Proposta de teste de avaliação

Transcrição

1 Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiicam a opção escolhida.. Na igura encontra-se parte do gráico de uma unção h, de domínio R. Sejam h e h a primeira e a segunda derivadas de h, respetivamente. Admita que estas duas unções também têm domínio R. Qual das epressões seguintes designa um número negativo? (A) h( 0) h ( 0) (B) h ( 0) h ( 0) (C) h( 0) + h ( 0) (D) h( 0) h ( 0). Na igura está parte da representação gráica da unção deinida, para + um certo valor de a R \{ }, por log a. O valor de ( 8) é: O 6 (A) 7 (B) 7 (C) (D) 5. Sabe-se que é uma unção de domínio R, que admite primeira e segunda derivadas, e, em todos os pontos do domínio e que: ( 0) 0 é estritamente crescente. Qual das airmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) tem um máimo relativo para 0. (B) O gráico de tem a concavidade voltada para baio. (C) O gráico de tem a concavidade voltada para baio em ],0[ e voltada para cima em ] 0, + [. (D) O gráico de tem a concavidade voltada para cima. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

3 4. Seja ( u n) a sucessão deinida por O valor de lim + u n u n + é igual a: n u n. (A) e (B) e (C) e (D) e 5. Na igura está representada parte do gráico de uma unção de domínio [0, + [. A reta r, de equação +, é assíntota ao gráico de. Seja h a unção deinida em [0, + [ por h O gráico de h tem uma assíntota horizontal.. r Qual é a equação que deine essa assíntota? (A) (B) (C) (D) O Grupo II Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias.. Considere a unção, de domínio R, deinida por: ( ) ln + + se > 0 se 0 e se < 0 Estude a unção quanto à continuidade no ponto 0. (No caso de não ser contínua no ponto 0, deve indicar, justiicando, se é contínua à esquerda ou à direita, nesse ponto.) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

4 . Considere a unção, de domínio R, deinida por ln( e e ).. Mostre que é uma unção par Mostre que o gráico de tem uma assíntota para +... Estude a unção quanto à monotonia e à eistência de etremos..4. Deternine os valores de k sabendo que a equação k é impossível em R.. Seja a unção real de variável real, h, deinida por h e e +... Calcule os zeros da unção h... Determine uma equação da reta tangente ao gráico de h no ponto de abcissa 0... Prove que h tem um ponto de inleão e determine as suas coordenadas Mostre que eiste, no intervalo,, um e um só ponto do gráico de h cuja abcissa é igual à ordenada. Recorrendo à calculadora gráica, determine as coordenadas desse ponto. Na sua resposta deve: - reproduzir, num reerencial, o gráico da unção ou os gráicos visualizados, devidamente identiicados; - indicar as coordenadas do ponto com arredondamento às centésimas. 4.. Seja S o conjunto de resultados associado a uma eperiência aleatória e A e B dois acontecimentos ( A S e B S). Prove que P( A B) P( A) P( A B) P( A B) Num saco estão apenas bolas azuis e bolas vermelhas. Todas as bolas estão numeradas: algumas com o número, outras com o número e as restantes com o número. Etrai-se, ao acaso, uma bola do saco e observa-se a cor e o número. Sejam A e B os acontecimentos: A: "A bola etraída é azul." B: "A bola etraída tem um número primo." Sabe-se que P( A B) P( A) P( A B) P B A. 5 + e ( ) Determine a probabilidade de sair uma bola azul com o número. Sugestão: Tenha em consideração 4.. FIM Cotações Grupo I Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 4

5 . Por observação do gráico veriica-se que: h ( 0) > 0 Proposta de resolução Grupo I h ( 0) < 0 ( é estritamente decrescente numa vizinhança de 0) h ( 0) > 0 (a concavidade do gráico de é voltada para cima numa vizinhança de 0) Logo: ( 0) ( 0) > 0 ( h( 0) e h ( 0) h h h h 0 0 < 0 h ( 0) + h ( 0) > 0 ( h( 0) e ( 0) h 0 h 0 > 0 Resposta: (B) são positivos) h são positivos). log a a> 0 6 log 6 log 6 6 a a 4 log4 a log48 log4 log4 4 Resposta: (B). Se 0 0 e é estritamente crescente, então: < 0, ],0[ e > 0, ] 0, + [ a ց Mín. ր A opção (A) é alsa Se é estritamente crescente, então > 0, R. Logo, o gráico tem a concavidade voltada para cima. Resposta: (D) 4. n+ u n+ n+ n lim + lim + lim lim lim e e u n n n n n Resposta: (C) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 5

6 5. Se a reta de equação + é assíntota ao gráico de em +, então lim + limh lim lim lim + Se h lim, então a reta de equação é uma assíntota ao gráico da unção h. + Resposta: (D). Grupo II. ( + ) + ( + ) ( + ) ln ln ln lim lim lim + lim ( 0) e e lim lim lim e e lim lim 0 0 Como lim lim + 0 0, então não é contínua em 0. No entanto, como lim ( 0). ln( e e ) 0 +, D R.. D, D, é contínua à esquerda no ponto 0. ln e + e ln e + e, R Logo, é uma unção par Seja m + b a assíntota em +. ln( e e ) ln e ( e ) lne ln( e + ) m lim lim lim lim ln e + ln e + ln 0+ lim lim + lim ( ) ( ( )) b lim lim ln e e lim ln e e lim lne + ln e + lim + ln e + + limln e + ln A reta de equação é uma assíntota ao gráico de em +... ( e e ) + e + e e + e e + e e + e 0 0 e + e 0 e e 0 0 e + e Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 6

7 ց ln ր Mín.,0 é estritamente decrescente em ] ] e estritamente crescente em [ [ ( 0) ln é o mínimo absoluto de..4. Atendendo a.. e a.. e ao acto de ser contínua, [ ln, [ D +. Logo, a equação k é impossível se e só se ],ln[.. k. ± 98 h 0 e e + 0 e e + 0 e ± e e e ln 0 Zeros de h: { 0,ln } 0, +... Seja t: m + b uma equação da reta tangente ao gráico de h no ponto de abcissa 0. m h ( 0) h e e 0 0 h ( 0) e e m + b h ( 0) e e é uma equação da reta t. h 4e e ( ) h 0 4e e 0 e 4e 0 e 0 4e 0 e ln 4 4 ln 4 + h 0 + h. P.I. O gráico de h tem a concavidade voltada para baio em, ln 4 e voltada para cima em ln, + 4. ln ln h ln e e ln, é o único ponto de inleão do gráico da unção h Pretende-se provar que, : h ( ) Seja a unção deinida em R por h. é contínua em R (é a dierença de unções contínuas) e, portanto, é contínua em h e e + e e + 0,7 h e e + e e+ 0,,. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 7

8 < 0 Portanto, o corolário do Teorema de Bolzano-Cauch garante que, : h ( ). Recorrendo à calculadora determinou-se, no intervalo,, as coordenadas do ponto de interseção dos gráicos das unções Y h e Y. O resultado obtido, com aproimação às centésimas, oi, : ( ) 0, ou seja, 0,95 O h 0,5 0,95 ( 0,95;0,95 ). 4.. P( A B) P( A) + P( A B) P( A B) P( A) + P( A) P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) 4 ( ) P A B P A P B A P( A) P( A) Os números das bolas são, ou, sendo que e são primos. Logo, pretende-se a probabilidade de sair bola azul e não sair nem, ou seja, 5 P( A B) P( A) P( A B) 4 6 Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 8