EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis

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1 EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003 Funções reais de várias variáveis 1. Faça um esboço de alguns conjuntos de nível das seguintes funções: (a) f (x,y) = 1 + x + 3y, (x,y) R 2 ; (b) f (x,y) = 4x 2 + y 2, (x,y) R Determine as derivadas parciais indicadas a seguir: (a) f (x,y) = xy 3 + 2x ; f x (2,1) e f y (2,1); (b) f (x,y) = xe xy + 3y ; f x e f y ; (c) f (x,y) = x+y x 2 +y 2 +1 ; f x e f y ; (d) f (s,t) = 8 + s 2 +t 4 ; f s (1,0) e f t (1,0); (e) f (x,y,z) = x 2 z 3 + xy tanz ; f x, f y e f z ; (f) f (x,y,z) = x yz ; (g) f (x,y,z) = x yz ; f x (2, 1, 3), f y (2, 1, 3) e f z (2, 1, 3); f x (2,1,1), f y (2,1,1) e f z (2,1,1); (h) f (x,y) = x 2 y 3 3xy 7 + 3x; 2 f x 2, 2 f y 2, 2 f x y e 2 f y x ; (i) f (x,y) = sen 2 (xy); 2 f x 2 ( π 2,1) e 2 f y x ( π 2,1); (j) f (x,y) = arcsen(x 2 + y 2 1); 2 f x 2 (0,1), 2 f y 2 (0,1), 2 f x y (0,1) e 2 f y x (0,1). 3. Determine os máximos e mínimos locais e ainda os pontos de sela das seguintes funções: (a) f (x,y) = 4x 2 + y 2 x 2 y; (b) f (x,y) = x 2 cosy + seny + x 2 ; (c) f (x,y) = e x (x 2 + y 2 ); (d) f (x,y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y. 4. De todas as caixas rectangulares de volume 8m 3, determine aquela que tem superfície mínima. 5. Determine três números reais positivos cuja soma seja 3000 e cujo produto seja máximo. 6. Calcule cada um dos integrais duplos indicados nas alíneas que se seguem: (a) R (x2 + 4y) dxdy sendo R = { (x,y) R 2 : 0 x 2 e 0 y 3 } ;

2 Elementos de Matemática II (b) R (x y)2 dxdy sendo R = { (x,y) R 2 : 0 x 5, 0 y 4 } ; (c) y R dxdy sendo R = [1,3] [0,4]; (x 2 +y 2 ) 2 (d) R xex2 y dxdy sendo R = [0,2] [0,3]; (e) R xcos(x + y) dxdy sendo R = [0,π] [ 0, π 2]. 7. Calcule os seguintes integrais duplos: (a) D xy da, D = { (x,y) R 2 : 0 x 1,x 2 y x } ; (b) D (3x + y) da, D = { (x,y) R 2 : 0 x π 4, senx y cosx} ; (c) D 1 x da, D = { (x,y) R 2 : 1 y e, y 2 x y 4} ; (d) D xcosy da, D é limitado por y = 0, y = x2, x = 1; (e) D ex+y da, D = {(x,y) R 2 : y x, 0 x 2 e 1 y 1}; (f) D 3xy da; D é limitado por x = 0, x = y e y = x2 4x + 4; (g) D (y2 x) da, D é limitado por x = y 2, x = 3 2y 2 ; (h) D xy da, D = { (x,y) R 2 : x 2 + y 2 9, x 0 e y 0 }. 8. Nos exercícios que se seguem determine a região de integração, mude a ordem de integração e calcule os integrais: (a) y e x2 dxdy; (b) y x 3 + 1dxdy; (c) 1 e 1 0 e x lny dydx; (d) x 2 x 3 sen(y 3 )dydx. 9. Determine a área das regiões do plano limitadas por: (a) x 2 + y = 4, y = 0, x = 1, x = 1; (b) y 2 = x + 4, y = 2 x; (c) y = senx, y = cosx, x = π/4, x = Determine o volume dos sólidos que se seguem: (a) {(x,y,z) R 3 : 0 z x 2 + y 2 + 1, 2x + y 2, x 0 e y 0}; (b) {(x,y,z) R 3 : 0 z x x 2 + y, 0 x 4 e 0 y 3}; (c) {(x,y,z) R 3 : 0 z 6 xy, y 0, x + y 2 e x 0}. 11. Calcule os seguintes integrais triplos: (a) π z 2 0 z sen ydxdzdy; (b) E yzdv, onde E = { (x,y,z) R 3 : 0 z 1,0 y 2z,0 x z + 2 } ; (c) E ydv, onde E = { (x,y,z) R 3 : 0 z x + 2y, 0 y x 2 e 0 x 1 }.

3 Elementos de Matemática II Resolva os seguintes sistemas em R (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 2x + y = 5 x 2y = 5 3x + 7y = 2 2x y 3z = 1 3x + 2y + 2z = 1 5x y z = 6 5x + 3y 4z = 5 x 2y + 3z = 2 7x y + 2z = 1 x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 5z = 4 5x + 4y + 9z = 3 x + 2y + 2z = 2 3x y z = 6 2x 5y 5z = 4 4x y z = 8 x + 2y z + 3t = 3 2x + 4y + 4z + 3t = 0 y z + 2t = 10 x + y + 4z 3t = 3 2x y + z + 4t = 1 3x + 5z +t = 1 3x + y 2z = 2 x 2y + 3z = 9 2x + 3y + z = 1 y z + 2w = 0 2x y 4w = 0 y 2z + 3w = 0 3x 2y + z w = 0 x 2y + 3z = 0 3x + 2y 6z = 0 5x 2y = 0 2x + 4y 9z = 0 Sistema de Equações Lineares e Matrizes

4 Elementos de Matemática II Sendo A = e B = 1 2 4, calcule A + B, 2A e 1 2 A + 5B Calcule os produtos das seguintes matrizes ( )( ) (a) ( ) 4 (b) ( ) ( ) 2 (c) (d) (e) (f) ( ) (g) ( ) Mostre que as matrizes A = e B = são ortogonais. Calcule A e B Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes ( ) 2 1 (a) 1 0 ( ) 5 2 (b) 2 5

5 Elementos de Matemática II (c) (d) (e) (f) a b c 17. Seja A = d e f e suponha que A = 7. Determine: g h i (a) 3A (b) A 1 (c) 2A 1 (d) (2A) 1 a g d (e) b h e c i f 18. Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes que se seguem ( ) 1 2 (a) (b) (c) ( ) 1 1 (d) 2 3

6 Elementos de Matemática II (e) (f) Determine os valores de λ para os quais é invertível a matriz A(λ) = ( 12 λ 20. Calcule 1 2 (a) (b) (c) (d) a Determine todos os números reais a tais que 2 a 2 = a x y z 22. Supondo que = 1, calcule cada um dos determinantes que se seguem x 2y 2z 3 (a) x y z (b) 3x + 3 3y 3z + 2 x + 1 y + 1 z λ ).

7 Elementos de Matemática II (c) x 1 y 1 z Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas. ( ) k 2 1 (a) A matriz é sempre invertível. 3 k + 2 (b) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 e entradas reais tal que A = 3. det((2a) 1 A t ) = 1/2. Então (c) Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. Se A possui uma linha de zeros, então a matriz AB não é invertível. sen2 α sen2 β sen2 γ (d) Para quaisquer valores reais de α, β e γ, a matriz cos 2 α cos 2 β cos 2 γ é invertível x + y + z = a 24. Considere o sistema de 3 equações a 3 incógnitas: x + (1 + a)y + z = 2a x + y + (1 + a)z = 0 Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas. (a) Se a = 0, então o sistema tem uma solução única (b) Se a = 0, então o sistema tem mais de uma solução (c) Se a 0, então o sistema tem mais de uma solução (d) Se a 0, então o sistema tem uma solução única 25. Use a regra de Cramer para resolver os sistemas { 2x + 7y = 3 (a) 3x + 4y = 2 { 2x + 2y = 4 (b) x + 2y = 1 2x y 3z = 1 (c) 3x + 2y + 2z = 1 5x y z = 6 x + 2y + 3z = 8 (d) 2x y + 4z = 2 y + z = 1

8 Elementos de Matemática II x + y + z = Discuta o sistema nas incógnitas x, y e z (a,b R): 5x + 3y + 2z = 17 7x + 4y + az = b 27. Resolva o sistema { (1 k)x + y = 0 para k R. kx 2y = 0 x + y + z = Condicione o par (a,b) R 2 de tal modo que o sistema linear em x, y e z: 2x y + 3z = 2 x + ay + z = b tenha mais do que uma solução. Resolva o sistema para os valores de a e de b encontrados. 29. Determine os valores reais de m e de n para os quais o sistema seguinte, nas incógnitas x,y,z, 3x + my + 4z = m tem mais do que uma solução: 2x + nz = n 4 5x + 2my + 5z = 2m Para cada (a,b) R 2 \ {(0,0)}, seja S (a,b) o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z: x y + z = 0 x ay z = 2a bx + ay az = a + b (a) Para cada (a,b) R 2 \ {(0,0)}, determine a matriz reduzida equivalente à matriz dos coeficientes de S (a,b). (b) Usando a alínea anterior, explicite, para cada (a,b) R 2 \ {(0,0)}, o conjunto das soluções do sistema homogéneo associado a S (a,b). (c) Sabendo que (1,2,1) é uma solução de S (a,b), para todo o (a,b) R 2 \{(0,0)}, determine o conjunto das soluções de S (a,b), para cada (a,b). x 4y + 3z = 2b 31. Considere o sistema de 3 equações e 3 incógnitas (x,y,z): ay + z = b x y + (a + 1)z = b Indique para qual dos casos seguintes o sistema não tem solução (a) a = 1 e b 0 (b) a 1 e a 3 (c) a = 1 e b 3 (d) a = 3 e b 0

9 Elementos de Matemática II Espaços Vectoriais 32. Averigue se os conjuntos dados a seguir são subespaços vectoriais reais de R 3 : A = {(a,b,c) R 3 : a b + c = 1}, B = {(a,b,c) R 3 : a 2 b 2 = 0}, C = {(a,b,c) R 3 : a 2 + b 2 = 0}, D = { u R 3 : A u = 0}, onde A M 3 (R), E = {(x,y,z) R 3 : x + 2y 3z = 0}, F = {(x,y,z) R 3 : x + y z}, G = {(x,y,z) R 3 : x 2y + z = 0 }, H = {(x,y,z) R 3 : x 2y + z = 0 e y + z = 0}. 33. (a) Dos conjuntos que se seguem, diga quais são subespaços vectoriais de R 2. A = {(x,y) R 2 : 3x + 2y 5}, B = {(x,y) R 2 : 7x y = 0}, C = {(λ, 2µ) : λ,µ R}, D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 = 4}, E = {(2x y,0) : x,y R}, F = {(λ,λ) : λ R}. (b) Mostre que R 2 = B + E e diga se R 2 = B E. 34. Considere o espaço vectorial R[X] dos polinómios em X de coeficientes reais com a adição e multiplicação por um número real usuais, e sejam: A = {ax 3 + bx : a,b R}, B = {a + bx + ax 2 : a,b R}, C = {λ + µx + (λ + µ)x 2 : λ,µ R}, D = {a + bx + cx 2 : a = b e c = 1}, E = {a + (b a)x + (c b + a)x 2 : a,b,c R}, F = {p R[X] : p(2) = 0}, G = {p R[X] : p(2) = 1}, H = {polinómios de grau 4}. (a) Diga quais dos conjuntos dados são subespaços vectoriais de R[X]. (b) Determine explicitamente B C e diga se é subespaço vectorial de R[X]. (c) Determine uma condição que caracterize os polinómios de B C e diga se B C é subespaço de R[X]. 35. Averigue se os seguintes conjuntos geram R 3 : A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}; B = {(1,0,1), (0, 1,2), (1, 2,5)} C = {(1,0,0), (0,1,0)} D = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1), (0,0,0)} 36. Considere os subconjuntos seguintes de R 2 [X] (o espaço vectorial dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a dois) : A = {1,X,X 2 }; B = {1,1 + X,1 + X + X 2 }; C = {1 X,X X 2,2 + X 2 }. (a) Averigue quais desses subconjuntos geram R 2 [X]. (b) Averigue quais desses subconjuntos são linearmente independentes.

10 Elementos de Matemática II Dados os vectores u 1 = ( 4,3,0), u 2 = (1,2,1), u 3 = (2, 1,1) e u 4 = ( 3,1, 1), mostre que u 1, u 2, u 3 e u 4 são linearmente dependentes e escreva u 1 como combinação linear dos restantes vectores. 38. Indique uma base para cada um dos seguintes espaços vectoriais: A = {(a + b c,2a 2b,2a c) : a,b,c R}, B = {(x,y,z) R 3 : x 2y + z = 0}, C = {(x,y,z) R 3 : x 2y + z = 0 e y + z = 0}, D = {a + bx + cx 2 R 2 [X] : a + b = c b}, E = {(x,y,z,t) R 4 : 3x 2y + 4z + t = 0 e x + y 3z 2t = 0}.Por exemplo: A : ((1,2,2),(1, 2,0),( 1,0, 1)) B : ((2,1,0),(( 1,0,1)) C : (( 3,1,0)) D : (1 + X 2, 2 + X) E : ((3,7,0,5),(0,5,3, 2)) 39. Considere o subespaço vectorial A={(a,b,c,d) R 4 : a + b c + d = 0 } de R 4. Determine: (a) uma base B 1 de A que contenha (1,0,1,0); (b) uma base B 2 de R 4 que contenha B 1 ; (c) as coordenadas de (1,1, 1, 3) nas bases B 1 e B Considere o espaço vectorial R 2 [X]. Seja U = {a + bx + cx 2 R 2 [X] : 2a + b + c = 0 }. Determine uma base de U. 41. Averigue se ( u, v, w) é uma base de R 2 [X] para: (a) u = 1 + X X 2, v = 2 + X + 2X 2, w = 1 + 4X X 2 ; (b) u = X + X 2, v = 1 + 3X 2, w = 2 X + 5X Considere o subespaço vectorial X = {(x,y,z,t) : x + y z +t = 0} de R 4. Determine: (a) uma base B 1 de R 4 que contenha {(1,0,1,0),(0,1,1,1)}; (b) uma base B 2 de R 4 que contenha {(1,1,1,0),(0,0,1,1),(0,2,3,0)}; (c) uma base B 3 de X que contenha {(1,0,1,0)}; (d) as coordenadas de (1,1,1, 1) respectivamente nas bases B 1, B 2, B Determine as dimensões dos seguintes subespaços de R 3 : (a) (1,1,0),(0,1,1) ; (b) (2,1,4),(3,2,6),(1,1,2) ; (c) (1,2,8),(2,4,16).

11 Elementos de Matemática II Considere os polinómios p 1 (X) = 2X + 2, p 2 (X) = 3X + 1, p 3 (X) = 3 7X e p 4 (X) = 1 + X 2 de R[X]. (a) Mostre que o conjunto ordenado (p 1, p 2, p 3 ) é ligado e (p 1, p 2, p 3, p 4 ) é ligado. (b) Da resposta à alínea anterior pode-se concluir que p 4 é combinação linear de p 1, p 2 e p 3? (c) Escreva p 1 como combinação linear dos restantes vectores e diga quantas maneiras diferentes há de o fazer. (d) Determine o subespaço gerado por p 1, p 2, p 3, p 4 e indique uma base desse subespaço cujos elementos pertençam a {p 1, p 2, p 3, p 4 }. (e) Diga se é ou não verdade que i. p 1, p 2, p 3 p 1, p 3 ; ii. p 1, p 3 p 1, p 2, p Seja E um espaço vectorial e sejam U e V subespaços vectoriais de E. (a) Mostre que U V e U +V são subespaços vectoriais de E. (b) Dê um exemplo em que U V não é subespaço vectorial de E. (c) Dê um exemplo em que U V é subespaço vectorial de E. 46. Sejam u, v e w vectores de um espaço vectorial E. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas. (a) se u e v são linearmente independentes, então u + v e u v são linearmente independentes; (b) se u e v são linearmente independentes, então u + v, u v e 2 u + 3 v são linearmente independentes; (c) se ( u, v, w) é uma base de E, então ( u, u + v, u + v + w) é uma base de E. (d) Se ( e 1,..., e n ) é livre e k < n, então a igualdade t 1 e t k e k = 0 implica t 1 = = t k = 0. (e) Se ( e 1,..., e k ) é livre, k < n e ( e k+1,..., e n ) tambem é livre, então ( e 1,..., e k, e k+1, e n ) é livre. (f) Uma condição suficiente para ( e 1,..., e n ) ser ligado é que e n seja combinação linear de ( e 1,..., e n 1 ).

12 Elementos de Matemática II Aplicações Lineares 47. Para cada uma das seguintes aplicações, diga se é linear e, caso o seja, determine o seu núcleo e a sua imagem: (a) f : R 3 R 3, f (x,y,z) = (x,y,z) + (1,0,1); (b) f : R 4 R 4, f (x,y,z,t) = (x,y,z,t); (c) f : R 2 R, f (x,y) = xy; (d) f : R 2 R 2, f (x,y) = (y,x); (e) f : R 3 R 2, f (x,y,z) = (x,z); (f) f : R 2 R 2, f (x,y) = (x, y ); (g) f : R 4 R 2, f (x,y,z,t) = (x + y t,x y + 2z); (h) f : R 2 [X] R 2 [X], f (a + bx + cx 2 ) = (a b)x 2 + 4cX b; (i) f : R 3 R 4, f (x,y,z) = (x 5y,7,z,0); (j) f : R 3 R, f (x,y,z) = (x,y,z) (1,2,3); (k) f : R 2 [X] R 2, f (a + bx + cx 2 ) = (a b,a c). 48. Seja f : R 3 R 3 uma aplicação linear tal que f (1,0,1) = (2,2,2), f ( 1,1,1) = (3, 1,0) e f (0,1,3) = ( 1,3,2). Determine: (a) f (0,2,6) e f (2,2,2) (b) f (x,y,z), (x,y,z) R 3 (c) N( f ) e Im( f ). 49. Dê exemplo de uma aplicação linear f : R 4 R 4 tal que N( f ) = Im( f ). 50. Considere uma aplicação linear f : R 4 R 6 tal que N( f ) = (1,2,3, 1),( 2, 4, 6,2). Determine a dimensão de Im( f ). 51. Existirá uma aplicação linear f : R 6 R 4 tal que N( f ) = (1,2,3,4,5,6)? 52. Considere o seguinte subespaço vectorial de R 3 : V = { (x,y,z) R 3 2x y = z + x } e a aplicação linear: g : V V (x,y,z) (3z + x,x y z,4z + y). (a) Mostre que b = ( (1,1,0),(1,0,1) ) é uma base de V.

13 Elementos de Matemática II (b) Calcule g(3, 4, 1). (c) Determine a matriz de g relativamente à base b. (d) Indique, justificando, a dimensão da imagem de g. 53. Seja f um endomorfismo de R 3 e suponha que f (1,1, 1) = f (1, 1,1) = ( 1,1,1) e f ( 1,1,1) = (1,1, 1). (a) Porque é que estas condições são suficientes para definir f? Calcule f (1,2,3). (b) Determine uma base para o núcleo de f f. 54. Considere as seguintes bases de R 3 : B 1 = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) e B 2 = ((1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)). Considere também o endomorfismo f de R 3 definido por f (x,y,z) = (2x + y,y + z,z x). Determine: (a) M( f ;B 1,B 1 ); (b) a matriz de mudança de base B 1 para B 2 ; (c) M( f ;B 2,B 2 ); (d) M( f ;B 1,B 2 ); (e) M( f ;B 2,B 1 ). 55. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas. (a) Se f : E F é uma função definida entre dois espaços vectoriais então a imagem de um subespaço de E é subespaço de F. (b) Existe um endomorfismo f de R 3 tal que N( f ) = {(0,0,0),(1,1,1)}. (c) Existe uma aplicação linear f : R 2 R tal que f (1,1) = 2, f (1, 1) = 3 e f (4,0) = 9. (d) Existe uma aplicação linear f : R 2 R tal que f (1,1) = 2, f (1, 1) = 3 e f (4,0) = 10. (e) Existe um endomorfismo de R 5 cuja imagem está contida no núcleo. (f) Existe um endomorfismo injectivo de R 5 cuja imagem está contida no núcleo. (g) Existe um endomorfismo f de R 5 tal que N( f ) = Im( f ). (h) Se f é um endomorfismo injectivo de um espaço vectorial V de dimensão n então f é sobrejectivo. ( ) Determine os valores próprios e os vectores próprios da matriz M =, indicando 1 2 qual é o seu polinómio característico.

14 Elementos de Matemática II Seja C = a matriz que representa uma transformação linear F : R 3 R 3, estando fixada a base canónica de R 3. Encontre, se existir, uma base de R 3 para a qual a matriz que representa F seja uma matriz diagonal Determine os valores próprios da matriz A = 1 2 1, assim como os vectores próprios associados. 59. Determine os valores próprios, os vectores próprios associados e os subespaços próprios de cada uma das seguintes aplicações lineares: (a) G : R 4 R 4 definida por G(x,y,z,t) = (x + y,x y,2z,z +t); (b) f : R 2 [X] R 2 [X], f (a + bx + cx 2 ) = (a b) + 4cX bx 2.