A vida sem reflexão não merece ser vivida Sócrates Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE

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1 Notas de aula 07 1 A vida sem reflexão não merece ser vivida Sócrates Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 1. Medidas de Forma: Assimetria e Curtose. A medida de assimetria indica o grau de distorção da distribuição em relação a uma distribuição simétrica. As distribuições podem ser: simétrica, assimétrica positiva ou assimétrica negativa. 1.1 Distribuição de Freqüência Simétrica: Uma distribuição é dita simétrica se existe um eixo de simetria no gráfico gerado pela tabela de freqüência. Esse eixo divide o gráfico em duas partes iguais, de modo que, se rebatermos uma na outra, elas se sobrepõem completamente. Como mostra as figuras abaixo. Sempre que os dados tiverem média, mediana e moda iguais, a distribuição será simétrica. 1. Distribuição de Freqüência Assimétrica. x=md=mo Se a distribuição não for simétrica, podemos ter dois casos de assimetria: assimetria positiva e assimetria negativa. A assimetria será negativa se a cauda da distribuição estiver do lado esquerdo do gráfico, como mostra a figura seguinte (a), e será positiva se a cauda da distribuição estiver do lado direito do gráfico, (b). A assimetria geralmente ocorre devido à extensão de uma das caudas da distribuição. Uma vez que os valores da cauda afetam muito a média, mas não a mediana e a moda, a média sempre acompanha o lado da cauda da distribuição.

2 Nas figuras abaixo, podemos verificar que a distância da média em relação à moda e a mediana será maior, quanto maior for a extensão da cauda da distribuição e, conseqüentemente, maior será a assimetria da distribuição. Sendo a distribuição simétrica, a média e a moda coincidem; sendo a distribuição assimétrica à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; e sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda. Baseando-se nessas relações entre média e a moda, podemos empregá-las para determinar o tipo de assimetria. Assim, calculando o valor da diferença: se: x Mo x - Mo = 0 assimetria nula ou distribuição simétrica x - Mo < 0 assimetria negativa ou à esquerda x - Mo > 0 assimetria positiva ou à direita 1.3 Coeficiente de Assimetria. A mediada de assimetria de uma distribuição pode ser realizada pelo coeficiente de assimetria de Pearson, dado por: As = 3( x Md) s Dependendo do valor de As, podemos classificar a distribuição em: Simétrica, se As < 0,15 Assimétrica moderada, se 0,15 As <1,0 Assimétrica forte, se As 1,0

3 Exemplo. Distribuição A 3 Pesos (kg) f i x = Md = Mo = s = Distribuição B Pesos (kg) f i x = Md = Mo = s = Distribuição C Pesos (kg) f i x = Md = Mo = s = Logo: A: - = B: - = a distribuição é a distribuição é C: - = a distribuição é

4 Considerando os gráficos das distribuições anteriores, temos: Medidas de Achatamento ou Curtose. A medida de curtose nos indica a forma da curva de distribuição em relação ao seu achatamento. A forma da curva de distribuição em relação à curtose pode ser leptocúrtica, mesocúrtica ou platicúrtica. Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais fechada que a normal (ou mais aguda em sua parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta que a normal (ou mais achatada na sua parte superior), ela é chamada de platicúrtica. A curva normal que é a referencial, recebe o nome de mesocúrtica Coeficiente de Curtose: A curtose pode ser medida pela seguinte expressão: c= Q3 Q 1 ( P P ) Essa fórmula é conhecida como coeficiente percentílico de curtose. Relativamente a curva normal, temos; c = 0,63 Assim: C = 0,63 curva mesocúrtica C < 0,63 curva leptocúrtica C > 0,63 curva platicúrtica

5 Exemplo. 5 Sabendo-se que uma distribuição apresenta as seguintes medidas: Q 1 = 4,4 cm, Q 3 = 41, cm, P 10 =0, cm e P 90 =49,4 cm, temos: C 41, 4, 4 16,8 = = = 0,866 C ( 49,5 0, ) 58,5 = 0,87 Como: 0,87>0,63, concluímos que a distribuição é platicúrtica, em relação a normal. Exercícios. 1) Uma escola faz uma pesquisa sobre o tempo, em horas, que os estudantes dedicam ao estudo durante o dia, fora da aula. Com uma amostra aleatória de 60 estudantes, obtiveram-se os dados da tabela de freqüência a seguir. Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão e classifique a assimetria da distribuição de freqüência obtida. Horas de Estudo 0,5 1,5 1,5,5,5 3,5 3,5 5,5 5,5 8,5 N o de alunos f i Ponto médio x i f i xi f i x i = = = Resposta. Média =, Mediana = 1,8 Moda = 1,0 Desvio Padrão = 1,4 Assimetria =0,86 Classificação: distribuição assimétrica positiva moderada. ) Uma maternidade está analisando a idade das mulheres que tiveram o seu primeiro filho. Os dados obtidos são: Considerando os dados como amostrais, calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão desses dados. Classifique os dados em relação à assimetria. Resposta. Média = 3,9 Mediana = 3 Moda = 3, Desvio Padrão = 6 distribuição é assimétrica positiva moderada. 3) O gasto mensal de energia elétrica de cada apartamento de um prédio está tabelado a seguir: Gasto Mensal N o de aptos. x i f i x i f i x i 5,00 10,00 10,00 15,00 15,00 0,00 0,00 30,00 30,00 40,00 40,00 60,00 60,00 90,00 90,00 10,00 10,00 150, = = =

6 6 a) Calcule a média, a moda, a mediana, o desvio padrão e a assimetria dos dados. Resposta. Média = 35,775 Moda = 5 Mediana = 7,31 Desvio Padrão = 6,55 e a distribuição é assimétrica Moderada Positiva. 4) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de freqüências e determine o tipo de assimetria de cada uma delas. Distribuições x Mo A B C Resposta. A = 5 5 = 0, logo, distribuição simétrica B = = - 5, logo, assimetria negativa C = =, logo, assimetria positiva 5) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: x = 48,1, Md = 47,5 e s =, 1. Calcule o coeficiente de assimetria. Resposta = 0,85 6) Observou-se o número dos 100 sapatos vendidos em uma loja de calçados. Os resultados obtidos estão em forma de tabela, a seguir: Número de sapato f i x i f i x i f i x i = = Calcule a média, a moda, a mediana, o desvio padrão e classifique a assimetria e a curtose desses dados. Resposta. Média = 36,10 Mediana = 35,9 Moda = 35,5 Desvio Padrão = 4, Assimetria = 0,143 Curtose = 0,3. A distribuição é simétrica e a curva é leptocúrtica. (Q 1 = 33,5 Q 3 = 38,8 P 10 = 30,7 P 90 = 4,1).

7 7 7) Um hospital observou o tempo, em minutos, que 100 pacientes tiveram que esperar até serem atendidos por um médico. Os dados obtidos estão na tabela a seguir. Tempo de espera N o de pacientes x i f i x i f i x i = 139,5 = 943,75 Calcule a média, a moda, a mediana, o desvio padrão e classifique a assimetria e a curtose desses dados. Resposta. Média 13,9 Mediana = 1 Desvio Padrão = 9,98 Assimétrica Moderada Positiva 0,57 Curtose 0,1 curva é leptocúrtica. (Q 1 = 7,4 Q 3 = 17, P 10 = 3,8 P 90 = 6,7). 8) Considere as seguintes medidas, relativas a três distribuições de freqüência: Distribuições Q 1 Q 3 P 10 P 90 A B C ,7 8, ,3 45, ,0 0, ,6 49,8 a) Calcule os respectivos graus de curtose Distribuição A: Resposta c = 0,5 Distribuição B: Resposta c = 0,63 Distribuição C: Resposta c = 0,87 b) Classifique cada uma das distribuições em relação à curva normal. Resposta. A: curva leptocúrtica B: curva mesocúrtica C: curva platicúrtica 9) Determine o grau de curtose e classifique a distribuição em relação à curva normal: Pesos (kg) N o de operários (Q 1 = 66 Q 3 = 8,5 P 10 = 58 P 90 = 90 c = 0,58 a curva é leptocúrtica).