Vamos estudar o conceito de variabilidade absoluta considerando o conjunto de notas obtidas por cinco alunos:

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1 Medidas de Disperção Itrodução: - Observamos ateriormete que as medidas de tedêcia cetral são usadas para resumir, em um úico úmero, aquele parâmetro que será o represetate do cojuto de dados. Estas medidas (média, moda, mediaa) quado aalisadas sozihas ão os dão uma visão global do cojuto de dados. Isto sigifica que a variabilidade, caso exista, etre os elemetos que compõe o cojuto de dados ão foi verificada, lembrado que esta variabilidade pode ser absoluta ou relativa. Vamos estudar o coceito de variabilidade absoluta cosiderado o cojuto de otas obtidas por cico aluos: A 7, 7, 7, 7, 7 B 5, 6, 7, 8, 9 C 4, 5, 7, 9, 10 D 0, 5, 10, 10, 10 E 4, 7, 7, 7, 10 > calculado a média aritmética destes 5 aluos obteve-se o mesmo resultado X 7. apesar das otas de cada aluo serem costituídas de valores diferetes, a média foi igual para todos. As medidas estatísticas resposáveis pela aálise da variação ou dispersão de um cojuto de dados são chamados de medidas de dispersão ou variabilidade. Pricipais Medidas de Dispersão: Amplitude Total: - AT XMAX XMIN ( defiida como sedo a difereça etre os valores extremos do cojuto de dados.). a vatagem da amplitude total é o seu cálculo rápido e fácil. A amplitude total é pouco utilizada como medida de variabilidade, pois, embora teha uma metodologia de cálculo fácil, uma simples alteração dos dois elemetos utilizados para o cálculo, provoca sigificativas mudaças o resultado da amplitude. Ex: Calcular a amplitude total das otas dos cico aluos (dados acima). Solução: Basta ecotrarmos as difereças etre o maior e o meor valor de cada grupo de otas: 38

2 AT (A) AT (B) AT (C) AT (A) AT (A) Coforme os resultados apresetados, a maior amplitude foi do aluo D, A ão teve variação, C e E possuem a mesma amplitude. Desvio Médio: - Chama-se discrepâcia, resíduo, afastameto ou desvio de uma variável X em relação à sua média, a difereça: d X - X com esta fórmula podemos achar desvios positivos e egativos coforme os valores dados sejam meores, iguais ou maiores, respectivamete, que o valor da média aritmética. Em razão deste fato, podemos mecioar as seguites propriedades: 1) A soma dos desvios, de um cojuto de dados, calculados em relação à sua média aritmética é ula; ) Esta propriedade implica que se calcularmos o desvio médio em relação a um outro termo qualquer da série, diferete da média aritmética, a soma desses desvios será diferete de zero. 3) A soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética é um míimo; esta última propriedade é de muita utilidade o estudo do cálculo da variâcia e do desvio padrão. Desvio Médio para dados isolados: - Desvio Médio de uma série com termos é a média aritmética dos desvios absolutos tomados em relação à sua média aritmética. Aplicado-se a seguite fórmula: Xi X Dm > ou > Dm d Ode: d X - X OBS: o Desvio Médio utiliza a fução módulo ( ) como forma de trasformar as difereças egativas obtidas em valores positivos. 39

3 Exemplo: Cosiderado as otas dos aluos C e E, observamos que a amplitude total dos dois grupos é a mesma. Ache o desvio médio destes aluos e verifique se a variabilidade é igual. Solução: Iicialmete devemos costruir uma tabela e colocar os valores observados para os dois grupos, e em seguida calculamos os desvios e depois somamos o módulo destes desvios: X (otas) d X - X d X (otas) d X - X d Total Fote: Elaboração própria, 004 Tabela 19 - Notas obtidas pelos aluos C e E Aluo C Aluo E Assim, aplicado-se a fórmula, temos: Aluo C: Aluo E: d 10 d 6 Dm > Dm Dm > Dm 1, 5 5 Coclusão: O cojuto de otas C apresetou um desvio médio maior que o aluo E. Coclui-se que as otas do aluo C são mais dispersas (meos homogêeo) do que a do aluo E. Desvio Médio para dados agrupados uma tabela: - Quado os dados estiverem agrupados em uma distribuição de freqüêcias, acha-se o desvio médio através da seguite fórmula: Dm Pm X fi i 1 i 1 ou i 1 fi d fi i 1 fi Ode: d Pm X (poto médio meos a média aritmética) e 40

4 fi freqüêcia absoluta Exemplo: Calcular o desvio médio da distribuição de freqüêcias, coforme tabela 0: Tabela 0 - Quociete de Iteligêcia (Q.I.) de 50 pessoas Classes de Q.I. fi Pm Pm.fi Pm - X. f i Total Fote: Elaboração própria, 004 Solução: Ates de aplicar a fórmula do Dm, deve-se em primeiro lugar ecotrar os potos médios, uma vez que a distribuição de freqüêcias é composta de apeas as duas primeiras coluas. Em seguida, deve-se calcular a média aritmética, criado-se a quarta colua da tabela. A média ecotrada será: X fi Pm X fi ,4 50 A qual será arredodada para X 11. Deste modo costrói-se a quita colua. Aplicado-se a fórmula: Dm Pm X fi fi i 1 i 1 1,5 Variâcia e Desvio Padrão Itrodução: - Lembrado que o desvio médio utiliza a fução de módulo como forma de trasformar as difereças egativas obtidas em valores positivos. O cálculo da 41

5 variâcia utiliza também essas difereças e para torá-las positivas os resultados são elevados ao quadrado. A variâcia é a mais importate medida de variabilidade. É represetada pela letra grega sigma miúscula ao quadrado σ² para referir-se a toda população e S², para referir-se a amostras. O cálculo pode ser efetuado tato para dados isolados como para dados agrupados.uma medida de disperção derivada da variâcia é o desvio padrão. Para calcularmos o desvio padrão basta ecotrar a raiz quadrada da variâcia, ou seja: σ σ² ou S S² Cálculo da Variâcia para dados isolados: - A variâcia de uma série estatística de N elemetos pode ser defiida como sedo a média quadrática dos desvios calculados em relação à média aritmética da série. As fórmulas para dados isolados são as seguites: População > ( Xi X ) σ ou σ d Amostra > Ode: d Xi X ( ) Xi X d S ou S 1 1 Exemplo: Calcular a variâcia das otas obtidas pelos aluos C e D a partir dos dados da tabela 1. 4

6 Tabela 1 - Notas obtidas pelos aluos C e E Aluo C Aluo E X (otas) d X - X d² X (otas) d X - X d² Total Fote: Elaboração própria, 004 Solução: Para calcularmos o desvio padrão dos aluos C e E, usado a fórmula, precisamos achar d², assim os desvios ecotrados foram: Aluo C: Aluo E: ( ) 6 6 Xi X d S ou S 6, ( ) Xi X d S ou S , Podemos observar que a variâcia do aluo E é meor do que a do aluo C. Coclui-se que as otas do aluo E são mais homogêeas (meos dispersas) do que as do aluo C. O desvio padrão dos dois aluos será: S( C) 6,5,6 S ( E) 4,5,1 Novamete o desvio padrão do aluo E possui otas mais homogêeas, mais cocetradas em toro da média. OBS: Para facilitar o cálculo da variâcia e do desvio padrão, vamos trabalhar somete com amostras (iclusive para distribuição de freqüêcias), portato, usaremos somete a fórmula para amostras. S²... Desvio padrão para dados agrupados uma tabela. 43

7 A fórmula para o cálculo do desvio padrão de uma amostra represetada por uma distribuição de freqüêcias é dada por: ( ) Pm X fi S 1 Exemplo: Utilizado os dados da tabela, calcular o desvio padrão: Tabela - Quociete de Iteligêcia (Q.I.) de 50 pessoas Classes de Q.I. fi Pm Pm.fi (Pm - X)². f i ( 85-11,4)² ( 36,4)² 1.34, ( 95-11,4)² ( 6,4)² 696, ( ,4)² ( 16,4)² 68, fi Pm X ( ,4)² 11,4 ( 6,4)² 40, fi ( 15-11,4)² ( - 3,6)² 1, ( ,4)² ( -13,6)² 184, ( ,4)² ( -3,6)² 556, Total Fote: Elaboração própria, 004 Solução: Para aplicar a fórmula acima, deve-se em primeiro lugar calcular a média aritmética dos dados da tabela. O passo seguite é calcular os desvios quadrado tomados em relação à média e aplicar a fórmula como segue: ( ) Pm X fi S ,61 15,08 Assim o desvio padrão desta distribuição de freqüêcias em relação à média aritmética é de 15,1 potos (arredodado). Medida de Dispersão Relativa. Até o mometo, estudamos medidas de dispersão absolutas, cujas uidades de medidas são as mesmas dos valores da série estatística. Existem situações que precisamos comparar duas gradezas, cujas uidades ao diferetes, vamos cosiderar o exemplo: Um professor de educação física obteve de um grupo de 50 estudates uma média de pesos igual a 59,8kg e desvio padrão de 7,5kg. Por outro lado a média das alturas desse 44

8 mesmo grupo foi de 170, cm com desvio padrão de 7,cm. Qual das duas distribuições é a mais homogêea? Para respoder com precisão, devemos cohecer uma medida de dispersão relativa, pois, ão há setido comparar duas gradezas absolutas com uidades diferetes. (kg e cm). Coeficiete de Variação (C.V.) é uma medida de dispersão relativa. O coeficiete de variação mede percetualmete a relação existete etre o desvio padrão e a média aritmética. E é ecotrado através da seguite expressão: ode: S C. V. 100 X C.V. Coeficiete de Variação (%) S Desvio Padrão X Média Aritmética (diferete de zero) Agora etão, podemos verificar qual das duas distribuições é a mais homogêea: Coeficiete de Variação dos pesos: S 7,5 C. Vp ,5% X 59,8 Coeficiete de Variação das alturas: S 7, C. Va ,% X 170, Percebemos que a porcetagem das alturas é meor que a porcetagem dos pesos, com isto coclui-se que a distribuição das alturas é mais homogêea do que a distribuição de pesos. 45

9 OBS: Seu uso é recomedado a aálise da dispersão de séries com uidades de medidas diferetes, e também se deve utilizar o coeficiete de variação quado as séries tiverem ordes de gradezas difereciadas. Observe o próximo exemplo: Em uma empresa, a média de salários dos homes é de R$.500,00 com desvio padrão de R$ 800,00 e a média de salários das mulheres é de R$ 1.800,00 com desvio padrão de R$ 650,00. Quais os salários mais dispersos, dos homes ou das mulheres? S 800 C. V.homes % X.500 S 650 C. V. mulheres % X Coclui-se que os salários das mulheres apresetam maior dispersão relativa do que os dos homes. Para cosiderar se a dispersão relativa é baixa, média ou alta, devemos seguir a seguite classificação: C.V. 15% caracteriza uma baixa dispersão; 15% < C.V. < 30%, caracteriza uma média dispersão; C.V. 30% caracteriza uma alta dispersão. Exercícios Propostos: Livro Estatística Básica Autor: Djalma Agra págias: 11 a 117. Medidas de Assimetria e Curtose. 46

10 Medidas de Assimetria - Itrodução: - são parâmetros que os mostra a forma de uma distribuição, depededo do grau de alogameto a curva, esta distribuição pode ser do tipo: simétrica ou assimétrica. Simétrica > Quado o comportameto dos dados são exatamete os mesmos as duas caudas em toro da medida de tedêcia cetral. Quado isto ão ocorre, existe uma relação de desigualdade etre os dados e afirmamos que a distribuição é assimétrica. Quado efetuamos os cálculos da média aritmética, da mediaa e da moda para dados agrupados em uma distribuição de freqüêcias, estas três medidas somete serão iguais quado as distribuição dos dados for Simétrica. Figura 1 Curva de uma distribuição ormal. (Padrão de Simetria) Figura - assimetria positiva Quado o alogameto a curva cocetra-se a cauda direita da distribuição, dizemos que a assimetria é positiva. Figura 3 - assimetria egativa 47

11 Quado o alogameto a curva cocetra-se a cauda esquerda da distribuição, dizemos que a assimetria é egativa. Uma medida de assimetria será desigada por As. Coeficiete de Assimetria de Pearso. Este coeficiete (ídice) foi criado baseado a observação dos dados calculados em relação à média aritmética, a moda e ao desvio padrão. A fórmula é defiida por: A s X M S o Ode: X > é a Média Aritmética; Mo > é a Moda e, S > é o Desvio-Padrão do cojuto de dados. Quado se efetua o cálculo, ecotra-se o valor das assimetrias: AS 0 (igual a zero), a distribuição é simétrica; AS > 0 (estritamete maior que zero), a distribuição é assimétrica positiva, isto é, há uma maior cocetração de dados a cauda direita da curva. AS < 0 (estritamete meor que zero), a distribuição é assimétrica egativa, isto é, há uma maior cocetração de dados a cauda esquerda da curva. Exemplo: Achar o coeficiete de assimetria dos dados da tabela 3. 48

12 Solução: Para aplicarmos a fórmula acima, para termos o coeficiete de assimetria de uma distribuição, precisamos calcular a média, a moda e o desvio padrão, deste cojuto. Tabela 3 - Quociete de Iteligêcia (Q.I.) de 50 pessoas Classes de Q.I. fi Total 50 Fote: Elaboração própria, 004 Os valores ecotrados para os dados da tabela acima, são: Média Aritmética ( X ) 11,4 Desvio Padrão ( S ) 14,9 Moda (Mo) 117,06 colocado os valores a fórmula temos: A s X M S o 11,4 117,06 4,34 0,9 14,9 14,9 Com o valor da assimetria calculado, As > 0 (estritamete maior do que zero), dizemos que a distribuição de Q.I. s da tabela 3, é assimétrica positiva, isto é, a distribuição é mais alogada (mais cocetrada) a cauda direita. Medidas de Curtose ou de Achatameto Essas medidas são as formas de caracterizar uma distribuição de dados quato ao seu grau de achatameto ou afilameto. O padrão de comparação do grau de achatameto de uma distribuição de dados é forecido pela curva ormal. 49

13 Figura 4 Curva de uma distribuição ormal Coeficiete de Curtose Depededo do seu grau de achatameto ou afilameto, as curvas podem ser do tipo: Mesocúrtica (curva ormal) Leptocúrtica (mais afiladas ou mais cocetradas em toro da média) e Platicúrtica (mais achatadas ou mais dispersas). Figura 5 Curva Leptocúrtica Figura 6 Curva Platicúrtica Para medir o ídice de curtose de uma distribuição de dados é através da fórmula abaixo, cujo coeficiete K é baseado o quociete das difereças etre quartis e percetis: Q3 Q1 K ( P90 P10) 50

14 Ode: Q1 é o primeiro quartil; Q3 é o terceiro quartil; P10 é o décimo percetil e P90 é o oagésimo percetil da distribuição de dados Quado calculamos o valor de K e ecotramos: K 0,63 > a curva correspodete à distribuição dos dados é mesocúrtica, e; K > 0,63 > a curva correspodete à distribuição dos dados é platicúrtica, e; K < 0,63 > a curva correspodete à distribuição dos dados é leptocúrtica. Ex: Achar o coeficiete de curtose da distribuição de Q.I. apresetados a tabela 3. Solução: Devemos calcular as separatrizes idicadas a fórmula, ou seja, devemos calcular: Q1, Q3, P10 e P90. i / 4 ' fac 1,5 10 Q1 Li + h ,67 111,67 fi 15 i / 4 ' fac 37,5 5 Q3 Li + h ,4 140,4 fi 1 i /100 ' fac 5 P10 Li + h fi 3 i /100 ' fac P90 Li + h fi 10 Aplicado a fórmula, obtemos: Q3 Q1 K ( P90 P10) 140,4 111,67 ( ) 8,75 0,

15 O valor obtido da curtose K > 0,63, diz-se que a curva correspodete à distribuição dos dados da tabela 3, é platicúrtica, os dados estão mais espalhados em toro da média aritmética fazedo com que a curva fique mais achatada. Exercícios Propostos: Livro Estatística Básica Autor: Djalma Agra págias: 14 a 18. 5