Congruência de triângulos

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Danilo Pacheco Bentes
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1 Segmento: Pré-vestibular Coleção: Alfa, Beta e Gama Disciplina: Matemática Volume: 1 Unidade IV: Série 4 Resoluções Congruência de triângulos 1. a) x + x + x x x 40 x 40 b) x x x 180(5 ) 3x x 150 x 50. C A soma dos ângulos inteiros (S i ) é dada por: Si 180(n ). A soma dos ângulos externos (S e ) é sempre: 360. Assim, temos: 180 (n ) (n ) (n ) 180 (n 4) 3. C Sejam (x ), (x 1 ), x, (x + 1 ) e (x + ), o s ângulos mencionados. Assim: (x ) + (x 1 ) + x + (x + 1 ) + ( x + º) x 540 x 108 A soma do maior com o menor é: (108 ) + (108 + ) 16 1

2 4. D x x x 78º 108º x 30º x x 180º x y º y 10º 5. B Seja n o número de lados desse polígono. Temos que a soma dos ângulos internos desse polígono pode ser calculada da seguinte maneira: (n ) (n ) n n 364 5n n 7 6. B (5x) + ( ) + (x 10 ) + ( ) x x 10 x 0 7. Sabemos que i + e 180º e (I) i 7º Do enunciado, temos + (II) Observe que i representa a medida do ângulo interno e e representa a medida do ângulo externo. Substituindo e(ii) em (I), temos: e 180º 7º + 3e 108º e 7º Dado que a soma dos ângulos externos é sempre e, neste caso, cada 5 ângulo externo mede 7º existem 7º ângulos. Portanto esse polígono tem 5 lados (pentágono).

3 8. B Como o polígono é regular, chamamos de i e e as medidas dos ângulos internos e externos, respectivamente. Da figura, temos: i i 15º Então, e O número de lados pode ser calculado por: 45º 9. C Seja e o valor do ângulo externo do polígono. Do triângulo BPC, temos: e + e e 45 O numero de lados desse polígono é: 45º C 60º Cada ângulo externo mede 6, logo o ângulo interno do hexágono regular mede 10. Colocando o hexágono inscrito em uma circunferência é possível verificar ABF FBE EBD DBC que 3

4 Assim, 4 EBD ˆ ABC ˆ 4 EBD ˆ 10º EBD ˆ 30º 7º 11. Cada ângulo externo mede 5, logo x 7. Assim, o ângulo interno mede 108. EAD DAC CAB Além disso, temos que. 108º 36º Portanto, cada um dos ângulos acima mede 3. Logo y z 36. BAE Como ABC é equilátero temos que e BA AE. BAD 90 Como ABCD é um quadrado, temos: ADC, 90 e BA AD. Assim, podemos calcular: DAE DAB EAB 30 Como AE AD, 150º temos que: ADE AED 75 ADC Logo α ADE 90º 75º C Seja i a medida ADC do ângulo interno do polígono regular. Assim, i 100º. BAD i 100º Consequentemente,. 4

5 Dado que ABCD é um trapézio isósceles, temos: i + i + (i 100 ) + (i 100 ) 360 4i i 560 i 140 e 40 9 O número de lados é n 40º. 14. D 7º O ângulo externo do pentágono mede: 5. Assim, 7º temos: 7º 180º θ + 144º + 180º θ + 3º θ 15. D Para recobrir o chão é necessário que, ao colocar as peças, lado a lado, seja possível somar 360 em torno de um mesmo ponto. 540º 108º Como ângulo interno de um pentágono regular mede 5, ao juntar 3, soma-se 34 e, com 4, soma-se 43º. Ou s eja, com 3 ficaria um vão entre as peças e, com 4 haveria sobreposição. Assim, o pentágono não serve para ser utilizado. 16. E 540º 108º Cada ângulo interno mede: 5. Seja O, o centro da circunferência. 5

6 nãoconvém Pré-vestibular Matemática OBC Assim, OED 90º Do pentágono OBCDE temos: OBC BCD CDE DEO EOB 540º º 108º 180º 90º EOB 540º º EOB 540º + EOB 144º 17. a) Tomemos um vértice A. Como não ligaremos ele com ele próprio e como ligar com os vértices adjacentes é considerado um lado e não diagonal, ligaremos esse vértice com os 7 que restaram. Assim, há 7 diagonais partindo de cada vértice. b) De cada vértice partem 7 diagonais e temos 10 vértice assim: Entretanto, para que não contemos duas vezes a mesma diagonal 70 (AD 35 e DA, por exemplo) temos que dividir por dois, isto é, há diagonais. 18. C Do n enunciado n 3 temos: ( ) 3n n 3n 3n n 3n 6n n n 9n 0 n 0 9 Logo, esse polígono é um eneágono. 19. Seja o decágono AF,BG,CH,DI,EJ ABCDEFGHIJ. As diagonais passam pelo centro, isto é, há 5 delas. 6

7 n n 3 D ( ) O número total de diagonais é dado por. Como 5 passam pelo centro, há 30 que não passam. 0. a) Como há um número par de lados, há diagonais que passam pelo centro. De cada vértice parte uma diagonal que passa pelo centro. Como há n vértices, haveria n diagonais. Entretanto, para não contar a n mesma diagonal duas vezes é necessário dividir por dois, logo há n diagonais que passam pelo centro. n n 3 D ( ) b) Total de diagonais Diagonais n n que 3não passam pelo centro: D C D ( ) n C D n 4n C 1. a) 10 b) 1 c) 15 36º 30º 4º 7

8 . E Como BAC 1, o menor arco BC 4 4º. Logo α. 15 Assim o polígono tem 4º lados, ou seja, trata-se de um pentadecágono. 3. D Tome o polígono que dá forma a calçada. Note que ele é composto por três hexágonos regulares. 70º 10º Como ângulo interno de um hexágono regular mede 6, qualquer rotação de 10º em torno do centro satisfaz a invariância. 4. a) Como OT 1 cm, AT 1 cm. Logo AB cm. Ou seja, o lado do quadrado mede cm. b) Pelo OA Teorema de Pitágoras no ATO temos: OA Logo, o raio da circunferência circunscrita é cm. 5. a) Como OAT OT 30 e OT cm, temos: tg 30º AT 3 3 AT AT 3 AB 4 3 cm 4 3 cm O lado do triângulo é. 8

9 b) Do triângulo OT OAT, temos: sen 30º AO 1 AO AO 4 O raio da circunferência circunscrita é 4 cm. 6. a) Do enunciado, OT 3. Como OAT OT 60, temos: tg 60 AT 3 3 AT AT 1 AB Isto é, o lado do hexágono mede cm. b) Como o triângulo OAB é equilátero, temos que OA AB, ou seja, o raio da circunferência circunscrita mede cm. 9

10 7. A Note que o enunciado pergunta qual a razão entre os segmentos OA e OT. Do triângulo OAT, temos: OT 1 OT OA sen 30º OA OA OT 8. 3 OT 3 Como a distância entre os lados paralelos é, temos que. Do triângulo OTAOT: tg 60º AT 3 3 AT AT 1 Logo, o lado do hexágono mede AT, isto é, cm. 9. a) O ângulo central mede: 8 45º 10

11 Do ABtriângulo OAB temos, pelo Teorema de Pitágoras dos cossenos: OA OB OA OB cos 45º + AB + AB 8 4 AB 8 4 AB Ou seja, o lado do octógono tem medida cm. b) Do triângulo OAT temos, pelo Teorema de Pitágoras: OA AT OT OT 4 OT OT OT + + Ou seja, o apótema mede + cm. 30. C Cada ângulo interno mede Como AF FE cm, FÂE FÊA 30º. 70º 10º 6. Isto é, ˆ AFE 10º 11

12 OF AE Seja T a interseção de com. FTE ˆ 90º TFE ˆ 60º Note que, logo Temos que Logo AE TE 3 TE cos 30º TE 3 FE D Do enunciado temos: n n 1 n n º 1 n n 90 0 Como n é positivo, ficamos com n 9, isto é, múltiplo de D Calculemos o raio dessa circunferência. Por Pitágoras temos: 1

13 AB AO OB + 6 r r ( ) + 4 r r 1 r 3 Do triângulo OTE, temos: ET 3 ET ET cos 30º EO 3 ET 3 EF D Cada ângulo do octógono mede 135º. Sela L o lado do quadrado e l o lado do octógono. Por teorema dos cossenos temos: AC² AB² + BC² - AB BC cos 135º 13

14 L l l l l + L l l + L l ( ) ( ) + L L l + l + 14

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