FORMULAÇÃO TRELIÇA PLANA

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Catarina Esteves Álvares
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1 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II FORMULAÇÃO TRELIÇA PLANA MODELO 1 Para a treliça hiperestática, indicada na Figura 1a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) o deslocamento vertical do ponto A e o deslocamento horizontal do ponto B; b) a força reativa horizontal no apoio A e a força reativa vertical no apoio B ; c) os esforços normais nas barras. da São dados o módulo de elasticidade do aço E= 5 GPa e seção transversal composta por um tubo circular com diâetro externo D= mm e espessura da parede do tubo t= mm. São fornecidas as matrizes de rigidez do elemento da treliça (Figura 1b). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm ). cosθ sen T ij sen cosθ cosθ sen sen cosθ Figura 1a Treliça hiperestática e matriz de rotação (global/local) Barra AB Dados: E=5x1 6 kn/m ; A=113,4x1-6 m ; L= 3 m; º (Unidades: kn, m, kn/m =kpa) Barra AC Dados: E=5x1 6 kn/m ; A=113,4x1-6 m ; L= 5,1 m; º (Unidades: kn, m, kn/m =kpa) Barra BC Dados: E=5x1 6 kn/m ; A=113,4x1-6 m ; L=,7 m; º (Unidades: kn, m, kn/m =kpa) Figura 1b Matrizes de rigidez dos elementos da treliça plana no sistema global

2 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II MODELO Para a treliça esquematizada na Figura a, cujas barras são formadas por cantoneiras duplas de aço laminado do tipo L 1x76x9,5, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) o deslocamento vertical do ponto F; b) a força normal na barra EF. Dados: módulo de elasticidade do aço estrutural E 5 N/mm, área da seção transversal composta A 31,5 mm. São fornecidos os deslocamentos nodais (Figura b) e as matrizes de rigidez dos elementos de treliça plana no sistema global (Figura c). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm ). E F D A B C Figura a Treliça isostática plana U6 U7 U8 U9 R1 R U4 U5 U1 U U3 R3 U U U U U U U U U U ,831,14 1,66,463,6 6,939 1,89 8,768 U9 Figura b Graus de liberdade e deslocamentos nodais da treliça isostática plana (em mm)

3 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II Figura c Matrizes de rigidez dos elementos de treliça plana no sistema global

4 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II MODELO 3 Para a estrutura treliçada, esquematizada na Figura 3a, determinar por Análise Matricial de Estruturas a força normal na barra BC, sabendo-se que U 1 =,916 U. São dados: modulo de elasticidade das barras de aço E = 5 MPa (=N/mm ), área da seção transversal tubular A= 76,86 mm. Também é fornecida a matriz de rigidez genérica do elemento de treliça plana no sistema global (Figura 3b). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm ). U Figura 3a Treliça isostática plana K ij cos EA cos sen L cos cos sen cos sen sen cos sen sen cos cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen sen 4x4 Figura 3b Matriz de rigidez genérica do elemento de treliça plana no sistema global

5 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II MODELO 4 Os deslocamentos da treliça isostática plana, indicada na Figura 4a, são apresentados na Figura 4c, com base na numeração dos graus de liberdade indicados na Figura 4b. A partir destas informações, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) deslocamento horizontal do APOIO E (indicar o sentido); b) reação vertical do APOIO A (indicar o sentido); c) força normal da BARRA BH (tração ou compressão?). Utilizar as unidades consistentes: kn (kilonewton), mm (milímetro) e GPa (gigapascal). Operar com 3 (três) casas decimais. É fornecida a matriz de rigidez global de uma barra genérica ij é dada por: cos α EA cosα senα Kij cos α cosα senα cosα senα sen α cosα senα sen α cos α cosα senα cos α cosα senα cosα senα sen α cosα senα sen α 4x4 kn (H) m kn kn (F) (G) m (A) (E) (B) (C)- (D) 4 m 1 m 3 m 3 m 1 m 4 m Figura 4a Treliça isostática plana kn U1 U13 kn kn U8 U9 U1 U11 R1 R U7 R3 U1 U U3 U4 U5 U6 Figura 4b Graus de liberdade da treliça isostática plana GRAU DE LIBERDADE U1 U U3 U4 U5 U6 TRANSLAÇÃO (mm),7 14,68,898 14,44 3,77 14,68 GRAU DE LIBERDADE U8 U9 U1 U11 U1 U13 TRANSLAÇÃO (mm) 4,558 13,74 1,39 13,74,898 14,44 MATERIAL: LIGA DE AÇO E=5 GPa SEÇÃO TRANSVERSAL : TUBULAR D=5 mm t=5 mm Tabela 1 Deslocamentos Figura 4c Deslocamentos da treliça isostática, nodais propriedades treliça geométricas isostática plana da seção transversal e propriedades físicas e geométricas das barras

6 3 kn 6 kn 3 kn 6 kn CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II MODELO 5 Para a treliça esquematizada na Figura 5a, utilizando-se a Análise Matricial de Estruturas foram obtidos os deslocamentos apresentados na Figura 5b. A partir destes dados, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a. a reação horizontal do APOIO D (sentido); b. a reação vertical do APOIO D (sentido); c. a força normal da BARRA AB (tração ou compressão?). Utilizar as unidades consistentes: kn (kilonewton), mm (milímetro) e GPa (gigapascal). Operar com 3 (três) casas decimais. A matriz de rigidez global de uma barra genérica ij é dada por: K ij cos α EA cosα senα cos α cosα senα cosα senα sen cosα senα sen α α cos cos cosα senα α α cosα senα cosα senα sen α cosα senα sen α 4x4 3 m (A) (B) (C)X 4 kn MATERIAL: LIGA DE AÇO E= GPa SEÇÃO TRANSVERSAL: QUADRADA (MACIÇA) (D) (E) 3 m 3 m 3 mm 3 mm Figura 3 Treliça de aço: geometria, dimensões, material e seção transversal R1 U1 R R3 U U3 U6 R4 4 kn U4 U5 Y X GRAU DE LIBERDADE U1 U U3 U4 U5 U6 TRANSLAÇÃO (mm),7 1,667,5 3,333 6,955,793 Figura 5b Graus de liberdade ativos (U) e impedidos (R) e deslocamentos nodais obtidos por Análise Matricial de Estruturas

7 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II MODELO 6 Os deslocamentos nodais, apresentados na tabela abaixo, referentes à treliça hiperestática esquematizada na Figura 6a, foram obtidos por Análise Matricial de Estruturas. A partir destes dados, pede-se os esforços nas Barras DE e AE. Trabalhar com as unidades consistentes: kn (kilonewton), mm (milímetro) e GPa (gigapascal). Operar com 3 (três) casas decimais. Dados: módulo de elasticidade E= GPa e área da seção transversal A= 1 mm. Também é fornecida a matriz de rigidez genérica do elemento de treliça plana no sistema global (Figura 6b). Tabela 1 Deslocamentos nodais da treliça hiperestática DESLOCAMENTO U1 U U4 U5 U6 U7 VALOR (mm) 3,14 1,43 5,639,855 5,639 1,43 F R4 U8 D E U4 U5 U6 U7 A B C R1 R U1 U U3 R3 Figura 6a Treliça hiperestática (a) esquema estático; (b) graus de liberdade ativos e impedidos cos EA cos sen K ij L cos cos sen cos sen sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos sen sen cos sen sen 4x4 Figura 6b Matriz de rigidez genérica do elemento de treliça plana no sistema global

8 CE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II MODELO 7 Determinar, por Análise Matricial de Estruturas, o deslocamento vertical do Ponto C e a reação horizontal no Ponto A da estrutura simétrica formada pela associação de cabos, mostrada na Figura 7a. Dados: módulo de elasticidade do alumínio E= 7 GPa e seção transversal circular maciça com diâmetro D = 5,4 mm. São fornecidas as matrizes de rigidez dos elementos de cabo no sistema global (Figura 7b). 4 m (A) (B) 4 m (C ) 1 kn Figura 7a Estrutura de cabos Barra AC E= 7 N/mm ; A= 56,45 mm ; L= 447,136 mm; º (Unidades: N, mm, N/mm =MPa) K AC 1585,43-317, ,43 317,87-317, ,76 317, , ,43 317, ,43-317,87 317, ,76-317, ,76 Barra CB E= 7 N/mm ; A= 56,45 mm ; L= 447,136 mm; º (Unidades: N, mm, N/mm =MPa) K CB 1585,43 317, ,43-317,87 317, ,76-317, , ,43-317, ,43 317,87-317, ,76 317, ,76 Figura 7b Matrizes de rigidez dos elementos de cabo no sistema global

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