1. Primeiros conceitos

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana I Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Geometria Plana I 1.Primeiros conceitos 2.Ângulos 3.Triângulos 4.Quadriláteros 5.Polígonos 6.Ângulos na circunferência 7.Congruência de triângulos 8.Teorema de Tales 9.Semelhança de polígonos 10.Semelhança de triângulos 11.Relações métricas no triângulo retângulo

3 1. Primeiros conceitos Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos sem uma definição no campo da Geometria. De cada um destes termos temos um conhecimento intuitivo decorrente da experiência e observação. Enquadram-se nessa categoria os conceitos de ponto, reta e plano. 3

4 1.1. Ponto, reta e plano Letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, Letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, Letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, π, 4

5 1.2. Postulados ou axiomas Além dos conceitos primitivos, aceitos sem definição, há propriedades geométricas aceitas sem demonstração. Tais propriedades são chamadas postulados ou axiomas. Por exemplo, um dos postulados da Geometria afirma que: Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta. Essa reta é denotada pelo símbolo, se lê reta AB. AB que 5

6 1.3. Posições de duas retas distintas num plano 6

7 1.4. Subconjuntos da reta 7

8 1.5. Subconjuntos da reta AB A medida de será denotada por AB. Desse modo, se AB é um segmento de reta de 3 cm, escrevemos AB = 3cm. 8

9 1.5. Subconjuntos da reta Dois segmentos que possuem medidas iguais são chamados congruentes. Se AB e CD são segmentos congruentes, escrevemos. Lê-se é congruente a. AB CD AB CD 9

10 2. Ângulos A medida de um ângulo AOB será denotada por AOB. Assim, se <) AOB é um ângulo de 60 o (60 graus), escrevemos: AOB = 60 O 10

11 2. Ângulos Dois ângulos de medidas iguais são denominados congruentes. ABC DEF ABC DEF 11

12 2.1. Bissetriz de um ângulo Bissetriz é a semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. Se OC é bissetriz de AOB, Então AOC BOC 12

13 2.2. Ângulos notáveis AOB 360 o AOB 180 o AOB 90 o 13

14 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos chamados opostos pelo vértice (o.p.v.). 14

15 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos são chamados complementares se a soma de suas medidas é igual a 90 o. Cada um é chamado complemento do outro. Dois ângulos são chamados suplementares se a soma de suas medidas é igual a 180 o. Cada um é chamado suplemento do outro. 15

16 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo: 16

17 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Exercício 2: Na figura, sabe-se queabc é o dobro de CBD. Calcule as medidas desses ângulos, sabendo que ABD = 81 o. 17

18 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Exercício 3: Na figura seguinte, é bissetriz OX de AOB e OY é bissetriz de BOC. Calcule XOY. Observação: AOC é um ângulo de meia-volta. 18

19 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Exercício 4: Dois ângulos são chamados complementares se a soma de suas medidas é igual a 90 o. Cada um é chamado complemento de outro. Calcule a medida de dois ângulos complementares, sabendo que: a) elas são expressas por 3x e 7x; b) uma delas é o quádruplo da outra; c) a diferença entre elas é 18 o. 19

20 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Exercício 5: Dois ângulos são chamados suplementares se a soma de suas medidas é igual a 180 o. Cada um é chamado suplemento do outro. Calcule a medida de dois ângulos suplementares, sabendo que: a) eles são congruentes; b) uma delas é o quíntuplo da outra; c) a diferença entre elas é 36 o. 20

21 2.3. Ângulos opostos pelo vértice Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo, sabendo que o seu suplemento é o triplo de seu complemento. 21

22 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Nomenclatura Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h Colaterais internos: c e f; d e e Colaterais externos: a e h; b e g Alternos internos: c e e; d e f Alternos externos: a e g; b e h Propriedade Congruentes Suplementares Suplementares Congruentes Congruentes 22

23 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Exercício 7: Calcular x e y na figura. 23

24 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta r deslocando-se até coincidir com s. 24

25 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x são suplementares. 3x + 2x = 180 o x = 36 Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo, y = 72 o. o 25

26 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo que r // s. 26

27 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule as medidas dos ângulos indicados na figura. 27

28 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo que r // s. 28

29 2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c? 29

30 3. Triângulos A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180 o. Se A, B e C são as medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC, vamos provar que: A + B + C = 180 o 30

31 3. Triângulos Para isso, traçamos pelo vértice A a reta r paralela ao lado BC, determinando os ângulos de medidas e. X Y Então temos: A + X + Y = o 180 (1) 31

32 3. Triângulos Por outro lado, sabemos que: X = B (ângulos alternos internos) Y = C (ângulos alternos internos) 32

33 3. Triângulos X Substituindo por e por na igualdade (1) obtemos: B Y A + B + C = 180 o C 33

34 3.1. Classificação em função dos ângulos Seus três ângulos são agudos, isto é, menores do que 90 o. A < 90, B < 90 e C < 90 o o o 34

35 3.1. Classificação em função dos ângulos Um de seus ângulos é reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa AC. Os lados adjacentes ao ângulo reto são os catetos e. AB BC 35

36 3.1. Classificação em função dos ângulos Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maior do que 90 o. B > 90 o 36

37 3.2. Classificação em função dos lados Seus três lados têm medidas diferentes. AB AC, AB BC, BC AC Os três ângulos internos têm medidas diferentes. A B, A C, B C 37

38 3.2. Classificação em função dos lados Possui dois lados congruentes (AB = AC). O ângulo formado pelos lados congruentes é denominado ângulo do vértice ( A). O lado oposto ao ângulo do vértice é denominado base BC. Os ângulos da base são congruentes, isto é, B = C 38

39 3.2. Classificação em função dos lados AC). Seus três lados são congruentes (AB = BC = Os três ângulos internos são congruentes. A = B = C E, uma vez que a soma dos três ângulos é igual a 180 o, conclui-se que cada um deles mede 60 o. 39

40 3.2. Classificação em função dos lados Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos de um triângulo isósceles em que o ângulo do vértice é o triplo de um ângulo da base. 40

41 3.2. Classificação em função dos lados Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é um triângulo equilátero e que AC = AD. 41

42 3.2. Classificação em função dos lados Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y. 42

43 3.3. Teorema do ângulo externo Num triângulo, o prolongamento de um lado qualquer determina com um outro lado um ângulo denominado externo. 43

44 3.3. Teorema do ângulo externo Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo qualquer é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Vamos provar que: e = A + B 44

45 3.3. Teorema do ângulo externo o o Como e + C = 180 e A + B + C = 180, temos : e + C = A + B + C e = A + B 45

46 3.3. Teorema do ângulo externo Exercício 15: Calcule x. 46

47 3.3. Teorema do ângulo externo Exercício 16: Calcule m n, sabendo que a // b. 47

48 3.3. Teorema do ângulo externo Exercício 17: Na figura, calcule x em função de α. 48

49 3.3. Teorema do ângulo externo Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF, calcule x em função de a, b e c. 49

50 3.3. Teorema do ângulo externo Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor de a + b + c + d + e? 50

51 3.4. Cevianas do triângulo Ceviana é qualquer segmento de reta que tem uma extremidade num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice. são cevianas do tri- Na figura, ângulo ABC. AA1, AA2 e BB1 51

52 3.4. Cevianas do triângulo Os pontos A 1, A 2 e B 1 são os pés das cevianas. As cevianas AA1 e AA2 são relativas ao vértice A, ou relativas ao lado BC. A ceviana BB 1 é relativa ao vértice B ou relativa ao lado AC. 52

53 3.5. Cevianas notáveis É qualquer ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos congruentes. 53

54 3.5. Cevianas notáveis É qualquer ceviana que tem como pé o ponto médio de um lado. 54

55 3.5. Cevianas notáveis É qualquer ceviana perpendicular a um lado. 55

56 3.5. Cevianas notáveis De um modo geral, bissetriz interna, mediana e altura são cevianas distintas. AH é altura AS é bissetriz AM é mediana 56

57 3.5. Cevianas notáveis Porém, as três coincidem num único segmento se forem relativas à base de um triângulo isósceles. AM é bissetriz, mediana e altura simultaneamente. 57

58 3.5. Cevianas notáveis Exercício 20: Na figura, AS e AH são a bissetriz e a altura relativas ao vértice A do triângulo ABC. Calcule α. 58

59 3.5. Cevianas notáveis Exercício 21: Num triângulo escaleno ABC, em que C = 36 o, as bissetrizes internas relativas aos vértices A e B interceptam-se no ponto I. Calcule AIB. 59

60 3.5. Cevianas notáveis Exercício 22: Na figura, BB e CC são alturas do triângulo. Calcule x. 60

61 3.6. Mediatriz de um segmento de reta Mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB conduzida pelo seu ponto médio. 61

62 3.7. Pontos notáveis do triângulo É o ponto de encontro das bissetrizes internas. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. 62

63 3.7. Pontos notáveis do triângulo É o ponto de encontro das medianas. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos que estão na razão de 2 para 1. AG BG CG = = = GM GN GL

64 3.7. Pontos notáveis do triângulo É o ponto de encontro das alturas. 64

65 3.7. Pontos notáveis do triângulo É o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 65

66 3.7. Pontos notáveis do triângulo No triângulo eqüilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto O, chamado centro do triângulo eqüilátero. 66

67 3.7. Pontos notáveis do triângulo Como O é também o baricentro do triângulo, esse ponto divide a altura AH em segmentos proporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raios das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a altura, é imediato que: 1 2 r = h e R = h

68 3.7. Pontos notáveis do triângulo Exercício 23: Se I é o incentro de um triângulo ABC e BIC = 116 o, calcule A. 68

69 3.7. Pontos notáveis do triângulo Exercício 24: Na figura, G é o baricentro do triângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12 cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm. 69

70 3.7. Pontos notáveis do triângulo Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é um triângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é o ponto médio de AB e CD = BC. Calcule AN. 70

71 3.7. Pontos notáveis do triângulo Exercício 26: O ponto I da figura é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r, conduzida por I, é paralela a BC. a) Mostre que o triângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9, qual é o perímetro do triângulo APQ? 71

72 4. Quadriláteros A soma das medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 o. 72

73 4. Quadriláteros Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Traçando a diagonal AC, decompomos o quadrilátero em dois triângulos. Como em cada triângulo a soma das medidas dos ângulos é igual a 180 o, deduz-se que: A + B + C + D = 360 o 73

74 4. Quadriláteros Exercício 27: Calcule x e y. 74

75 4. Quadriláteros Exercício 28: ABC é um triângulo no qual A= 52 o e C = 72 o. Calcule a medida do ângulo obtuso formado pelas mediatrizes dos lados AB e BC. 75

76 4.1. Trapézios Trapézio é todo quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos. AB // CD AB e CD são as bases do trapézio AC e BD são os lados transversais 76

77 4.2. Classificação dos trapézios Trapézio escaleno: os lados transversos têm medidas diferentes. AD BC O trapézio escaleno não possui ângulos congruentes. 77

78 4.2. Classificação dos trapézios Trapézio isósceles: os lados transversos têm medidas iguais. AD = BC Os ângulos de uma mesma base de um trapézio isósceles são congruentes. A = B e C = D 78

79 4.2. Classificação dos trapézios Trapézio retângulo: um dos lados transversos é perpendicular às bases. A = D = 90 o 79

80 4.2. Classificação dos trapézios Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos do trapézio da figura. 80

81 4.2. Classificação dos trapézios Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles, de bases AB e CD (AB M CD), sabe-se que A = 10x + 7 o e C = 4x + 5 o. Calcule as medidas dos quatro ângulos desse trapézio. 81

82 4.2. Classificação dos trapézios Exercício 31: ABCD é um trapézio retângulo em A e em D. Se B = 100 o, calcule a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de C e D. 82

83 4.3. Paralelogramos Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos. 83

84 4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos Os ângulos opostos são congruentes. Quaisquer dois ângulos adjacentes a um mesmo lado são suplementares. A = C e B = D α + β = 180 o 84

85 4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos Os lados opostos são congruentes. As diagonais dividem-se ao meio pelo seu ponto de intersecção. AB = CD e BC = AD AM = MC e BM = MD 85

86 4.5. Paralelogramos notáveis É todo paralelogramo que possui seus quatro ângulos retos. As diagonais são congruentes. 86

87 4.5. Paralelogramos notáveis É todo paralelogramo que possui quatro lados congruentes. As diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos. 87

88 4.5. Paralelogramos notáveis É todo paralelogramo que é retângulo e losango simultaneamente, isto é, seus ângulos são retos e seus lados são congruentes. As diagonais são congruentes, são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos. 88

89 4.5. Paralelogramos notáveis Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo forma com um dos lados um ângulo de 35 o. Calcule a medida do ângulo agudo formado pelas duas diagonais. 89

90 4.5. Paralelogramos notáveis Exercício 33: Uma diagonal de um losango forma com um dos lados um ângulo de 25 o. Calcule as medidas dos ângulos desse losango. 90

91 4.5. Paralelogramos notáveis Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMN são quadrados e ABC é um triângulo equilátero. Calcule CBN e BNE. 91

92 5. Polígonos Polígono côncavo Polígono convexo Um polígono é convexo se, quaisquer que sejam os pontos X e Y do seu interior, o segmento de reta XY está inteiramente contido em seu interior. 92

93 5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono Sejam i 1, i 2, i 3,, i n as medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados. 93

94 5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono Tomando um ponto I qualquer no interior do polígono e unindo esse ponto a cada vértice, o polígono fica decomposto em n triângulos (cada lado do polígono dá origem a um triângulo). 94

95 5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono Então, a soma das medidas dos ângulos dos n triângulos é igual a: 180 o n Subtraindo os ângulos do vértice I dessa soma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono. Assim, 95

96 5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono S S i i o = n o = 180 ( n 2) o 96

97 5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono Exercício 35: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é igual a 2340 o. Quantos lados tem esse polígono? 97

98 5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono Exercício 36: Na figura, calcule x e y. 98

99 5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono Em todo polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é constante e igual a 360 o. S e = 360 o 99

100 5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono Sejam e 1, e 2, e 3 e n as medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados. 100

101 5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono o e1 + i1 = 180 e2 + i2 = 180 e3 + i3 = 180 en + in = 180 S + S = n 180 e i o S ( n 2) = n 180 S e e S e = + n o o o o o o o 360 = n 180 o o 101

102 5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono Exercício 37: Calcule x. 102

103 5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dos ângulos internos é o dobro da soma dos ângulos externos? 103

104 5.3. Polígonos regulares Hexágono regular Um polígono é regular se, e somente se: 1 o ) todos os seus lados são congruentes; 2 o ) todos os seus ângulos internos são congruentes. 104

105 5.3. Polígonos regulares Da definição decorre que os ângulos externos de um polígono regular também são congruentes. 105

106 5.3. Polígonos regulares e = 360 o n Desse modo, como a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono é igual a 360 o, a medida de um ângulo externo de um polígono regular de n lados é igual a 360 o. n 106

107 5.3. Polígonos regulares Exercício 39: Num polígono regular, um ângulo interno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual é esse polígono? 107

108 5.3. Polígonos regulares Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágono regular. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo ACD. 108

109 6. Ângulos na circunferência AB é uma corda CD é um diâmetro Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência. Arco: Qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos 109 arcos.

110 6. Ângulos na circunferência Ạ própria circunferência é chamada arco de volta inteira e sua medida é 360 o. Um arco de extremidades A e B é chamado arco AB. A medida de um arco AB será denotada pelo símbolo. AB 110

111 6. Ângulos na circunferência AB = medida do arco AB Quando necessário, para diferenciar os dois arcos determinados pelos pontos A e B de uma circunferência, marcamos um ponto C qualquer pertencente a um deles (de um modo geral ao 111 maior deles) e o denominamos arco ACB.

112 6.1. Ângulo central Um ângulo é central em relação a uma circunferência se o seu vértice coincide com o centro da mesma. O arco interceptado por um ângulo central é denominado arco correspondente ao ângulo. 112

113 6.1. Ângulo central AOB = AB EOF = EF A medida de um ângulo central é igual à medida do arco correspondente a ele. 113

114 6.1. Ângulo central Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo. 114

115 6.1. Ângulo central Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulos internos do pentágono ABCDE. 115

116 6.2. Ângulo inscrito Um ângulo é inscrito numa circunferência se o seu vértice é um ponto da circunferência e cada um de seus lados contém uma corda dessa circunferência. 116

117 6.2. Ângulo inscrito Na figura, em vez de dizer que o ângulo está inscrito na circunferência, pode-se dizer que ele está inscrito no arco ACB. O arco interceptado por um ângulo inscrito também é chamado arco correspondente ao ângulo. 117

118 6.2. Ângulo inscrito A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente a ele. A demonstração completa abrange os casos em que o centro pertence a um lado, está no interior ou está no exterior do ângulo. 118

119 6.2. Ângulo inscrito 1 o Caso: Traçando o raio OA, obtemos o triângulo isósceles OAC. Então, se C = α teremos OAC = α. Como AOB é ângulo externo desse triângulo, temos AOB = 2α. E, como AOB é um ângulo central, temos: 119

120 6.2. Ângulo inscrito 1 o Caso: AOB = 2α AB = 2α AB α = 2 120

121 6.2. Ângulo inscrito 2 o Caso: ACB Traçando o diâmetro CD, fica dividido em dois ângulos inscritos de medidas α 1 e α 2. Como esses dois ângulos têm um dos lados passando pelo centro, pelo 1 o caso temos: 121

122 6.2. Ângulo inscrito 2 o Caso: AD DB α1 e α2 2 2 AD + DB α1 + α2 2 AB α = 2 122

123 6.2. Ângulo inscrito 3 o Caso: Traçando o diâmetro CD, os ângulos inscritos ACD e BCD, de medidas α 1 e α 2, têm ambos um dos lados passando pelo centro. Então, novamente pelo 1 o caso, teremos: 123

124 6.2. Ângulo inscrito 3 o Caso: AD DB α1 e α2 2 2 AD DB α1 α2 2 AB α = 2 124

125 6.2. Ângulo inscrito Dois ou mais ângulos inscritos num mesmo arco são congruentes. α = β = γ = AB 2 125

126 6.2. Ângulo inscrito Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. 180 o AB = ACB = 90 o 126

127 6.2. Ângulo inscrito É possível demonstrar também que: todo ângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo é inscritível numa semicircunferência. 127

128 6.2. Ângulo inscrito Note que a hipotenusa é o diâmetro da semicircunferência. 128

129 6.2. Ângulo inscrito Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o lado BC e o raio da circunferência são congruentes. Calcular BAC. 129

130 6.2. Ângulo inscrito Resolução: Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-se o triângulo equilátero OBC. Como OBC é um ângulo central, temos: BOC o = 60 BC = 60 o Então, como BAC é um ângulo inscrito, BC BAC = BAC = 2 30 o 130

131 6.2. Ângulo inscrito Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A. Calcular o ângulo formado pela altura e a mediana relativas à hipotenusa, sabendo que C = 20 o. 131

132 6.2. Ângulo inscrito Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABC é inscritível numa semicircunferência de centro M e diâmetro BC. Então, o triângulo AMC é isósceles, pois MA = MC (por serem raios da semicircunferência). Logo, conclui-se que: C o = 20 M AC = 20 o 132

133 6.2. Ângulo inscrito é um ângulo externo do tri- Por outro lado, ângulo AMC. Logo, AMH o o o AMH = + = 133

134 6.2. Ângulo inscrito Por fim, no triângulo AMH temos: x o 0 o = x = 50 o 134

135 6.2. Ângulo inscrito Exercício 45: Na figura seguinte, BC é um diâmetro da circunferência. Calcule APB, sabendo que ABC = 70 o. 135

136 6.2. Ângulo inscrito Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é um quadrilátero qualquer inscrito numa circunferência. Prove que α + γ = 180 o. 136

137 6.2. Ângulo inscrito Exercício 47: Num triângulo ABC, retângulo em A, sabe-se que C = 26 o. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz e a mediana relativas ao vértice A. 137

138 6.2. Ângulo inscrito Exercício 48: Um dos catetos de um triângulo retângulo é a metade da hipotenusa. Qual é a medida do ângulo oposto a esse cateto? 138

139 7. Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se os seus lados e ângulos forem ordenadamente congruentes. AB DE A D ABC DEF BC EF e B E AC DF C F 139

140 7.1. Critérios de congruência de triângulos Embora a definição de triângulos congruentes exija seis congruências, três entre lados e mais três entre ângulos, há situações em que a congruência de dois triângulos fica garantida com apenas três determinadas congruências. Tais situações constituem os critérios de congruência de triângulos. 140

141 7.1. Critérios de congruência de triângulos Critério L.L.L. Dois triângulos são congruentes se os lados de um são respectivamente congruentes aos lados do outro. AB = DE A = D BC = EF ABC DEF B = E AC = DF C = F 141

142 7.1. Critérios de congruência de triângulos Critério L.A.L. Dois triângulos são congruentes se dois lados de um são congruentes a dois lados do outro e os ângulos compreendidos entre esses lados são também congruentes. AB = DE A = D B = E ABC DEF AC = DF BC = EF C = F 142

143 7.1. Critérios de congruência de triângulos Critério A.L.A. Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro e os lados adjacentes a esses ângulos são também congruentes. B = E AB = DE BC = EF ABC DEF A = D C = F AC = DF 143

144 7.1. Critérios de congruência de triângulos Critério L.A.A o Dois triângulos são congruentes se um lado e um ângulo adjacente são congruentes a um lado e um ângulo adjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados são também congruentes. BC = EF AB = DE C = F ABC DEF B = E A = D AC = DF 144

145 7.1. Critérios de congruência de triângulos Critério L.L.A r Dois triângulos retângulos são congruentes se a hipotenusa e um cateto de um deles são respectivamente congruentes à hipotenusa e a um cateto do outro. BC = EF B = E AC = DF ABC DEF F = C A D 90 o = = AB = DE 145

146 7.1. Critérios de congruência de triângulos Quando escrevemos, por exemplo, PXQ LTU, a ordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, se pudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-lo coincidir perfeitamente com o outro, os vértices que ficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U. 146

147 7.1. Critérios de congruência de triângulos Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados e quais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo já sabemos que PXQ LTU P = L, X = T, Q = U e PX = LT, PQ = LU, XQ = TU 147

148 7.1. Critérios de congruência de triângulos Exercício 49: A figura seguinte apresenta um par de triângulos em que elementos congruentes são identificados por marcas iguais. 148

149 7.1. Critérios de congruência de triângulos A partir das informações contidas na figura é possível concluir que os triângulos são congruentes e deduzir congruências que não constam nos dados. Tudo isso pode ser feito de forma resumida neste esquema: M = K MN = KO A. L. A. MT = KR MTN KRO N = O ( Critério ) ( Conclusão) T = R NT = OR ( Dados ) ( Consequências ) 149

150 7.1. Critérios de congruência de triângulos Estabeleça esquemas semelhantes para cada um dos seguintes pares de triângulos. 150

151 8. Teorema de Tales Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então esse feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. 151

152 8. Teorema de Tales ' ' Por D e E traçamos DD e EE paralelos à reta AC. Então os quadriláteros ABD D e BCE E são paralelogramos e, consequentemente, DD = AB e EE = BC. 152

153 8. Teorema de Tales E já que AB = BC (por hipótese), conclui-se que DD = EE. Além disso, temos: D (ângulos 1 = E 1 ' ' correspondentes em DD // EE ) e E (ângulos 2 = F2 correspondentes em ). s // t 153

154 8. Teorema de Tales Assim, pelo critério L.A.A o, conclui-se que DED ' EFE ' Logo, DE = EF. 154

155 8. Teorema de Tales Um feixe de paralelas separa, sobre duas transversais quaisquer, segmentos de uma proporcionais aos segmentos correspondentes na outra. AB DE Se r // s // t, então = BC EF 155

156 8. Teorema de Tales Seja u um segmento que divide iguais e em n partes iguais. Logo, BC AB m u AB m = = BC n u BC n AB (1) em m partes 156

157 8. Teorema de Tales Tracemos, agora, as retas que passam por esses pontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teorema anterior, as retas traçadas dividem DE em m partes iguais a u e em n partes iguais a u. Então, EF ' DE m u DE m = = (2) ' EF n u EF n 157

158 8. Teorema de Tales Então, de (1) e (2), AB BC = DE EF 158

159 8. Teorema de Tales Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t. Calcule x. 159

160 8. Teorema de Tales Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a BC. Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 e EC =

161 8. Teorema de Tales Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t. 161

162 8. Teorema de Tales Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c. 162

163 9. Semelhança de polígonos Dois polígonos ABCDE e A B C D E com o mesmo número de vértices, são semelhantes se, e somente se, 1 o ) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) são congruentes, isto é: ' ' ' A = A, B = B, C = C, 163

164 9. Semelhança de polígonos Dois polígonos ABCDE e A B C D E com o mesmo número de vértices, são semelhantes se, e somente se, 2 o ) seus lados homólogos são proporcionais, isto é: AB BC CD = = = = K ' ' ' ' ' ' A B BC C D 164

165 9. Semelhança de polígonos A constante k, de proporcionalidade entre os lados, é chamada razão de semelhança dos polígonos. 165

166 9. Semelhança de polígonos Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD LMNP. Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD e LMNP e, b) x, y e u. 166

167 9. Semelhança de polígonos Resolução: a) Para calcular a razão de semelhança, basta obter a razão de semelhança entre dois lados homólogos quaisquer de medidas conhecidas. No caso, entre os lados AB e LM. AB 28 7 k = k = k = LM

168 9. Semelhança de polígonos Resolução: b)já que a razão entre quaisquer dois lados homólogos é igual à razão de semelhança, temos: x 7 = x = 35 5 y 7 = y = = u = u

169 9. Semelhança de polígonos Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE e KLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão de semelhança e b) u, v, x e y. 169

170 9. Semelhança de polígonos Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD e BCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado, calcule o valor de m/n. 170

171 10. Semelhança de triângulos Conforme visto anteriormente, para que dois polígonos sejam semelhantes são necessárias duas condições: 1 o ) os ângulos correspondentes têm de ser congruentes; 2 o ) os lados homólogos têm de ser proporcionais. 171

172 10. Semelhança de triângulos Apenas uma dessas duas condições não garante que dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, os quadriláteros da figura acima possuem seus ângulos respectivamente congruentes, mas não são semelhantes, pois seus lados não são proporcionais. 172

173 10. Semelhança de triângulos Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, a semelhança fica garantida com um menor número de informações sobre eles. Tais informações constituem os critérios de semelhança de triângulos. 173

174 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Critério A.A. (Ângulo, Ângulo) Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro. ' B = B ' ' ' A. A. ABC A BC ' C = C 174

175 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado) Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. a b c = = L. L. L. ABC A BC ' ' ' a b c ' ' ' 175

176 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado) Dois triângulos são semelhantes se possuem um par de ângulos congruentes compreendidos entre lados ' proporcionais. A = A ' ' ' b c L. A. L. ABC A BC = ' ' b c 176

177 10.1. Critérios de semelhança de triângulos No reconhecimento dos lados homólogos em triângulos semelhantes, deve-se identificar os pares de ângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou com letras do alfebeto grego. Esse procedimento visa facilitar o reconhecimento dos lados homólogos. 177

178 10.1. Critérios de semelhança de triângulos BC AC AB = = LM LN MN 178

179 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo. r / / BC r / / AB 179

180 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dados com atenção e calcule x e y. 180

181 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadrado ABCD da figura? 181

182 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo: 182

183 10.1. Critérios de semelhança de triângulos Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e que AB = AC = CD = 2. Calcule os valores de α e x. 183

184 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes Até agora trabalhamos com a proporcionalidade dos lados de polígonos semelhantes. Porém, essa proporcionalidade não ocorre apenas entre os lados e sim entre quaisquer dois elementos lineares homólogos de figuras semelhantes. 184

185 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, se a razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razão entre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturas homólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas é k; (d) a razão entre os perímetros é k; etc a h m a + b + c = = = = = k ' ' ' ' ' ' a h m a + b + c 185

186 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadrado inscrito no triângulo ABC. Calcular x em função de a e h. 186

187 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes Resolução: Como LM / / BC ALM ABC Então, como a razão entre alturas homólogas é igual à razão entre lados homólogos, temos: 187

188 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes x h x = hx = ah ax ax + hx = ah a h ah ( a + h) x = ah x = a + h 188

189 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A B C D da figura são semelhantes. Se o perímetro do segundo é igual a 32, calcule as medidas de seus lados e de sua diagonal B D. 189

190 10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes Exercício 64: A figura seguinte mostra um retângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule as medidas dos lados do retângulo, sabendo que sua base é o dobro de sua altura. 190

191 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediato que: A reta que passa pelo ponto médio de um lado de um triângulo e é paralela a um outro lado intercepta o terceiro lado em seu ponto médio. 191

192 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales r // BC AB AC Se e M é ponto médio de, então N é o ponto médio de. Note então que a reta que passa pelos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado. 192

193 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales // BC Observando ainda que AMN R ABC, pois, podemos escrever: MN AM = BC AB E como AM é a metade de AB, conclui-se que MN é a metade de BC. r 193

194 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales Resumindo, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e sua medida é a metade da medida do terceiro lado. 194

195 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales Se M e N são pontos médios de AB e AC. então 1) MN // BC BC 2) MN = 2 195

196 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triângulo equilátero de lado l = 6 e M é o ponto médio de AB. Calcular NC, sabendo que CD =

197 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales BC, te- Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de mos: AC MP / / AC e MP = 2 isto é, MP = 3. Mas, se MP / / AC, então NCD MPD 197

198 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales NC CD x 8 = = MP PD x =

199 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulo medem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos lados desse triângulo são vértices de um novo triângulo. Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo. 199

200 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem AB em quatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelas a BC. Calcule o valor de a + b + c. 200

201 11. Relações métricas no triângulo retângulo Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçandose a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguintes elementos: a hipotenusa; b e c catetos; h altura relativa à hipotenusa; m projeção de c sobre a hipotenusa; n projeção de b sobre a hipotenusa. 201

202 11. Relações métricas no triângulo retângulo 202

203 11. Relações métricas no triângulo retângulo Note que a altura AH divide o triângulo ABC nos triângulos HBA e HAC. Então, ABC R HBA, pois e é ângulo comum. C A = H = Além disso ABC R HAC, pois é ângulo comum. Logo, ABC HBA HAC 90 o A = H = B 90 o e 203

204 11. Relações métricas no triângulo retângulo ABC HBA a c a c b = b c = a h h c a m m 2 = c = (1) (2) 204

205 11. Relações métricas no triângulo retângulo ABC HAC a b b n 2 = b = a n (3) HBA HAC h m h 2 = = m n n h (4) 205

206 11. Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras 2 b = a n + (2) + (3) 2 c = a m 2 2 b + c = a m + n ( ) a b + c = a (5) 206

207 11. Relações métricas no triângulo retângulo Resumindo: a = b + c b c h = a n = a m = m n b c = a h 207

208 11. Relações métricas no triângulo retângulo Se x, p e q são números ou segmentos que satisfazem a equação 2 x = p q dizemos que x é a média geométrica entre p e q. Desse modo, há três médias geométricas entre as relações métricas no triângulo retângulo. 208

209 11. Relações métricas no triângulo retângulo Cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela. 2 2 b = a n e c = a m A altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 2 h = m n 209

210 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 e 2 5. Calcular: a) a hipotenusa, b) as projeções dos catetos e c) a altura relativa à hipotenusa. 210

211 11. Relações métricas no triângulo retângulo Resolução: a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema de Pitágoras. 2 2 ( 5 ) ( 2 5 ) a = b + c a = + a = a = 25 a =

212 11. Relações métricas no triângulo retângulo b) Podemos determinar m pela fórmula c 2 = a m, pois já calculamos a hipotenusa. ( ) 2 2 c = a m 5 = 5 m 5 = 5 m m = 1 212

213 11. Relações métricas no triângulo retângulo Por outro lado, como m + n = a, temos: m + n = a 1+ n = 5 n = 4 213

214 11. Relações métricas no triângulo retângulo c) Finalmente, podemos calcular h por meio de qualquer uma das relações h 2 = m n ou b c = a h. 2 2 h m n h h = = 1 4 = 2 214

215 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulo medem 2 13 e Calcule: a) a hipotenusa; b) as projeções dos catetos; e c) a altura relativa à hipotenusa. 215

216 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro da semicircunferência. Calcule AP e PB. 216

217 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a 40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio da circunferência inscrita nesse losango. 217

218 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retângulo em A. AH e AM são a altura e a mediana relativas à hipotenusa. Calcule b e c. 218

219 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 73: No plano cartesiano são dados os pontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B. 219

220 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 74: Na figura, as circunferências de centros O e O têm raios R e r, são tangentes entre si e tangenciam a reta t nos pontos A e B. Calcule AB em função de R e r. 220

221 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é um trapézio retângulo de bases AB e CD. A semicircunferência de diâmetro AD tangencia o lado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência. 221

222 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de um certo caminhão tem forma retangular. Sua altura, medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão se dirige a um clube, cuja entrada é um arco semicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possa passar pelo arco, é necessário que sua largura seja menor que um certo valor l. Calcule l. 222

223 11. Relações métricas no triângulo retângulo 223

224 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro da circunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio da circunferência. 224

225 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado de lado l? 225

226 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 79: Calcule os raios das circunferências inscrita e circunscrita num quadrado de lado l =

227 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 80: Calcule a área de um triângulo equilátero de lado l. 227

228 11. Relações métricas no triângulo retângulo Exercício 81: Calcule os raios das circunferências inscrita e circunscrita num triângulo equilátero de lado l =