Prof.Letícia Garcia Polac. 8 de novembro de 2018

Transcrição

1 Fundamentos de Matemática Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 8 de novembro de 2018

2 Sumário 1 Máximos e Mínimos 2 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento 3 Concavidades e Pontos de Inflexão 4 Construção de gráficos de funções: 5 Problemas de Otimização

3 Máximos e Mínimos Definição Sejam f : X R R uma função e x 0 X. Dizemos que: a) x 0 é ponto de mínimo local (relativo) de f se existir uma vizinhança (a, b) de x 0 tal que f (x) f (x 0 ) para todo x (a, b) X. b) x 0 é ponto de máximo local (relativo) de f se existir uma vizinhança (a, b) de x 0 tal que f (x) f (x 0 ) para todo x (a, b) X. c) x 0 é ponto de mínimo global (absoluto) de f se f (x) f (x 0 ) para todo x X. d) x 0 é ponto de máximo global (absoluto) de f se f (x) f (x 0 ) para todo x X.

4 Máximos e Mínimos Figura: Na figura x 0 é ponto de mínimo local

5 Máximos e Mínimos Figura: Na figura x 0 é ponto de máximo local

6 Máximos e Mínimos Exemplo Seja f (x) = x Temos que x , para todo x R. Assim f (x) f (0) para todo x R, ou seja, 0 é ponto de mínimo local (global) de f. f (0) = 1 é o valor mínimo local (global) de f.

7 Máximos e Mínimos Proposição Seja f uma função definida e derivável em (a, b). Se x 0 (a, b) é um ponto de máximo ou mínimo local de f então f (x 0 ) = 0.

8 Máximos e Mínimos Proposição Seja f uma função definida e derivável em (a, b). Se x 0 (a, b) é um ponto de máximo ou mínimo local de f então f (x 0 ) = 0.

9 Máximos e Mínimos Observações: 1) A reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, f (x 0 )) é horizontal. 2) A recíproca da proposição acima não é verdadeira. Como exemplo temos a função f (x) = x 3, que é diferenciável em R e f (0) = 0, mas x 0 = 0 não é ponto de máximo e nem de mínimo local de f.

10 Máximos e Mínimos Uma boa maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo de uma função, é estudá-la com relação a seu crescimento e decrescimento.

11 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Definição Dizemos que uma função f, definida num intervalo I é crescente em I se para qualquer x 1 < x 2 em I temos f (x 1 ) < f (x 2 )

12 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Definição Dizemos que uma função f, definida num intervalo I é decrescente em I se para qualquer x 1 < x 2 em I temos f (x 1 ) > f (x 2 )

13 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Dizemos que f é monótona em seu domínio se f for crescente, ou decrescente, em seu domínio. Exemplo A função f : R R dada por f (x) = x 2 é decrescente em (, 0] e crescente em [0, + ), portanto não é monótona em R

14 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Proposição Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no inetrvalo (a, b). i) Se f (x) > 0 para qualquer x (a, b), então f é crescente em [a, b]. ii) Se f (x) < 0 para qualquer x (a, b), então f é decrescente em [a, b].

15 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Proposição Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no inetrvalo (a, b). i) Se f (x) > 0 para qualquer x (a, b), então f é crescente em [a, b]. ii) Se f (x) < 0 para qualquer x (a, b), então f é decrescente em [a, b].

16 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Exercício 1: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: a) f (x) = x 3 2x 2 + x + 2 b) f (x) = x 2 x 1 + 3x 2

17 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Teorema Teste da Primeira Derivada: Sejam f uma função contínua em [a, b], derivável em (a, b) e x 0 (a, b) tal que f (x 0 ) = 0. i) Se f (x) > 0 em (a, x 0 ) e f (x 0 ) < 0 em (x 0, b), então x 0 é ponto de máximo local de f. ii) Se f (x) < 0 em (a, x 0 ) e f (x 0 ) > 0 em (x 0, b), então x 0 é ponto de mínimo local de f. iii) Se f (x) > 0 em (a, x 0 ) e f (x 0 ) > 0 em (x 0, b), então x 0 não é ponto de mínimo e nem de máximo local de f. iv) Se f (x) < 0 em (a, x 0 ) e f (x 0 ) < 0 em (x 0, b), então x 0 não é ponto de mínimo e nem de máximo local de f.

18 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Definição Seja f : X R R uma função derívável. Dizemos que x 0 X é ponto crítico de f se f (x 0 ) = 0.

19 Funções Monótonas: Crescimento e Decrescimento Exercício 2: Encontre e classifique os pontos críticos da função f (x) = 2x 3 3x 2 12x + 12.

20 Concavidades e Pontos de Inflexão Concavidades e Pontos de Inflexão Definição Seja f : X R R uma função derivável no intervalo I X. i) Se o gráfico de f estivar acima de todas as suas retas tangentes no intervalo I, então o gráfico de f é côncavo para cima (ou f tem concavidade para cima) ii) Se o gráfico de f estivar abaixo de todas as suas retas tangentes no intervalo I, então o gráfico de f é côncavo para baixo(ou f tem concaividade para baixo)

21 Concavidades e Pontos de Inflexão Figura: Na figura f, é côncava para cima

22 Concavidades e Pontos de Inflexão Figura: Na figura, f é côncava para baixo

23 Concavidades e Pontos de Inflexão Teorema Teorema da Concavidade i) Se f (x) > 0 para todo x I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I. ii) Se f (x) < 0 para todo x I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.

24 Concavidades e Pontos de Inflexão Definição Dizemos que p é ponto de inflexão da função f se o gráfico de f mudar de cõncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa em p.

25 Concavidades e Pontos de Inflexão Exercício 3: Estude as funções abaixo com relação à concavidade. a) f (x) = x 4 4x 3 b) g(x) = e x2 2

26 Concavidades e Pontos de Inflexão Teorema Teste da Segunda derivada Seja f uma função com f contínua numa vizinhança do ponto crítico x 0 ( f (x 0 ) = 0). i) Se f (x 0 ) > 0, então x 0 é ponto de mínimo local de f. ii) Se f (x 0 ) < 0, então x 0 é ponto de máximo local de f.

27 Concavidades e Pontos de Inflexão Exercício 4: Dada a função f (x) = 2x 3 3x 2 12x + 12, classifique seus pontos críticos utilizando o Teste da Segunda Derivada.

28 Construção de gráficos de funções: Construção de gráficos de funções

29 Problemas de Otimização Problemas de Otimização Um problemas de otimização é um problema prático no qual estamos interessados encontrar pontos de máximos ou pontos de mínimos de determinada função resultante da modelagem matemática desse problema. Temos um teorema que nos auxilia a encontrar pontos de máximos e mínimos globais em inetervalos fechados.

30 Problemas de Otimização Teorema Teorema de Weierstrass Se f : [a, b] R é contínua, então existem x m, x M em [a, b] tais que f (x m ) f (x) f (x M ), isto é, x m é ponto de mínimo global de f em [a, b] e x M é ponto de máximo global de f em [a, b].

31 Problemas de Otimização Método do Intervalo de Fechado: Para encontrarmos os valores máximos e mínimos globais de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b] i) Encontre os valores de f nos pontos críticos de f em (a, b). ii) Encontre os valores de f em a e b. iii) O maior valor entre as etapas anteriores será o valor máximo global de f e o menor valor entre as etapas as etapas anteriores é o valor mínimo global de f.

32 Problemas de Otimização Proposição Seja f : R R uma função derivável. Se c é o único ponto crítico de mínimo (máximo) local de f, então c é ponto crítico de mínimo (máximo) global de f.

33 Problemas de Otimização Exercício 5: Encontre dois números reais cuja soma é 16 e o produto é o máximo possível. Exercício 6: O custo total de produção de x toneladas de um produto, em milhares de reais, é dado por C(x) = 0, 03q 3 1, 8q q. Supondo que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada de produto é vendida a um preço de 21 milhares de reais.

34 Problemas de Otimização Exercício 7: Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?