Questões. Lista de Tarefas: Matrizes, determinantes e sistemas lineares Professora: Graciela Moro. a + 2b 2a b. 1. Dadas as matrizes A =

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1 Lista de Tarefas: Matrizes, determinantes e sistemas lineares Professora: Graciela Moro Questões [ a + b a b. Dadas as matrizes A = e B = c + d c d [ 9, determine a, b, c e d para que A = B. 7. Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques)e os envia para armazenamento em dois depósitos. O 75 número de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado pela matriz A = 5 (em que 5 cada entrada da matriz é o número de unidades enviadas do produto para o depósito, e os produtos são colocados em ordem alfabética. O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é:$, 5 por banheira, $, por pia, $, por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são $, 75, $, 5 e $,. Organize esses custos em uma matrz B e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa - por caminhão e por trem - de seus produtos para cada um dos depósitos. [ x 3. Seja A =.Determine o valor de x para que A seja uma matriz simétrica. x. Mostre que se A é simétrica, então B T AB é simétrica (B quadrada de mesma ordem que A). [ x + x 5. Sejam A = e B = y y matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz anti-simétrica. y x z + 3 z Pergunta-se: BA é anti-simétrica? BA é inversível? Justique. 6. Mostre que a matriz M = cos θ sin θ sin θ cos θ é uma matriz ortogonal. 7. Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem. (a) P Q é uma matriz ortogonal? P T é uma matriz ortogonal? Justique sua resposta. (b) Quais os valores que det Q pode ter? 8. Dada uma matriz A de ordem m n mostre que a matriz AA T é uma matriz simétrica de ordem m m. A matriz A T A é simétrica? Qual sua ordem? 9. Mostre que a matriz A = 3 é idempotente, isto é, A = A. 3. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condição que devemos ter para que (A + B) = A + AB + B?. Calcule o determinante de A onde (a) A = 3 5 3, (b) A = π (c) A =

2 . Seja A = (a) det(3a) (b) det(a ) a b c d e f g h i. Supondo que det(a) = 7, obtenha: (c) det(a ) (d) det(a) (e) det a 3g b 3h c 3i d e f g h i, 3. Sabendo que as matrizes A, B e C são matrizes quadradas e que det A = 3, det B = e det C =, determine det X sabendo que A T (B X) = C A.. Encontre A, onde (a) A = 3 3 7, (b) A = x x x 5. Encontre os valores de k para os quais a matriz é não inversível. A = k k k Em cada item, use a informação dada para encontra a matriz A: [ (a) A = 3 5 [ 3 (b) (5A T ) = 5 7. Seja A = [, calcule: A 3, A 3 e A A + I. 8. Resolva a seguinte equação matricial em X: (A X) = A(B A). [ 3 7 (c) (7A) = [ (d) (I + A) = 5 9. Seja A invertível. Mostre que se AB = AC, então B = C. Dê um exemplo de uma matriz não-nula A tal que AB = AC, mas A C.. Sejam A e C matrizes n n tais que det(i + C A) = 3 e det A = 5. Sabendo-se que B = 3(A + C ) T, determine det B.. Em cada parte, encontre o maior valor possível para o posto de A e o menor valor possível para a nulidade de A: (a) A é (b) A é 3 5 (c) A é 5 3. Existe alguma matriz "inversível"x tal que X =? Justique sua resposta. 3. Verique como o posto de A varia com relação a t. (a) A = t t t (b) A =. Existem valores de r e s para os quais o posto de A = encontre estes valores. r s r + 3 t t seja igual a um ou dois? Se existirem,

3 3 5. Sejam A e B matrizes n n e M uma matriz inversível tais que A = M BM. Mostre que det( A T ) = ( ) n det B e det(a I) = det(b I). 6. Sejam D = e P = 7. Considere A = P DP. Obtenha o valor de det(a + A) Seja M uma matriz inversível de ordem n n tal que det(m M) =. (a) Mostre que a matriz M I é não-inversível. (b) Existe uma matriz X inversível de ordem n n tal que MX = X? 8. Verique se as armações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo. (a) Se uma matriz quadrada A for ortogonal então det A = ±. (b) det(i + A) = + det A (c) Se A é uma matriz simétrica então A + A T também é simétrica. (d) Se A e B são inversíveis então A + B também é. (e) Se A é uma matriz quadrada simétrica e B é uma matriz ortogonal então a matriz A + B nunca será simétrica. (f) Se A é uma matriz anti-simétrica de ordem 3, então det A = (g) Se A é não-inversível e AB = então B = (h) Se A é anti-simétrica inversível, então A é anti-simétrica. (i) Seja A uma matriz quadrada, então tr(a + B) = tr(a) + tr(b). (j) Se A, B e C são matrizes n n inversíveis, então (ABC) = C B A. 3 5 (k) Se A = 3 3 e D = 3 satisfazem a relação A BA = D então det B = Resolva o sistema de equações, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e escrevendo o sistema nal do qual se obterá a solução do sistema original: x y + 3z = x 3y + z = x + y + z = 6 3x + y + z = x + y + 3z = 3. Considere o sitema linear x + y + z = 3 x + 3y + az = b (a) tem uma innidade de soluções? (b) tem única solução? (c) é impossível? a b 3. Seja a a a (a) única solução,... b (b) nenhuma solução, (c) uma solução com duas variáveis livres?. Para que valores de a e b o sistema a matriz ampliada de um sistema linear. Para quais valores de a e b o sistema tem

4 3. Encontre a relação entre a, b e c para que o sistema linear de a, b e c. x + y 3z = a x + 3y + 3z = b 5x + 9y 6z = c seja possível para quaisquer valores 33. Reduza as matrizes à forma escada através de operações linhas: (a) (b) Determine k para que o sistema admita solução x + 3y = 5x y = x y = k 35. Encontre todas as soluções do sistema x + 3x + x 3 + 3x 7x 5 = x + 6x + x 3 x + 5x 5 = x + 3x x 3 + x 5 = 36. Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema não-homogêneo de 6 equações lineares com incógnitas. 37. Se A é uma matriz 3 5, quais são os possíveis valores da nulidade de A? E se A for? 38. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa. 39. Um sistema homogêneo com 3 equações e incógnitas sempre tem uma solução não-trivial.. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos independentes são todos nulos. (a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela? (b) Encontre os valores de k R, tais que o sistema homogêneo x 5y + z = x + y + z = x + kz = tenha uma solução distinta da solução trivial.. Se det A =, então o sistema homogêneo AX = tem innitas soluções? Justique sua resposta.. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma: AX = B A AX = A B X = A B Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coecientes. Usando a teoria acima resolva os sistema AX = B onde A = 5 e a) B = 3 b) B = 3 c) d) 3 5

5 5 3. Resolva o sistema matricial D X = A onde D = diag(,, 3,, 5, 6) A =. Classique o sistema e exiba uma solução, caso ela exista: x + y + 6z = 6 3x y z = 38 x + y + 3z = 3 x y + z = 5. Considere o sistema x + 8y + 5z = k. Determine (se possível): x y + kz = (a) Os valores de k R que faz com que o sistema admita innitas soluções. (b) Os valores de k R que faz com que o sistema admita única solução. (c) Os valores de k R que faz com que o sistema seja impossível. 6. Uma editora publica um best-seller potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encardenação de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo: Costura Cola Capa mole min min Capa Dura min min Luxo 3 min 5 min Se o local onde são feitas as costuras ca disponível 6 horas por dia e o local onde se cola, horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados? 7. Num grande acampamento militar há 5 blindados dos tipos BM3, BM e BM5, isto é, equipados com 3, e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões disponíveis é igual a 53. A soma dos BM com os BM5 corresponde aos / 3 dos BM3. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega projéteis, quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM no início da operação? 8. a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema AX = B é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justique sua resposta. (a) (b) (c) (d) Tamanho de A Posto de A 3 Posto de [A B 3 3 b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo AX =, é possível. Indique a quantidade de soluções para cada caso. 9. Uma caixa contém 3 garrafas de água de três tamanhos diferentes -, 5 litros,, 75 litros e, 5 litros - num total de 3, 5 litros de água. Quantas garrafas de cada tipo existem na caixa? 5. Pretende-se construir um modelo matemático que analise a rede de tráfego representada na gura. A unidade de medida é "veículos por hora". O tráfego ui ao longo das vias, no sentido assinalado, e sendo válida a lei de que o número de viaturas que entra num cruzamento é igual ao número de viaturas que sai. (a) Represente a situação por meio de um sistema de equações lineares e resolva-o. (b) Apresente duas maneiras distintas segundo as quais o tráfego pode uir. (c) Qual o menor número de carros que pode passar por AB? 5. Para cada circuito apresentado, determine as intensidades das correntes elétricas, recorrendo à resolução dos sistemas de equações lineares traduzidas pelas leis de Kirchho. Interprete a solução no contexto de cada problema.

6 6.png Soluções. a =, b =, c = 3, d = [, 5. B =.O caminho mais econômico é por trem, R$8, 3, 75, 5 3. x = 8. A T A é simétrica de ordem n n.. a) b) c). a) 89 b) 7 c) 8 7 d) 56 e) a) A = b) A = x x x (x ) x (x ) x x

7 7 5. k = ou k = 6. a) A = 7. A 3 = [ [ , A 3 = [ b) A = [ c) A =, A A + = [ [ [ d) A = X = AB. det B = 3n 5. a) posto(a) =, nulidade(a) = b) posto(a) = 3, nulidade(a) = c) posto(a) = 3, nulidade(a) = 3. a) posto(a) = se t =, 3 b) posto(a) = 3 se t, 3. O posto é se r = e s = ; o posto nunca é. 6. det(a + A) = 8. a) V, b) F, c) F, d) V, e)f, f) F, g)v, h) F, i) V, j) V, k) V, l) V, m) V, n) V, o) F, p) F, q) V, r) V, s) V. 9. x =, y =, z = 5 3. a) a = 5, b = b) a 5, b c) a = 5, b 3. a) a, b b) a =, b c) a =, b = 3. a, b, c devem satisfazer a equação: c b 3a = a) 3. k = X = x x x 3 x x 5 b) 3x x 5 3 = x + x x 5 = 3 + x + x 5 3 x Se p a = p c = o sistema tem única solução. Se p a = p c < o sistema tem innitas soluções. Se p a p c o sistema é impossível.. a) Solução trivial. b) k = 85. a) b) X = [ x y [ = + z = z c) [ z [ 3 8 d) a) k = 3 ou k = b)não existe k para que a solução seja única pois para haver solução o posto máximo é. c) k 3 e k. 6. Uma solução possível é: 8 livros de capa mole, nenhum de capa dura e 6 de luxo. Mas esta não a única solução. Você consegue exibir outras? 7. Serão necessários 9 projéteis.

8 8 8. a) i)impossível ii) Innitas soluções e uma variável livre iii) Innitas soluções e variáveis livres iv) Única solução b) Um sistema homogêneo sempre tem solução. i) uma variável livre ii) uma variável livre iii) variáveis livres iv) nenhuma variável livre 5 + 3G 9. Conjunto solução: S = 8 G ; G R. G é o número de garrafas grandes. G Solução do problema: G tem que ser um número natural. Percorrendo G =,,..., encontra-se, para G = 6, a 3 solução. 6 3 x 5. a) S = 5 + x 5 x ; x R x b)no contexto do problema, x tem que ser um número natural. Por exemplo, fazer x = e x = 75 c) x = 5 5. a)i = 8 9 amps, I = 67 9 amps e I 3 = 9 amps b)i = 3 amps, I = amps e I 3 = 8 amps