n = e 2 lim a n = lim n ) n n n) = lim x x x = e ln lim x 1+ x) 2 x) = e = e = e = e = e lim ln1+ 2 x x) x) lim x ln1+ 2 x x) ) lim x lim x = e lim x lim x 1x) ) ln1+2 1 x ) ln1+2 x 1 ) x 1 2 1)x x 1 ) 1)x x) ) = e 2 lim x x) ) = e Digitado por:david Miguel Soares Júnior 79. Calcule o limite da sequência { 2, 2 2, 2 2 } 2,. A sequência {a n } dada acima é denida recursivamente da seguinte forma:

8 8 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASP1) a 1 = 2, a n+1 = 2a n. Armamos que a sequência {a n } é crescente e limitada. Vamos provar por indução que {a n } é crescente, ou seja, a n < a n+1 n N: i) a 1 < a 2 ) a 1 = 2, a 2 = 2a 1 = 2 2 a 2 = 2 2, donde a 1 < a 2 2 < < < 2 ii) a n < a n+1 a n+1 < a n+2 ) a n < a n+1 a n < 2an 2a n < 2 2a n 2an < 2 2a n a n+1 < a n+2 Portanto de i) e ii) concluímos que {a n } é crescente, logo, {a n } é monótona. Agora vamos provar por indução que a n < 2 n N, ou seja, {a n } é limitada: i) a 1 < 2) a 1 = 2 < 2. ii) a n < 2 a n+1 < 2)

9 1.2. SÉRIES 9 a n < 2 2a n < 4 2an < 4 a n+1 < 2 Portanto de i) e ii) concluímos que {a n } é limitada, logo, {a n } é convergente, pois é monótona e limitada. No entanto, ainda não sabemos qual o limite dessa sequência. Para encontrar o limite supomos que lim n a n+1 = lim n a n = L. Logo a n 2, quando n. a n+1 = 2a n L = 2L L 2 = 2L L = Séries Determine se a série é convergente ou divergente expressando S n como uma soma telescópicacomo no exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma Digitado por:vitor Hugo Souza Leal 46. n=1 cos 1 n 2 cos 1 n+1) 2 ) S n = cos 1 cos 4) 1 + cos 1 cos ) cos 1 1 cos = n 2 n+1) 2 cos 1 cos 1 n+1) 2 ) ) + cos 1 cos ) cos cos )+ 1 n 1) 2 n 2

10 10 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASP1) lim S 1 n = lim cos1 cos = cos1 cos0 = cos1 1 n n n+1) Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma para os valores de x Digitado por:gustavo Camilo Santos 60. 4) n x 5) n n=0 lim a n+1 n a n = lim 4) n+1 x 5) n+1 n 4) n x 5) n = lim n 4)x 5) = 4)x 5) = 4) x 5) = 4 x 5 Sabemos que a série converge se lim a n+1 n a n < 1 4 x 5 < 1 x 5 < < x 5 < < x < < x < 21 4 Portanto o raio de convergência é R = 1 e a série converge para todos os 4 valores de x no intervalo 19 I = 4, 21 ). 4 Chegaríamos à mesma conclusão se observássemos que

11 1.3. O TESTE DA INTEGRAL E ESTIMATIVA DE SOMAS 11 4) n x 5) n = n=0 [ 4)x 5)] n é a série geométrica com a 0 = 1 e r = 4)x 5) = 20 4x. Olhando por esse ângulo temos a vantagem de poder calcular o valor exato para onde a série converge como segue S = a 0 1 r = x) = 1 4x 19 Logo n=0 4) n x 5) n = 1, x 19 4x 19 n=0 4, O Teste da Integral e Estimativa de Somas 1.4 Os Testes de Comparação 1.5 Séries Alternadas 1.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz 1.7 Séries de Potência 1.8 Representação de Funções como Séries de Potências 1.9 Série de Taylor e Maclaurin )

12 12 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASP1)

13 Capítulo 2 Derivadas ParciaisP2) 2.1 Funções de Várias Variáveis 2.2 Limites e Continuidade 2.3 Derivadas Parciais 2.4 Planos Tangentes e Aproximações Lineares 1-6 Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especicado Digitado por:huallisson Michael Soares Ferraz 01. z = 3y 2 2x 2 + x, 2, 1, 3) x 0 = 2 x 0, y 0, z 0 ) = 2, 1, 3) y 0 = 1 z 0 = 3 { fx x, y) = 4x + 1 f y x, y) = 6y { { fx x 0, y 0 ) = 4x fx x 0, y 0 ) = 7 f y x 0, y 0 ) = 6y 0 f y x 0, y 0 ) = 6 z z 0 = f x x 0, y 0 )x x 0 ) + f y x 0, y 0 )y y 0 ) 13

14 14 CAPÍTULO 2. DERIVADAS PARCIAISP2) z 3) = 7)x 2) + 6)y 1)) z + 3 = 7x )y + 1) z + 3 = 7x y 6 7x + 6y + z = 0 7x + 6y + z 5 = Digitado por:jhonatan do Amparo Madureira 04. z = xe xy, 2, 0, 2) x 0 = 2 x 0, y 0, z 0 ) = 2, 0, 2) y 0 = 0 z 0 = 2 { { fx x, y) = xye xy fx x f y x, y) = x 2 e xy 0, y 0 ) = 0 f y x 0, y 0 ) = 4 z z 0 = f x x 0, y 0 )x x 0 ) + f y x 0, y 0 )y y 0 ) z 2 = 0x 2) + 4y 0) z 2 = 4y z 4y 2 = Regra da Cadeia 1-6 Use a Regra da Cadeia para calcular dz dt ou dw dt.

15 2.6. DERIVADAS DIRECIONAIS E VETOR GRADIENTE Digitado por:ana Karolyne Sousa Cosme 01. z = x 2 + y 2 + xy, x = sent), y = e t dz dt dz = 2x + y dx dz = 2y + x dy dx = cost) dt dy dt = e t = 2x + y) cost) + 2y + x) et 2.6 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente 4-6. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ Digitado por:fernanda Paiva 6. fx, y) = e x cos y 0, 0) θ = π/4 Para calcular a derivada direcional utilizaremos a seguinte fórmula: D u x, y) = f x x, y)a + f y x, y)b Começamos calculando cada elemento que compõem essa fórmula. f x x, y) = e x cos y f y x, y) = e x seny f x x, y) = e 0 cos 0 = 1 f y x, y) = e 0 sen0 = 0

16 16 CAPÍTULO 2. DERIVADAS PARCIAISP2) Sabemos que o vetor unitário que forma um ângulo θ com o eixo das abcissas é o vetor u = a, b) = cos θ, senθ). Assim temos: a = cos θ = cos π 4 = 2 2 b = senθ = sen π 4 = 2 2 Finalmente substituímos esses valores na fórmula como segue: D u x, y) = f x x, y)a + f y x, y)b D u 0, 0) = f x 0, 0) f y0, 0) 2 2 D u 0, 0) = 1 2 D u 0, 0) = Valores Máximo e Mínimo 5-18 Determine os valores máximo e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráco da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função Digitado por:daniel Alves Pereira 16. fx, y) = e y y 2 x 2 ) Iniciamos calculando as derivadas parciais de f. f x x, y) = 2xe y f y x, y) = e y y 2 x 2 + 2y) Assim temos:

17 2.7. VALORES MÁXIMO E MÍNIMO 17 f x x, y) = 0 2xe y = 0 x = 0 f y x, y) = 0 e y y 2 x 2 ) + e y 2y) = 0 e y y 2 + 2y) = 0 yy + 2) = 0 y = 0 ou y = 2 Como a derivada de f está denida para todos os pontos então o conjunto de pontos críticos é composto pelos pontos em que o gradiente se anula. Portanto os candidatos a pontos de máximo e de mínimo são os pontos 0, 0) e 0, 2). Para decidir se tais pontos são de máximo ou de mínimo ou nenhum deles passamos a calcular o discriminante D = Dx, y) = f xx x, y) f yy x, y) f x yx, y) 2 f xx x, y) = 2e y f yy x, y) = e y y 2 x 2 + 2y) + e y 2y + 2) = e y y 2 + 4y x 2 + 2) f xy x, y) = 2xe y D = Dx, y) = 2e y e y y 2 + 4y x 2 + 2) 2xe y ) 2 = 2 e 2y y 2 + 4y x 2 + 2) 4x 2 e 2y D = D0, y) = 2 e 2y y 2 + 4y ) e 2y = 2 e 2y y 2 + 4y + 2) D = D0, 0) = 2 e ) = 2 e 0 2) = 4 < 0 D = D0, 2) = 2 e 2 2) 2) ) + 2) = 4e 4 = 4 e 4 > 0 Como D0, 0) < 0 então 0, 0) é um ponto de sela. Quanto ao ponto 0, 2) precisamos calcular f xx 0, 2) para decidirmos se o ponto é de máximo ou de mínimo.

18 18 CAPÍTULO 2. DERIVADAS PARCIAISP2) f xx 0, 2) = 2e 2 = 2 e 2 < 0 Portanto o ponto 0, 2) é um ponto de máximo de f. 2.8 Multiplicadores de Lagrange