MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

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1 1 MAT001 Cálculo Dierencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 1 Livro do Stewart: Seções 4.1 a 4.. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS: revisão da aula teórica 6 Deinição: O máximo absoluto de uma unção em um intervalo I é o maior valor possível de (x) quando x varia em todo o intervalo I. Analogamente, o mínimo absoluto de uma unção em um intervalo I é o menor valor de (x) quando x percorre todo o intervalo I. Teorema: Toda unção contínua em um intervalo echado a, b possui máximo e mínimo absolutos. As iguras a seguir ilustram que esse resultado pode ser also caso alguma hipótese do teorema não seja satiseita. Pergunta: como determinar os valores de máximo e de mínimo absolutos de uma unção contínua deinida em um intervalo echado? Veremos que, para responder essa pergunta, é conveniente o estudo dos pontos de máximo e mínimo locais da unção. MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS Deinição: Uma unção, deinida num intervalo I, tem máximo local em x c se existir 0 tal que ( x) ( c) para todo x c, c. Analogamente, dizemos que essa unção tem mínimo local em x c se existir 0 tal que () c () x para todo x c, c. Observe que, nessas deinições, c deve estar no interior do intervalo I. (veja próxima ilustração)

2 Observação: o valor de máximo absoluto de uma unção contínua deinida em um intervalo echado a, b é o maior dos valores dos seus máximos locais, ou então é igual a ou. (a) (b) Dessa observação, vemos que para encontrar os valores de máximo e de mínimo absolutos de uma unção contínua deinida em um intervalo echado a, b devemos pesquisar esse valor entre todos os valores de máximo e de mínimo locais. Portanto, para responder a pergunta do início da aula, precisamos responder a seguinte questão: Pergunta: como determinar os valores de máximo e de mínimo locais? A próxima igura ilustra uma vizinhança de um máximo e de um mínimo local de uma unção derivável. Na igura anterior, aparentemente nos pontos de máximo e de mínimo locais as retas tangentes são horizontais e, portanto tem inclinação igual à zero. Isso implica que no ponto de máximo x c e no ponto de mínimo x d a derivada da unção é igual a zero: ( c) 0 e ( d) 0. De ato isso é verdade como está airmado no próximo teorema.

3 Teorema de Fermat: se uma unção tiver um máximo ou mínimo local em or derivável nesse ponto, então ( c) 0. Observação: dependendo do desenvolvimento da aula, demonstrar esse resultado. x c e Observação: evidentemente, o teorema anterior não se aplica para unções que não possuem derivada em algum ponto. Por exemplo, a unção modular y x tem mínimo absoluto em x 0 mas não tem reta tangente horizontal nesse ponto. Portanto, concluímos que num ponto de máximo ou mínimo local x c ou não existe (c) ou, caso exista, o valor de (c) deve ser igual a zero. O próximo quadro resume essa conclusão: Deinição: um ponto crítico de uma unção é um número c, no domínio de, tal que ( c) 0 ou (c) não existe. Teorema: se uma unção ponto crítico de. tiver um máximo ou mínimo local em x c, então c é um ** CAUTELA ** O resultado anterior não airma que num ponto crítico de uma unção existirá um máximo ou mínimo absoluto. Exemplo: se ( x) x, então x 0 é ponto crítico, mas não é ponto de máximo ou mínimo local. Para concluir a discussão sobre a procura dos pontos de máximo e de mínimo absolutos de uma unção contínua deinida num intervalo echado a, b observamos, novamente, que ou esses pontos são máximos ou mínimos locais de do intervalo de deinição de., ou são extremos Determinação de máximo e mínimo absolutos: seja uma unção contínua deinida num intervalo echado a, b. Os valores de máximo e mínimo absolutos de podem ser encontrados seguindo-se o seguinte roteiro: 1. encontre os valores (c) para todo ponto crítico c no intervalo aberto a, b;. calcule os valores (a) e (b) ;. o maior valor encontrado nas etapas 1 e é o máximo absoluto de. Por outro lado, o menor valor encontrado nas duas etapas anteriores é o mínimo absoluto de. Observação: esse procedimento unciona bem quando a unção possui um número inito de pontos críticos no intervalo echado a, b.

4 4 Exemplos: em cada item, determine os valores de máximo e de mínimo absolutos da unção dada no domínio dado. (a) y x x 1, x real. (b) y x, para x 1,. x (c) y, no intervalo 0,. 1 x COMO O SINAL DA DERIVADA AFETA O GRÁFICO DA FUNÇÃO: Teste da Derivada Primeira Nesta aula veremos que o sinal da deriva primeira de uma unção comportamento (crescente/decrescente) dessa unção. deine o Teorema do Valor Médio: Seja uma unção contínua no intervalo echado e derivável no intervalo aberto a, b. Então, existe pelo menos um c pertencente ao intervalo a, b tal que ( b) ( a) '( c) b a. a, b Observação: interpretar geometricamente esse resultado (igura abaixo) e, dependendo do desenvolvimento da aula, apresentar uma demonstração. Exemplo 1 : Ilustrar o Teorema do Valor Médio para a unção intervalo echado, 5. ( x) x, deinida no Exemplo : Questionar porque o Teorema do Valor Médio não é satiseito para a unção ( x) x, deinida no intervalo echado 1, 1.

5 5 Deinição: Uma unção é crescente num intervalo I se, para quaisquer pontos x 1 e x em I, a desigualdade x 1 x implicar em ( x 1 ) ( x ). Por outro lado, a unção é decrescente num intervalo I se, para quaisquer pontos x1 e x em I, a desigualdade x implicar em (x 1 ) x ). 1 x ( Teste da derivada primeira: seja Então: uma unção derivável em um intervalo aberto I. Se Se Se ( x) 0 ( x) 0 ( x) 0 x I, então é crescente em I. x I,então é decrescente em I. x I, então é constante em I. Observação: interpretar geometricamente esse resultado através do desenho de alguns gráicos e, dependendo do desenvolvimento da aula, demonstrar algum caso a partir do Teorema do Valor Médio. Exemplo: determine os intervalos em que a unção crescente e os intervalos em que ela é decrescente. ( x) x x 1x 5 é