Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Caderno (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida Considere todos os números que se podem obter alterando a ordem dos algarismos do número: Quantos desses números são pares? (A) 00 (B) 50 (C) 50 (D) 60 Numa escola secundária eistem duas turmas do º ano: a turma A e a turma B Sabe-se que a turma A tem 7 alunos, dos quais são raparigas; na turma B há tantos rapazes como raparigas Na turma A vai ser formada uma comissão para organizar uma viagem de finalistas A comissão será formada por três alunos que desempenharão funções distintas (coordenação, angariação de fundos e relações públicas) Ficou ainda acordado que da comissão fará parte pelo menos um rapaz e pelo menos uma rapariga Quantas comissões diferentes podem ser formadas? (A) (C) C + C (B) ( C C ) ! 9 + 8! A + A (D) ( A A ) Vai ser escolhido, ao acaso, um aluno do º ano para participar numa reunião com a direção da escola Para tal escolhe-se, por sorteio, uma das turmas De seguida, também por sorteio, escolhe-se um dos alunos da turma selecionada Sabendo que, no final, foi escolhido um rapaz, qual é a probabilidade de este ser aluno da turma A? Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página

3 Considere a função f, de domínio + R, definida por f ( ) = Na figura estão representadas: parte do gráfico da função f ; a reta r, tangente ao gráfico de f no ponto A, de abcissa ; a reta s, que passa na origem do referencial e interseta o gráfico de f no ponto B de abcissa b ], [ Sabe-se que as retas r e s são paralelas Mostre que a reta r tem declive igual a y O f s B r A Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de b, abcissa do ponto B Na sua resposta deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema; apresentar o valor de b arredondado às centésimas 4 De uma função f de domínio [ 0, 4 ], contínua no seu domínio e duas vezes diferenciável em ] 0, 4 [, sabe-se que: f ( 0) =, f = 4 e f = 0 f ( ) < 0, ] 0, 4[ f 4 = 4 Quantas soluções tem a equação f ( ) = 0? (A) 0 (B) (C) (D) 4 Qual das equações seguintes pode definir uma reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa? (A) y = (B) y = + 4 (C) y = + (D) y = Fim do Caderno COTAÇÕES (Caderno ) Item Cotação (em pontos) Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página

4 Caderno (não é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida 5 De uma função f, duas vezes diferenciável em R, sabe-se que: f ( 0) = 0 ; f = + a sua derivada, f, é dada por f 5 O valor de lim 0 é: (A) 0 (B) (C) (D) + 5 Estude a função f quanto ao sentido da concavidade do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão 6 Na figura estão representados, em referencial ortonormado Oy, o triângulo [ OPQ ] e o ponto A, de coordenadas, y Q A Sabe-se que: O o ponto P pertence ao eio O e tem abcissa > ; o ponto Q pertence ao eio Oy ; P a reta PQ passa no ponto A Seja A a função, de domínio ], + [, que faz corresponder à abcissa do ponto P a área do triângulo [ OPQ ] 6 Mostre que, para cada ], + [, se tem A( ) = 6 Estude a função A quanto à monotonia e conclua qual é o valor mínimo que a medida da área do triângulo [ OPQ ] pode atingir Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 4

5 7 Seja f a função, de domínio R, definida por f ( ) = sin cos Determine: 7 os zeros da função f que pertencem ao intervalo [ 0, ] ; 7 o valor de lim f 8 Considere as sucessões ( u n ) e ( n ) n N, v < u n n limu n = + Indique, justificando, qual é o limite de v n v, de termos positivos, tais que: 9 Considere as funções f definidas por uma epressão do tipo f ( ) = k, sendo k um número real positivo Determine o conjunto de valores de k para os quais o Teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a eistência de um zero de f no intervalo ] 0, k [ Fim da prova COTAÇÕES (Caderno ) Item Cotação (em pontos) TOTAL (Caderno + Caderno 00 Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 5

6 Proposta de resolução Caderno ! = 60!! O algarismo das unidades pode ser, 4 ou 6 Número de maneiras de permutar os restantes sete algarismos Há três algarismos iguais a 5 Há dois algarismos iguais a Resposta: (D) 7 8 = A turma A é formada por 8 raparigas e 9 rapazes Para escolher os três membros da comissão, antes da distribuição dos cargos, há duas hipóteses, em alternativa: um rapaz e duas raparigas: C C = 9 C uma rapariga e dois rapazes: 8 C 9 C = 8 9 C 8 9 Portanto, os elementos da comissão podem ser escolhidos de 9 C + 8 C maneiras diferentes Dado que os três cargos podem ser distribuídos pelos três elementos de! maneiras diferentes, o 8 9 número pedido é: ( C C ) Resposta: (B) 9 + 8! Sejam os acontecimentos: A : O aluno escolhido é da turma A B : O aluno escolhido é da turma B M : O aluno escolhido é um rapaz F : O aluno escolhido é uma rapariga Sabe-se que: P( B) P A = = P( F A ) = e P( M B) = P( F B) = P M A = = Pretende-se determinar P( A M ) ( ) P A M ( ) ( ) ( ) + ( ) P A M P A M = = = P M P A M P B M P ( A) P ( M A) ( ) + ( ) = = P A P M A P B P M B A B M F M F 6 6 = = = = = Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 6

7 f = O declive da reta r é f f = = = = f = = = Portanto, o declive da reta r é igual a 4 Como as retas r e s são paralelas, têm o mesmo declive, ou seja, a reta s tem declive Se a reta s passa na origem e tem declive igual a, então pode ser definida pela equação y = O ponto B é a interseção, no intervalo ], [, do gráfico de f com a reta s Portanto, uma equação que traduz o problema é f ( ) = Recorrendo à calculadora, visualizamos o gráfico de f, a reta de equação y = e determinamos as coordenadas do ponto B, interseção do gráfico com a reta Podemos concluir que b,86 4 Se f é contínua em [ 0, 4 ], então é contínua em [ 0, ] Logo, como f f Bolzano-Cauchy garante a eistência de pelo menos um zero em ] 0, [ <, então f é Como f é contínua em [ 0, 4 ] e f ( ) 0, ] 0, 4[ estritamente decrescente em [ 0, 4 ] Assim, como f f = 0, tem-se que ( ) > 0 no intervalo ] 0, [ e f ( ) < 0 no intervalo ] [ 0 < 0, o Teorema de, 4 pelo que se pode concluir que a função f é estritamente crescente em [ 0, ] e estritamente decrescente em [, 4 ] Portanto, no intervalo ] 0, [, o zero de f cuja eistência se provou é único Por outro lado, como f é estritamente decrescente em [, 4 ], f = 4 e f ( 4) = tem-se que [ ] f ( ) y O B f,86 4 O y =,4, 4, ou f 4 seja, a função f tem um único zero Resposta: (B) 4 Já vimos que f ( ) > 0 no intervalo ] [ ponto de abcissa é positivo (opções (C) e (D)) Dado que f é estritamente crescente em [ 0, ], f ( 0) = e 0, Portanto, o declive da reta tangente ao gráfico de f no [,4] f ( ) 4 Assim, a ordenada do ponto de tangência, f e 4 Na opção (C), y = +, se Na opção (D), y =, se Resposta: (D) =, vem 5 [,4] y = + = =, vem [,4] y = = f = 4 tem-se que, para todo, está compreendida entre Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 7

8 Caderno 5 f ( 0) = 0 f = + 5 ( ) f f 0 f f 0 0 lim = lim = lim = f ( 0) = = f ( ) Resposta: (C) = 0 = = = = = ( + ) ( + ) ( + ) f = = + = = = R, + > 0, o sinal de f é o sinal de + Como + f f PI PI O gráfico de f tem a concavidade voltada para baio em ], [ e em ], + [ e tem a concavidade voltada para cima em ],[ Os pontos de abcissas e são pontos de infleão 6 A (, ) e P(, 0) 6 Seja Q( 0, y ) Precisamos de eprimir y em função de Dado que Q, A e P pertencem à mesma reta temos que o declive de QA ( mqa ) é igual ao declive de AP ( m AP ) m QA y = e m AP = y mqa = map = y = y = + y = y = Portanto, como >, temos: OP = e OQ = y = A área do triângulo [ OPQ ] é dada por = = Logo, A( ) A( ) OP OQ = OP OQ Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 8

9 6 A ( ) = = = = 6 6 = = ( ) ( ) ( ) 6 A = = > = > = 0 > = 0 6 = 0 > = 6 Como >, o sinal de A depende apenas do fator A 0 + A ց ր Mín O valor mínimo que a medida da área do triângulo [ OPQ] pode atingir é: 6 6 A 6 = = = ua 6 7 f ( ) = sin cos 7 f sin cos = = sin cos = = sin cos cos sin = sin f ( ) = 0 [ 0, ] sin = 0 [ 0, ] sin = 0 [ 0, ] = k, k Z [ 0, ] = + k, k Z [ 0, ] = + k, k Z [ 0, ] 4 = = 4 S =, 7 sin sin f ( ) lim = lim = lim = sin y = lim = = y 0 y y = Se, y 0 Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 9

10 8 Como n N, v < e dado que n N, > 0, podemos concluir que n N, v < u n n Por outro lado, se lim u n = +, então: u n lim 0 u = n n u n Assim: n N, 0 < v < e n u n lim 0 = lim = 0 u n Portanto, pelo teorema das sucessões enquadradas, temos que lim v n = 0 9 f = k Qualquer que seja o valor de k, a função f é contínua em R por ser uma função polinomial Logo, f é contínua em qualquer intervalo do tipo [ 0, k ] O Teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a eistência de um zero de f no intervalo ] 0, k [ para os 0 < 0 valores de k tais que f f ( k ) ( 0) = 0 = e f k k f k = k k f 0 f k < 0 k k k < 0 k > 0 k k < 0 k > 0 k < 0 k > 0 k < k > k > 0 ], [ k + + k > 0, k R Cálculo auiliar k k k = 0 = = O Teorema de Bolzano-Cauchy garante a eistência de um zero de f no intervalo ] 0, k [ para ], [ + 0 k + Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 0