Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Transcrição

1 Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Disciplina Aulas: Segunda-feira e terça-feira: 8:00 até 9:50 Avaliações: listas de exercícios e três provas; Sala: 222; Livros.

3 Conteúdos Plano de Ensino Prováveis datas de provas:

4 Geometria Analítica, pra que? Além de aperfeiçoar os saberes, irão utilizar nas disciplinas: Cálculos (fases 1, 2, 3 e 4); Álgebra Linear (fase 2); Cálculo Numérico.

5 Em 1641, percebendo as poderosas ideias que havia desenvolvido resolveu o problema das três e quatro retas de Pappus. Após publicou A Geometria, que ensina detalhadamente resoluções de equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas, entre outros. História René Descartes ( ) é considerado o pilar da Geometria Analítica. Em 1619, ele descobriu a fórmula dos poliedros (geometria espacial) que usualmente leva o nome de Euler: v + f = a + 2 Em 1628, quando publicou o livro Discurso já tinha domínio sob a Geometria Analítica, apesar de aparentemente não estar preocupado com a ligação entre a geometria e a álgebra, seu objetivo era libertar a geometria da utilização de tantos diagramas e dar significado a álgebra.

6 Grandezas Escalares: são aquelas que ficam completamente definidas por um número real. Exemplos: comprimento, massa, temperatura, etc. Vetoriais: são grandezas que não ficam completamente definidas pelo módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Para caracterizá-la precisamos conhecer módulo, direção e sentido. Exemplos: força, velocidade, aceleração, etc.

7 Direção e Sentido Direção: segue figura para exemplificação da direção, Logo, as retas dão noção de direção. Em que direção fica a cidade de Vacaria?

8 Direção e Sentido Sentido: segue figura para exemplificação da direção, O deslocamento de uma pessoa nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras, de A para B e de B para A. Então, para cada direção podemos associar dois sentidos.

9 Segmento Orientado Definição: É um par ordenado (A,B) de pontos do espaço, A é a origem e B é a extremidade do segmento orientado AB. Observe que se A B, então AB é diferente de BA.

10 Exemplo Considere um avião com velocidade constante 400km/h, deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de 70 (a partir da direção norte, no sentido horário). Essa velocidade seria representada por um segmento orientado, com módulo dado pelo comprimento (4cm, para cada 1cm sendo 100km/h), e direção e sentido definidos pelo ângulo de 70. Suponha o ângulo ( ).

11 Vetor O exemplo anterior nos dá a noção de vetor. Definição de vetor: quantidade que para sua especificação completa, requer comprimento, direção e sentido. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e mesmo sentido são representantes do mesmo vetor. Seja AB um segmento orientado, o vetor v = AB é determinado por AB. O módulo (comprimento ou norma) do vetor é denotado por v ou v.

12 Vetor

13 Casos Particulares de Vetores Vetores paralelos: dois vetores v e u são paralelos, e indica-se por v // u, se tiverem a mesma direção. Na figura a seguir tem-se v // u // w. Vetores iguais: dois vetores v e u são iguais se tiverem mesmo módulo, direção e sentido, indica-se por v = u.

14 Casos Particulares de Vetores Vetores nulo: é o vetor que tem como representante um segmento orientado nulo. É indicado por 0 ou AA. Pelo fato de não possuir direção e sentido, considera-se que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Vetor oposto: para cada vetor não nulo v existe um vetor oposto - v, de mesmo comprimento e direção, porém sentido contrário. Se v = AB, o vetor oposto é v = BA. Vetor unitário: um vetor v é unitário se v =1.

15 Casos Particulares de Vetores Versores: são vetores unitários (u e -u) com a mesma direção de um vetor qualquer v.

16 Casos Particulares de Vetores Vetores ortogonais: dois vetores u e v são ortogonais se algum representante de u formar um ângulo reto com algum representante de v, indica-se por u v.

17 Casos Particulares de Vetores Vetores colineares: dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, são colineares se pertencerem a mesma reta ou retas paralelas.

18 Casos Particulares de Vetores Vetores coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se pertencem ao mesmo

19 Para pensar: 1) Dois vetores são sempre coplanares? 2) Três vetores são sempre coplanares?

20 Para pensar: 1) Dois vetores são sempre coplanares?

21 Para pensar: 2) Três vetores são sempre coplanares?

22 Exercícios

23 Exercícios

24 Operações com vetores Adição de Vetores: dados u e v, sejam AB representante de u e BC representante de v, que tem origem B. O vetor soma de u e v é dado por u + v = AC.

25 Adição de Vetores: Operações com vetores

26 Operações com vetores Propriedades Sejam u, v e w, vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: Comutativa: u + v = v + u; Associativa: (u + v)+w = u + v + w ; Elemento neutro: u + 0 = u; Elemento oposto: u + u = 0.

27 Operações com vetores Diferença: O vetor u + ( v), escreve-se u v, é chamado diferença entre u e v.

28 Exemplos:

29 Exemplos:

30 Multiplicação de número real por vetor Seja um vetor v 0, e um número real α 0, chama-se produto do número real α pelo vetor v, tais que Módulo: α v = α v Direção: α v é paralelo a v Sentido: α v e v tem mesmo sentido se α>0 e sentido contrário se α<0.

31 Multiplicação de número real por vetor

32 Versor O vetor unitário v v Exemplos: de mesmo sentido de v é o versor de v. o Se v =5, o versor de v é v 5 o Se v =1/3, o versor de v é 3 v

33 Multiplicação de número real por vetor Propriedades: seja v e u vetores, α e β números reais, a multiplicação de um escalar por um vetor admite as propriedades: (αβ) v = α(β v) (α+β) v=α v+β v α( v + u)= α v+ αu 1. v= v

34 Multiplicação de número real por vetor

35 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois vetores não-nulos v e u é o ângulo θ formado por duas semirretas OA e OB de mesma origem O, onde u = OA e v = OB e 0º θ 180º.

36 Ângulo entre dois vetores Se θ = 0, v e u tem mesma direção e sentido; Se θ = 180, v e u tem mesma direção e sentido contrário; Se θ = 90, v e u são ortogonais; O ângulo formado pelos vetores v e u é o suplemento do ângulo de v e u.

37 Ângulo entre dois vetores

38 Tratamento Algébrico Prof Marcelo Maraschin de Souza

39 Combinação Linear De modo geral dois vetores quaisquer v 1 e v 2 não paralelos, para cada vetor v no mesmo plano de v 1 e v 2, existe uma só dupla de números reais a 1 e a 2, tal que v = a 1 v 1 + a 2 v 2

40 Neste caso, a1>0 e a2<0: Combinação Linear

41 E neste caso? Combinação Linear

42 Combinação Linear Quando o vetor v estiver representado por v = a 1 v 1 + a 2 v 2 dizemos que v é combinação linear de v 1 e v 2.

43 Base O par de vetores v 1 e v 2, não paralelos, é chamado de base no plano, B={ v 1, v 2 }. Base ortonormal: uma base { v 1, v 2 } é ortonormal se seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, v 1 v 2, v 1 =1 e v 2 =1.

44 Base Base ortonormal que determina o sistema cartesiano xoy: suponha que os vetores ortogonais e unitários, são simbolizados por i e j, ambos com origem em O e extremidades nos pontos (1,0) e (0,1), respectivamente. Esta base { i, j} chamamos canônica.

45 Base Canônica Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma dupla de números x e y tal que, v = x i + y j Os números x e y são as componentes de v na base canônica. Usualmente iremos representar por v =(x,y) Obs: sugere que um vetor no plano é um par ordenado. v = x i + y j

46 Exemplo v = 2 i + 3 j u = 2 i + 3 j w = 2 i j a = 4 j

47 Igualdade de Vetores Dois vetores u = x 1, y 1 e v = x 2, y 2 são iguais se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2. Escrevendo-se u = v. Exemplo: encontre os valores de x e y se u = x + 1, 4 v = 5, 2y 6 forem iguais. e

48 Operação com Vetores Sejam os vetores u = x 1, y 1 e v = x 2, y 2 e α R, define-se: u + v = x 1 + x 2, y 1 + y 2 ; α u = αx 1, αy 1 ;

49 Operação com Vetores Sejam os vetores u = x 1, x 2 e v = y 1, y 2 e α R, define-se: u + v = x 1 + y 1, x 2 + y 2 ; α u = αx 1, αx 2 ;

50 Operação com Vetores Sejam os vetores u = x 1, x 2 e v = y 1, y 2 e α R, define-se: u = x 1, y 1 ; u v = x 1 x 2, y 1 y 2 ; Demonstre u v.

51 Exercícios