f(x + h) f(x) 6. Determine as coordenadas dos pontos da curva f (x) = x 3 x 2 + 2x em que a reta tangente é paralela ao eixo x.

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1 Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista 4: Derivadas - Cálculo Diferencial e Integral I f( + h) f() 1. Para as funções dadas abaio calcule lim. h 0 h( (a) f() ) (b) f() (e) f() cos (c) f() 1 (f) f() tan() (g) f() log a (), a R + {1} (d) f() sin() (h) f() a, a R + {1}. Use a denição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaio. (a) f () 1 (c) f () e + (b) f () (d) f () ln ( + 1) + 1 (e) f () sinh (a), a R Nos eercícios a 5 use a denição de derivada para encontrar o coeciente angular da reta tangente. Seja f () 1. (a) Determine o coeciente angular da reta tangente ao gráco de y f(), no ponto de abscissa 1. (b) Determine a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Determine os pontos da curva y f() em que a reta tangente tem inclinação de Seja f (). Se possível, determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva 1 y f() no ponto P (, ). 5. Caso eista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva f () + ln ( + 1) que é(são) perpendicular(es) a reta r : y Determine as coordenadas dos pontos da curva f () + em que a reta tangente é paralela ao eio. 7. Mostre que as retas tangentes à curva f () π sin formando um ângulo reto. 8. Determine a equação da reta normal a curva f () 1+ em π e π, interceptam-se que é paralela a reta r : y Considere a curva dada por f () 4. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a esta curva que é paralela a reta r : + y Seja f() 1 e. Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y f() no ponto cuja abscissa é Determine as abscissas dos pontos do gráco de y cos (), nos quais as retas tangentes são perpendiculares a reta r : + 4y 5. 1

2 1. Dada a curva f () 1. Determine a equação da reta normal a esta curva no ponto em que a reta tangente é paralela à reta r : + y Dada a curva f () + determine, se possível: (a) o(s) ponto(s) da curva onde a reta tangente é paralela a reta y. (b) a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva no(s) ponto(s) onde a inclinação é Em cada item, verique se a função dada é derivável nos pontos referidos, justicando sua resposta. {, se < (a) f (), em. 7, se (b) f (), em. (c) f () 1 1, em 9. { 1, se < 1 (d) f () 1, em 1., se 1 { (e) f () 4, se < 1, em 1., se 1 { (f) f () + 4, se 1, em , se > 1 { 15. Seja f a função denida por f(), se. Determine, se possível, os valores das a + b, se > constantes a e b para que f seja uma função derivável em. Obs: Lembre que se f é derivável em um ponto, então f também deve ser contínua neste ponto. 16. Determine os pontos onde a função f () não é derivável. 17. Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples. (a) f() ( + 4)( 4 (i) 5) f() e e (b) f() ( + 1) (j) f() ( 1) 1 (c) f(t) t + t (d) f() ( + 1) (e) f() (1 + ) (f) f() ln (9 + 4) (g) f() ln(sin ()) (h) f() sinh( ) (k) f() + log (4 ) (l) f() ln( 4 + 7) (m) f() ln (n) f() ln( ) + ln ( ) + 1 (o) f() ln (9 4) (p) f() cossec ( ) (q) f() e ln (r) f() e ln() (s) f() sec( 1) (t) f() 4 e cos() (u) f() cotg ( sin( )) (v) f() ln() + ln(ln()) (w) f() sech () () f() (y) f() tan(5) (z) f() e 18. Nos eercícios de 1 a 8 determine y f (), com as simplicações possíveis, sendo y f() a epressão dada.

3 (1) y ( ) () y e ln () y ln(( ) 5 ) (4) y ln (5 + 1) (5) y tg( ) ( ) 4 1 (6) y + 4 (7) y ( ) 10 (8) y 1 ( ) 1 ln + ln ( ) (9) y 4 (10) y ln (11) y ln(ln(sec())) (1) y (sin(5) cos(5)) 5 (1) y cossec() + 1 (14) y tan( ) cos( ) (15) y ln ( ) e + 1 e 1 (16) ln y y ln 1 (17) e y + y 11 (18) 8 + y 10 (19) y sin y ( ) 1 (0) sin y (1) y arcsin( ) () (y 9) 4 (4 + 1) () cos (y) ln(y) 0 (4) y (1 + arccos()) (5) y ln(arctan( )) (6) y e tg (7) y arctan( 5) (8) y arcsin( ) 19. Seja + y + y uma curva, se eistir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta(s) r : + y Se eistir, escreva a equação da reta normal a curva ( + 4) y 4 e que passe pela origem do sistema cartesiano. 1. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y y + 5y 0 e 4 4y y 0, na origem, são perpendiculares.. A reta a intercepta a curva y num ponto P e a curva y + num ponto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são paralelas? Encontre a(s) equação(ões) da(s) referida(s) reta(s).. Determine a equação da reta normal à curva C : y +y y + no ponto em que a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor. 4. Seja P o ponto de interseção das curvas C 1 : + y 5 e C 1 : y. Mostre que as retas tangentes às curvas C 1 e C são perpendiculares no ponto P. 5. Se f() 1, obtenha uma fórmula para f (n) () onde n é um inteiro positivo. Quanto é f (n) (1)? 6. Determine a epressão da derivada n-ésima em cada caso:

4 (a) f() e a, com a R. (b) f() (a + b) m, com a, b R e m N (c) f() + 1 (d) f() ln( ) 7. Sejam f : R R uma função diferenciável duas vezes e g : R R dada por g() f( + cos()). (a) Determine g (). (b) Se f () 1 e f () 8, calcule g (0). 8. Considere a função g () cos. [f ()],, onde f : R R é duas vezes diferenciável. Se f (0) 1 e f (0) f (0), determine g (0). 9. Determine: ( (a) f (0) sabendo que f sin ) f ( π) + π. (b) a função g sabendo que (f g) () 4 + 4, f () 1 e g (). (c) (g f h) (), sabendo que f (0) 1, h () 0, g (1) 5 e f (0) h (). 0. Determine a constante k para que y() kcotgh()sech() seja solução da equação diferencial yy + cotgh()cossech () Determine o valor das constantes A e B para que a função y A sin()+b cos() seja solução da equação diferencial y + y y sin().. Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a. Mostre que a tangente a C no ponto P (1, ) é ortogonal a reta r que passa pela origem e pelo ponto P.. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando regras de derivação já estudadas. (a) y sinh(u) y u cosh(u); (b) y cosh(u) y u sinh(u); (c) y tgh(u) y u sech (u); (d) y cotgh(u) y u cossech (u); (e) y sech(u) y u tgh(u)sech(u); (f) y cossech(u) y u cotgh(u)cossech(u); 4. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação implícita. (a) y arcsin(u) y u 1 u (b) y arccos(u) y u 1 u (c) y arctan(u) y u 1 + u (d) y arccotg(u) y u 1 + u 4

5 (e) y arc sec(u) y u u 1 Respostas: (f) y arc cossec(u) y u u 1 u u 1.. (a) f () (b) f () 1 (c) f () 1 (d) f () cos() (e) f () 1 ( ) sin (f) f () sec () (g) f () log a(e), a R + {1} (h) f () a ln(a), a R + {1}.. (a) f () (b) f () 5 ( + ) 1 ( + 1) (c) f () e (d) f () (e) f () a cosh (a), a R. (a) 1 (b) y + (c) não eiste 4. Reta tangente: y 4 ; Reta normal: y y e y + 4 ln() 6. Não eistem. 7. Mostre que o produto dos coecientes angulares é y 9. y Reta tangente: y e 1 ( + ); Reta normal: y e e + 1 e 11. 7π 11π + kπ ou kπ, k Z 1. y 5 1. (a) não eiste; (b) y e y (a) Não é derivável. (b) Não é derivável. (c) Não é derivável. 15. a 1 e b 1. (d) Não é derivável. (e) Não é derivável. (f) f (1) e 1. 5

6 17.. (a) f () (b) f () 1(1 ) (c) f (t) t 4 t (d) f () ( + 1) ( 1) (e) f () (1 + ) (f) f () (g) f () cotg () (h) f () cosh( ) (i) f () e (j) f () 1 1 (k) f () 9 ln(9) + log (e) (l) f () (m) f () 1 + ln (n) f () 1 ( ) ln (o) f () (9 4)( + 1) (p) f () ln()cotg ( )cossec ( ) (q) f () e ( 1 ln ) (r) f () (ln() + 1) (s) f () tan( 1) sec( 1) 1 (t) f () 16 e cos() (ln(16) sin()) (u) f () (cos( ) )cossec ( sin( )) (v) f () ln () ln() + 1 ln() (w) f () tanh()sech () () f () +1 ( ln() + 1) (y) f () 5 ln() tan(5) sec (5) (z) f () e (ln() + 1)

7 (1) y 6( )( ) () y 1 () y 15 (4) y 0 ln (5 + 1) (5) y ( )sec ( ) (6) y 8(4 1)( 4 + 1) 9 (7) y 404 (8 5) ( ) 11 (8) y 1 ln 1 (9) y 6( ) ( ) ( 4 ) 4 (10) y 4 ( 4 1) (11) y tan() ln(sec()) (1) y 5(sin(5) cos(5)) 4 (sin(5) + cos(5)) (1) y cossec()[cotg()( + 1) + ] ( + 1) (14) y cos( ) 19. y e y + (15) y e e 1 (16) y y(y ln y) ( y ln ) (17) y ye y 6y + e y (18) y 8 y (19) y sin y 1 cos y ( ) 1 (0) y y sec y (1) y ln() arcsin( ) 1 6 () y (4 + 1)(8 + ) 4(y 9) () y y (4) y 9(1 + arccos()) 1 9 (5) y arctan( )(1 + 4 ) (6) y e [ 6 tan( ) + sec ( )] 4y (7) y (8) y 1 0. y 1. m e m 5. Para a 1 : y e y 5 ; para a : y 1 5 e y y m 1 ± e m 5. f (n) () ( 1)n n! n+1 e f (n) (1) ( 1) n n! 6.. (a) f (n) () a n e a (b) f (n) () m(m 1)(m ) (m (n 1))(a+b) m n b n, se n m e f (n) () 0, se n > m 7

8 (c) f (n) () ( 1)n+1 n! ( + 1) n+1 (d) f (n) () ( 1)n 1 n (n 1)! ( ) n 7. (a) g () f ( + cos())(1 6 sin()) 18 cos()f ( + cos()) (b) g (0) g (0) 9. (a) f (0) 6 5 (b) g() + (c) 0 0. k 1 ou k A 0 e B 1 0. m t e m r