Medida de Tendência Central

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Neuza Avelar Alencastre
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1 Medida de Tendência Central um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados 1

2 Definições Média (Média Aritmética) o número obtido somando-se todos os valores de um conjunto de dados, dividindo-se pelo total de elementos deste conjunto de dados. 2

3 Notação Σ x n N denota somatório de um conjunto de valores. é a variável usada para representar valores individuais dos dados representa o número de valores em uma amostra representa o número de todos os valores de uma população. 3

4 Notação x pronuncia-se x-barra e denota a média de um conjunto de valores amostrais x = Σ x n µ (minúscula grega mu ) e denota a média de todos os valores de uma população µ = Σ x N Calculadoras fornecem a média dos dados 4

grega mu ) e denota a média de todos os valores de uma

5 Mediana Definições valor do meio de um conjunto de valores, quando estes estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente). geralmente denotada por x (lê-se x-til ) não é afetada por valores extremos ~ 5

6 6,72 3,46 3,60 6,44 3,46 3,60 6,44 6,72 (número par de valores) não há um meio exato -- média de dois valores MEDIANA é 5,02 6,72 3,46 3,60 6,44 26,70 3,46 3,60 6,44 6,72 26,70 (número ímpar de valores) há um meio exato MEDIANA é 6,44 6

7 Definições Moda o valor que ocorre mais freqüentemente Bimodal Multimodal Amodal denotada por M É a única medida de tendência central que pode ser usada com dados nominais 7

8 Exemplos a b c Moda é 5 Bimodal - 2 e 6 Amodal 8

9 Definições Ponto médio o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Ponto médio= maior valor + menor valor 2 9

10 édia de uma Tabela de Freqüências usar pontos médios das classes da variável x Σ (f x) x = Formula 2-2 Σ f x = ponto médio da classe f = freqüência Σ f = n 10

11 Média Ponderada x = Σ (w x) Σ w 11

12 Melhor Medida de Tendência Central Vantagens - Desvantagens Tabela

13 Simétrica Definições Dados são simétricos se a metade esquerda de seu histograma é aproximadamente a imagem-espelho da metade direita. Assimétrica Uma distribuição de dados é assimétrica quando não é simétrica. 13

14 Assimetria Moda = Média = Mediana SIMÉTRICA Média Mediana Moda ASSIMÉTRICA À DIREITA (negativamente) Moda Média Mediana ASSIMÉTRICA À ESQUERDA (positivamente) 14

15 Tempo de Espera de Clientes em Diferentes Bancos em minutos Banco A 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Banco B 4,2 5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 15

16 Tempo de Espera de Clientes em Diferentes Bancos em minutos Banco A 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Banco B 4,2 5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 Média Mediana Moda Ponto médio Banco A Banco B 7,15 7,20 7,7 7,10 16

5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 Média Mediana Moda

17 Dotplots of Waiting Times Figura 2-1a 17

18 Medidas de Variação 18

19 Medidas de Variação Amplitude maior valor menor valor 19

20 Medidas de Variação Desvio-padrão uma medida de variação dos valores em relação à média (desvio médio em relação à média) 20

21 Fórmula do Desvio-padrão Amostral S = Σ (x - x) 2 n - 1 Fórmula 2-4 Calculadoras fornecem o desviopadrão amostral 21

22 Desvio-padrão Amostral Fórmula Abreviada s = n (Σx 2 ) - (Σx) 2 n (n - 1) Fórmula 2-5 Calculadoras fornecem o desviopadrão amostral 22

23 Fórmula do Desvio Absoluto Médio Σ x - x n 23

24 Desvio-padrão Populacional σ = 2 Σ (x - µ) N Calculadoras fornecem o desviopadrão amostral 24

25 Medidas de Variação Variância Desvio-padrão ao quadrado Notação } s σ

26 Variância Σ (x - x ) 2 s 2 = Variância amostral n - 1 σ 2 = Σ (x - µ) 2 N Variância populacional 26

27 Desvio-padrão de uma Tabela de Freqüências Fórmula 2-6 S = n [Σ(f x 2 )] -[Σ(f x)] 2 n (n - 1) Usar os pontos médios de classe como os valores x 27

28 Regra Prática (desvio-padrão em termos de amplitude x - 2s x x + 2s (mínimo valor) Amplitude 4s (máximo valor) s Amplitude 4 = maior valor - menor valor 4 28

29 Valores Amostrais Usuais valor mínimo usual (média) - 2 (desvio-padrão) mínimo x - 2(s) valor máximo usual (média) + 2 (desvio-padrão) máximo x + 2(s) 29

30 FIGURA 2-15 Regra Empírica (aplicada a distribuições em forma de sino) 99.7% dos dados estão dentro de 3 desvios-padrão a contar da média 95% estão dentro de 2 desvios-padrão 68% estão dentro de 1 desvio-padrão 34% 34% 2.4% 2.4% 0.1% 0.1% 13.5% 13.5% x - 3s x - 2s x - s x x + s x + 2s x + 3s 30

31 Teorema de Chebyshev aplica-se a distribuições com qualquer forma. a proporção (ou fração) de qualquer conjunto de dados a menos de K desvios-padrão a contar da média é sempre pelo menos 1-1/K 2, onde K é um número positivo maior do que 1. pelo menos 3/4 (75%) de todos os valores estão no intervalo que vai de 2 desvios-padrão abaixo da média a 2 desvios-padrão acima da média. pelo menos 8/9 (89%) de todos os valores estão no intervalo que vai de 3 desvios-padrão abaixo da média até 3 desvios-padrão acima da média. 31

32 Medidas de Variação Dado Isolado Para um conjunto de valores típico, é raro um valor do mesmo diferir da média mais de 2 ou 3 desvios-padrão. 32

33 Medidas de Posição 1

34 Medidas de Posição Escores z (ou escore padronizado) é o número de desvios-padrão pelo qual um dado valor x dista da média (para mais ou para menos) 2

35 Medidas de Posição escore z Amostra População z = x - x s z = x - µ σ Arredondar para 2 casas decimais 3

36 FIGURA 2-16 Interpretando Escores Z Valores Incomuns Valores Usuais Valores Incomuns Z 4

37 Medidas de Posição Quartis, Decis, Percentis 5

38 Quartis Q 1, Q 2, Q 3 dividem as observações ordenadas em quatro partes iguais 25% 25% 25% 25% (mínimo) Q 1 Q 2 Q 3 (máximo) (mediana) 6

39 Decis D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 dividem os dados ordenados em dez partes iguais 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 7

40 Percentis P 1, P 2, P 3, P 4,..., P 98, D 99 dividem os dados ordenados em cem partes iguais 8

41 Quartis, Decis, Percentis Fractis (Quantis) dividem os dados em partes aproximadamente iguais 9

42 Determinação do Percentil de um dado valor de x Percentil do valor x = 100 número de valores inferiores a x Número total de valores 10

43 Determinação do valor referente a um dado percentil L = n k 100 n k L P k total de valores no conjunto de dados percentil a ser utilizado indicador que dá a posição de um escore k-ésimo percentil 11

44 Início Ordenar os dados. (do menor para o maior.) Determinação do k mo Percentil Calcular L = ( k ) n 100 onde n = número de valores k = percentil desejado L é um número inteiro? Não Modificar L, arredondando seu valor para o maior inteiro mais próximo. O valor de P k é o L mo valor a contar do mais baixo. Sim O valor do k mo percentil está a meio caminho entre o L mo valor e o próximo valor mais alto no conjunto original de dados. Obtém-se P k somando-se o L mo valor ao próximo valor mais alto e dividindo-se o resultado por 2. Figura

45 Quartis Decis Q 1 = P 25 D 1 = P 10 D 2 = P 20 Q 2 = P 50 D 3 = P 30 Q 3 = P 75 D 9 = P 90 13

46 Intervalo Interquartil: Q 3 -Q 1 Intervalo Semi-interquartil: Quartil Médio: Q + Q Q 3 -Q 1 2 Amplitude de percentis 10-90: P 90 - P 10 14

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