LISTA DE EXERCÍCIOS MATRIZES, SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES

Transcrição

1 LISTA DE EXERCÍCIOS MATRIZES, SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES. Determine x, y, z e w de modo que: x 3y x + y y + 4 x + y 5 3 x y 5 w 5 4 d) y x x 0 y x w 4 w 3 y 0 x 4x. Sejam as matrizes A 4 7 B 6 5 C 9 7 D Calcule W B + C, X A + B t e Y A + (B + C) t. Calcule AB e BA. Calcule X se A + X B t. d) Verifique que A(B + C) AB + AC. e) Verifique que (BA) t A t B t. 3. Um produtor rural, vendeu sua produção de soja, armazenada em grãos, da seguinte forma: 000 sacas no mês de abril, 600 sacas em maio e 00 no mês de agosto. Nesse período os preços variaram da seguinte forma, R$ 45,00 a saca em abril, R$ 65,00 em maio e R$ 55,00 em agosto. Sabendo que o custo de produção por saca é de R$ 7,00 determine, usando multiplicação de matrizes, o lucro do agricultor no período. 4. Considere as matrizes: A D B E C F Discuta a existência dos produtos AB, CE, EC, F E, EF, CF, F C, ECE e ECE t. Mostre que AB BA e AC CA. Calcule A + A t e A A t e classifique as matrizes resultantes. 5. Por que, para matrizes em geral (A + B) A + AB + B e (A + B)(A B) A B? 4 6

2 6. Para cada número real α seja T (α) T (0) e T (π/) T (α) T (β) cos α sen α. Calcule: sen α cos α T ( α) d) T (α) usando os itens a, b e c. 7. Seja A Calcule A t. cos α sen α 0 sen α cos α Mostre que A t é a inversa de A e que portanto A é uma matriz ortogonal. Sugestão: basta mostrar que A A t coincide com a inversa é chamada matriz ortogonal Considere a matriz A 4 3 I e usar a definição: Toda matriz cuja transposta 3 Reduza A a uma matriz equivalente escalonada reduzida por linhas. É possível obter outra matriz escalonada reduzida por linhas, equivalente a A, diferente da que você obteve? Justifique sua resposta. 9. Mostre que as matrizes A outra e B são inversas uma da 0. Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso. d) g) e) h) f) i)

3 . Calcule os determinantes das matrizes, usando o teorema de Laplace, de duas maneiras: i) sem alterar a matriz; ii) alterando a matriz usando propriedades dos determinantes Para que valores de m existe a inversa da matriz da matriz! m 5 5 m 3. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. x + y 5 x 3y 4 x + y z d) x y + 3z 9 3x + 3y z 3 3x 4y x + 3y 9 x + y 0 0 e) x z 5 0 y z ? Não precisa achar a inversa x + y 7 3x + 6y 9 a b + c 3 f) a b + c 3 a + b + c 6 4. Resolva as seguintes equações matriciais: 3 x y x y z 8 5. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. x y + 3z 4x 3y + z 0 x + y + z 6 3x + y + z 4 6. Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas

4 7. Encontre todas as soluções do sistema x + 3x + x 3 + 3x 4 7x 5 4 x + 6x + x 3 x 4 + 5x 5 x + 3x x 3 + x 5 8. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (g) determinou-se que: (i) O alimento I têm unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. (ii) O alimento II têm, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C. (iii) O alimento III têm 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B. Se são necessárias unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 0 de vitamina C, Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de vitamina desejada. Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 0, existe uma solução custando R$,00? 9. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzida à forma escada. x + y + z 4 x + y + z 4 x y + 3z 0 x + 5y z 3 x + 5y z 3 x + 5y + 6z 0 x + 7y 7z 5 x + y + 3z 0 3x + y 4z d) x + y + 3z 0 x y + z 3 3x + y + z 0 e) x y 3z 3 3x + 3y 5z 0 x + y + z 0. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos independentes b i, são todos nulos. Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?. Uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 70 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina B, 40 unidades de vitamina C, 80 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (g) de cada alimento, determinou-se que: (i) O alimento I tem unidade de vitamina A, 0 unidades de vitamina B, unidade de vitamina C, unidades de vitamina D e unidades de vitamina E. (ii) O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, unidade de vitamina B, 0 unidades de vitamina C, unidade de vitamina D e unidade de vitamina E. 4

5 (iii) O alimento III tem unidades de A, unidades de B, 5 unidades de C, unidade de D e (iv) O alimento IV tem unidade de A, unidade de B, unidade de C, unidades de D e 3 (v) O alimento V tem unidade de A, unidade de B, unidade de C, 9 unidades de D e Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V deve-se igerir diariamente pra que a alimentação seja equilibrada? 5