CCI-22. Matemática Computacional. Carlos Alberto Alonso Sanches Juliana de Melo Bezerra

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1 CCI-22 Matemática Computacional Carlos Alberto Alonso Sanches Juliana de Melo Bezerra

2 CCI-22 4) Equações e Sistemas Não Lineares Biss ã P si ã F ls P nt Fi Bissecção, Posição Falsa, Ponto Fio, Newton-Raphson, Secante

3 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

4 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

5 Alguns eemplos de polinômios Uma esfera de raio R e densidade específica ρ, ao flutuar na água, afunda uma quantidade dada por: 3 + 2R 2-4ρRρ 3 = 0 Sejam duas cargas elétricas A e B de mesmo sinal, distantes 2 metros entre si. Coloca-se, à distância de A e 2- de B, uma carga C de sinal oposto. C permanecerá em equilíbrio se: = 0 Calcular os autovalores de uma matriz de ordem n é equivalente a encontrar as raízes de um polinômio de grau n

6 Raízes reais de funções Nas diversas áreas das ciências eatas, frequentemente ocorrem situações que envolvem a resolução de uma equação f() = 0, não necessariamente linear O objetivo deste capítulo é estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares Em alguns casos (polinômios, por eemplo), as raízes podem ser reais ou compleas. Estamos principalmente interessados em encontrar as raízes reais: dada uma curva, queremos os pontos em que o eio é interceptado Esses métodos possuem duas fases: 1) Isolamento de uma raiz (encontrar um intervalo que a contenha) 2) Refinamento: dada uma aproimação inicial da raiz nesse intervalo, 2) Refinamento dada uma aproimação inicial da raiz nesse intervalo, melhorá-la até se obter a precisão desejada

7 Isolamento das raízes Nesta primeira fase, é feita uma análise teórica e gráfica da função f(), da qual depende d fortemente o sucesso da fase seguinte De modo geral, é utilizado o teorema de Bolzano: considerando f() uma função contínua no intervalo [a,b], se f(a).f(b) f(b) < 0, então eiste pelo menos uma raiz = ξ entre a e b Graficamente: f() f() f() a ξ b a a ξ 1 ξ 2 ξ 3 b ξ 1 ξ 2 b

8 Eemplo f() = Vamos construir uma tabela de valores para f(), considerando apenas os sinais: f() Sabendo que f() é contínua para qualquer real, e observando as variações de sinal, podemos concluir que eistem raízes nos seguintes intervalos: [-5 5, -3] [0, 1] [2, 3] Como f() é um polinômio de grau 3, isolamos todas as suas raízes

9 Outras situações Se f(a).f(b) > 0, então podemos ter várias situações: f() f() f() a b a ξ ξ b a ξ b Alguns procedimentos viáveis na análise gráfica de f(): Esboçar o gráfico de f() e localizar as raízes A partir da equação f() = 0, obter uma equação equivalente g() = h(), esboçar os gráficos de g() e h(), e localizar pontos de interseção Utilizar programas que traçam gráficos de funções No caso específico de polinômios, há alguns teoremas que auiliam as tarefas de enumeração e isolamento das raízes

10 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

11 Raízes reais de um mp polinômio Regra de Descartes: O número de raízes reais positivas de um polinômio p() com coeficientes reais nunca é maior que o número de trocas de sinal na sequência de seus coeficientes não nulos Se for menor, então será sempre por um número par Como as raízes negativas de p() são as positivas de p(-) ), também é possível utilizar essa mesma regra na enumeração das raízes reais negativas

12 Eemplo Uma troca de sinal: p() p() = Uma troca de sinal: p() tem 1 raiz positiva Duas trocas de sinal: p() p(-) = pode ter 2 ou 0 raízes negativas Se p() tiver 2 raízes negativas, não terá raízes compleas; caso contrário, terá 2 raízes compleas Possibilidades: d Raízes Positivas Negativas Compleas Sempre aos pares

13 Outro eemplo p() = Quatro trocas de sinal: p() pode ter 4, 2 ou 0 raízes positivas p(-) = Nenhuma troca de sinal: p() não tem raízes negativas Possibilidades: Raízes Positivas Negativas Compleas

14 Raízes compleas de um polinômio Seja o polinômio de grau n de coeficientes reais: p() = a 0 n + a 1 n a n-1 + a n Regra de Huat: Se p(0) 0 e para algum k, 0<k<n, tivermos (a k ) 2 a k-1.a k+1, então p() terá raízes compleas Um caso particular é a Regra da Lacuna: Se p(0) 0 e para algum k, 0<k<n, tivermos a k = 0 e a k-1.a k+1 > 0, então p() terá raízes compleas Se p(0) 0 e eistirem dois ou mais coeficientes nulos p( ) sucessivos, então p() terá raízes compleas

15 Eemplo p() = p(-) = ou 0 positivas 3 ou 1 negativas Regra de Huat: (a 2 ) 2 a 1.a 3, pois 1 < 3.2 Portanto, p() tem raízes compleas Possibilidades: Raízes Positivas Negativas Compleas

16 Outro eemplo p() = p(-) = , 2 ou 0 positivas s não tem negativas Regra da Lacuna: a 2 = 0 e a 1.a 3 > 0, pois (-3).(-2) > 0 Portanto, p() tem raízes compleas Possibilidades: Raízes Positivas Negativas Compleas

17 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

18 Isolamento das raízes de um polinômio No caso dos polinômios, o isolamento das suas raízes é feito em duas fases: localização e separação Localizar as raízes reais de um polinômio p() é determinar um intervalo que as contenha Eemplos: a Localizar as raízes compleas é determinar os raios interno e eterno de anéis que as contenham Eemplo: Em ambos os casos, a e b são chamados respectivamente de cota inferior e superior a b b a b

19 Localização de raízes reais Teorema de Laguerre: Dado o polinômio p() de coeficientes reais e dado um número δ, obtemos p() = q().( δ) + R. Se os coeficientes de q() forem todos positivos ou nulos, e R > 0, então todas as raízes reais são menores que δ Cota de Laguerre-Thibault: Dado o polinômio p() de coeficientes reais, calcule a divisão de p() por -1, -2, -3,..., -m, até que o quociente q() tenha todos os coeficientes positivos ou nulos, e resto R > 0. Esse m > 0 é uma cota superior das raízes reais de p(). Uma cota inferior n < 0 pode ser calculada de modo semelhante, multiplicando-se p(-) )por -1 e seguindo o mesmo procedimento

20 Eemplo p() = > 0 3 é uma cota superior de p()

21 Eemplo (continuação) p(-) = Todas as raízes de p() pertencem a [-4, 3] é uma cota inferior de p()

22 Localização de raízes compleas Cota de Kojima: Dado o polinômio o p() = a 0 n + a 1 n a n-1 + a n, toda raiz ξ, real ou complea, está em um anel de raio eterno R = q 1 + q 2, onde q 1 e q 2 são os maiores valores de a 1/i i /a 0, para 1 i n Considerando o polinômio p(1/), o raio interno r é calculado l de modo semelhante: r = 1/(q 1 + q 2 )

23 Eemplo p() = a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = -9, a 3 = -1, a 4 = 20, a 5 = -12 Valores: { 1 1 ; 9 1/2 ; 1 1/3 ; 20 1/4 ; 12 1/5 } = {1; 3; 1; 2,115; 1,644} q 1 = 3 e q 2 = 2,115 R = 5,115 Toda raiz ξ satisfaz ξ < 5,115 As raízes de p(1/) são as mesmas do polinômio Valores: {(20/12) 1 ; (1/12) 1/2 ; (9/12) 1/3 ; (1/12) 1/4 ; (1/12) 1/5 } = {1,667; 0,289; 0,909; 0,537; 0,608} q 1 = 1,667 e q 2 = 0,909 r = 0,388 Toda raiz ξ satisfaz ξ > 0,388

24 Separação de raízes reais Separar as raízes de um polinômio é encontrar uma sequência de subintervalos distintos, tais que cada um contenha eatamente uma raiz real, e cada raiz real esteja contida em um desses subintervalos Teorema de Budan: Seja p (k) (c) o valor da k-ésima derivada d do polinômio i p() calculada l para = c. Seja V c o número de variações de sinal na sequência p(c), p (c), p (c) (c),..., p (n) (c), onde n é o grau de p(). Então, o número de raízes de p() no intervalo (a,b) é igual ou menor que V a -V b. Se for menor, será por um número par Eventuais valores nulos devem ser desprezados na contagem de variações á Este teorema não dá informações sobre a multiplicidade das raízes, ou seja, uma mesma raiz pode ser contada várias vezes...

25 Eemplo p() = Pela regra de Descartes, como há duas variações de sinal, p() tem 2 ou 0 raízes positivas Derivadas de p(): p () p() = ; p () = 6 4; p () = 6 Por Laguerre-Thibault, sabe-se que a cota superior é 3. Portanto, tomemos (a,b) = (0;3): p(0)=2; p (0)=-1; p (0)=-4; p (0)=6 p(3)=8; p (3)=10; p (3)=14; p (3)=6 V 0 =2 e V 3 =0: há 2 ou 0 raízes em (0;3) Dividindo-se o intervalo em (0;3/2) e (3/2;3), é possível verificar que V 3/2 =1: podemos concluir que há uma raiz em cada um desses subintervalos

26 Outro eemplo p() = Pela regra de Descartes, p() tem 2 ou 0 raízes positivas e 1 raiz negativa Por Laguerre-Thibault, sabe-se que a cota superior é 9, e a inferior é -1 Análise gráfica: p() De fato, é fácil comprovar que há uma raiz 0 1 negativa em [-1;0] 1 13 A tabela parece indicar que não há raízes 2 13 positivas No entanto, p(4,5) = -0,125, ou seja, há uma 4 1 raiz em [4;4,5] e outra em [4,5;5] 5 1 É preciso ter muito cuidado com as análises 6 13 gráficas

27 MatLab roots(c) Vetor coluna com as raízes do polinômio com coeficientes do vetor C poly(r) Vetor linha com os coeficientes do polinômio cujas raízes estão no vetor R polyval(c,) Avalia em o polinômio cujos coeficientes estão no vetor C

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29 Métodos iterativos Através do isolamento de raízes Na resolução de equações não lineares, qualquer método iterativo possui 4 partes: Estimativa inicial: uma aproimação Específico para a raiz de cada Atualização: uma fórmula que método recalcula a solução Critério de parada: uma condição de término para o processo iterativo Veremos Avaliador de eatidão: associado ao a seguir critério de parada, provê uma estimativa do erro cometido

30 Critérios de parada No cálculo da raiz de f() = 0 através de um processo iterativo, sejam: i: a solução obtida no passo i ε 1 e ε 2 : valores de tolerância estabelecidos L: número máimo permitido de iterações De modo geral, pode-se interromper esse processo das seguintes s maneiras: i i-1 < ε 1. má {1, i } f( i ) < ε 2 i > L Muitas iterações... erro relativo, se i > 1 erro absoluto, caso contrário O intervalo inicial deve ser bem escolhido

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32 Método da Bissecção Seja [a,b] um intervalo que contenha uma raiz de f(), onde f(a).f(b) < 0 Algoritmo: Calcula-se o ponto médio do intervalo: m = (a+b)/2 Se f( m ) 0, escolhe-se o subintervalo de [a,b] em que f tenha sinais opostos nas etremidades: f(a).f( m ) < 0 ou f( m ).f(b) < 0 é l é d Repete-se o processo até que algum critério de parada seja satisfeito

33 Bissecção: análise gráfica f() f() 2 = (a + 1 )/2 a = a = b 1 a = a 0 1 b = b 0 1 = (a + b)/2 f() 3 = ( )/2 2 = a = b 2

34 Eemplo p() = Enumeração: pela regra de Descartes, p() tem 2 ou 0 raízes positivas e 1 raiz negativa Localização: por Laguerre-Thibault, sabe-se que a cota superior é 5 e a inferior é -1 Separação: por análise gráfica, percebe-se que há apenas uma raiz negativa em [-1;0] Aplicação do Método da Bissecção: -1-2 i a f(a) b f(b) m f( m ) 1-1,0-2 0,0 21-0,5 11, ,0-2 -0,5 11, ,75 5, ,0-2 -0,75 5, ,875 1, ,0-2 -0,875 1, ,9375-0, ,9375-0,1560-0,875 1, , , ,9375-0,1560-0, , , , ,9375-0,1560-0, , , , p()

35 Estimativa do número de iterações Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a 0,b 0 ], é possível calcular l o número i de iterações do Método da Bissecção até que se tenha b i -a i < ε: b i a i = (b i-1 a i-1 )/2 = (b 0 a 0 )/2 i Deseja-se que b i -a i < ε: (b 0 a 0 )/2 i < ε 2 i > (b 0 a 0 )/ε i > (log(b 0 a 0 ) log ε)/log 2 O número de iterações tende a ser grande devido a este valor Se essa condição for satisfeita, então no final do passo i teremos um intervalo [a i,b i ] que contém a raiz ξ tal que [a i,b i ] - ξ b i -a i < ε

36 Bissecção: análise geral Vantagens: Se a função f() for contínua no intervalo inicial [a,b], o método da bissecção gera uma sequência convergente Facilidade de implementação, pois as iterações envolvem cálculos l simples Desvantagens: A convergência é lenta Eige o conhecimento prévio da região onde se encontra a raiz A etensão desse método para problemas multivariáveis é complea

37 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

38 Método da Posição Falsa Dado o intervalo [a,b], vimos que o Método da Bissecção encontra um novo intervalo através de uma média aritmética entre a e b: m = (a + b)/2 Por outro lado, o Método da Posição Falsa calcula uma média ponderada entre a e b com pesos f(b) e f(a), respectivamente: m = (a. f(b) + b. f(a) )/( f(b) + f(a) ) Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, é equivalente a m = (a.f(b) - b.f(a))/(f(b) - f(a))

39 Posição Falsa: análise gráfica f() f(b) a m b m é a interseção do eio com a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) f(a) m = (a.f(b) b.f(a))/(f(b) - f(a)) Equação da reta: ( a)/(f() - f(a)) = (b - a)/(f(b) - f(a)) No eio : = m e f( m ) = 0 m - a = -f(a).(b - a)/(f(b) - f(a)) m - a = (a.f(a) b.f(a))/(f(b) - f(a)) m = (a.f(b) a.f(a) + a.f(a) b.f(a))/(f(b) - f(a)) m = (a.f(b) b.f(a))/(f(b) - f(a))

40 Eemplo f() =.log 1 [a 0,b 0 0] = [2;3] f(a 0 ) = -0,3979 < 0 f(b 0 ) = 0,4314 > 0 0 = (a 0.f(b 0 ) b 0.f(a 0 ))/(f(b 0 ) - f(a 0 )) = 2,4798 f( 0 ) = -0,0219 < 0 Como f(a 0 ) e f( 0 ) têm mesmo sinal, a 1 = 0 e b 1 = b 0 1 = (a 1.f(b 1 ) b 1.f(a 1 ))/(f(b 1 ) - f(a 1 )) = 2,5049 f( 1 ) = -0,0011 < 0 Como f(a 1 ) e f( 1 ) têm mesmo sinal, a 2 = 1 e b 2 = b 1 E assim por diante, até que o critério i de parada seja satisfeito it

41 Posição Falsa: análise geral De modo geral, suas vantagens e desvantagens são análogas às do Método da Bissecção Se a função for côncava ou convea em [a,b], então umas das etremidades d permanecerá fia Eemplo: f() f(b) f(a) a Cuidado com o critério de parada: neste caso, o intervalo [a i,b i ] nunca ficará suficientemente pequeno, pois b i i permanece i+1 constante... b É possível modificar o método, prevendo casos como este

42 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

43 Método do Ponto Fio Seja uma função f() contínua e não linear em [a,b], onde está uma única raiz ξ O Método do Ponto Fio consiste em: transformar a equação f() = 0 na equivalente = g(), de tal modo que f(ξ) = 0 g(ξ) = ξ a partir de 0 [a,b], gerar a sequência { i } de aproimações para ξ pela relação i+1 = g( i ) O problema de se encontrar a raiz em f() foi transformado no problema de se encontrar nt o ponto fio de g() g() é chamada de função de iteração

44 Eemplo f() = Possíveis funções de iteração para f(): g 1 () = 6 2 g = 1/2 2 () ±(6 ) g 3 () = (6/) 1 g 4 () = 6/(+1)

45 Algumas situações possíveis y y = y g() g() y = Converge! Converge! y g() y g() y = y = Não converge! Não converge!

46 Convergência Teorema: Sejam um intervalo I aproimadamente centrado numa raiz ξ de f(), e g() uma função de iteração. A sequência { i } gerada pelo processo iterativo i+1 = g( i ) convergirá para ξ se: g() e g () são contínuas em I 0 I 0 g () M < 1, I

47 Demonstração 1ª parte: Se 0 I, então i I, i 0 f(ξ) = 0 ξ = g(ξ) Para i 0, i1 i+1 = g( i ) i1 i+1 - ξ = g( i ) - g(ξ) Como g() é contínua e diferenciável em I, pelo Teorema do Valor Médio, se i I então eiste c i entre i e ξ tal que g (c i ).( i ξ) = g( i ) - g(ξ) i1 i+1 - ξ = g (c i )( ).( i ξ), i 0 i+1 ξ = g (c i ). i ξ, i 0 i+1 ξ < i ξ, i 0, pois g (c i ) M < 1 Como I está aproimadamente centrado em ξ, se i I então i+1 I, i 0

48 Demonstração 2ª parte: lim i i = ξ Vimos que i+1 ξ = g (c i ). i ξ, i 0, onde c i está entre i e ξ, e sabemos que g (c i ) M < 1 1 ξ = g (c 0 ). 0 ξ M. 0 ξ 2 ξ = g (c 1 ). 1 ξ M 2. 0 ξ Generalizando: i ξ = g (c i-1 ). i-1 ξ M i. 0 ξ, i>0 c 0 está entre 0 e ξ c 1 está entre 1 e ξ c i-1 está entre i-1 e ξ 0 lim i i ξ lim i M i. 0 ξ = 0, pois 0<M<1 M1 Portanto, lim i i ξ = 0 lim i i = ξ

49 Voltando ao eemplo anterior Sabemos que as raízes de f() = são ξ 1 = -3 e ξ 2 = 2 Consideremos g 1 () = 6-2 e 0 = 1,5: 1 = g( 0 ) = 6 1,5 2 = 3,75 2 = g( 1 ) = 6 3,75 2 = -8, = g( 2 ) = 6 (-8,0625) 2 = -59, = g( 3 ) = 6 (-59,003906) 2 = -3475,4609 A sequência { i } diverge... 2 y 0 1 g() y = g 1 () = 6-2 g 1 () = -2 g 1 () e g 1 () são contínuas em R g 1 () < 1-2 < 1 -½ < < ½ O intervalo I = [-½ ½,½] ½] não satisfaz o teorema, pois não contém as raízes, nem 0...

50 Ainda o mesmo m eemplo Consideremos agora g 2 () = (6 ) 1/2 e 0 = 1,5: 1 = g( 0 ) = (6 1,5) 1/2 = 2, = g( 1 ) = (6 2,12132) 1/2 = 1, = g( 2 ) = (6 1,96944) 1/2 = 2, = g( 3 ) = (6 2,00763) 1/2 = 2,00048 A sequência { i } está convergindo para ξ 2 = 2 g() y y = g 2 () = (6 ) 1/2 g (6 2 () = -1/(2(6 -) 1/2 ) g 2 () é contínua em R para 6 g 2 () é contínua em R para < 6 g 2 () < 1 1/(2(6 - ) 1/2 ) < 1 < 5,75 O intervalo I = [1,5;2,5] satisfaz as condições do teorema

51 Outro eemplo Seja f() = 2-2, com ξ 1 = -1 e ξ 2 = 2 Sejam duas funções de iteração: g 1 () = 2 2 g 2 () = (2 + ) 1/2 g 1 () = 2: g 1 () < 1 -½ < < ½ O intervalo I = [-½,½] ½] não satisfaz o teorema g 2 () = 1/(2(2 + ) 1/2 ): g 2 () < 1 > -7/4 O intervalo I = [0;3], por eemplo, satisfaz o teorema Consideremos g 2 () = (2 + ) 1/2, 0 = 0: = = + 1/2 1 g( 0 ) (2 0 ) = 1, = g( 1 ) = (2 + 1 ) 1/2 = 1, = g( 2 ) = (2 + 2 ) 1/2 = 1, = g( 3 ) = (2 + 3 ) 1/2 = 1,98036 A sequência está convergindo para ξ 2 = 2

52 Ordem da convergência Sejam { i } uma sequência que converge para a raiz ξ, e i = i ξ o erro na iteração i 0 e 0 K<1 uma constante Se lim i e i+1 / e i = K > 0, dizemos que { i } tem ordem i i1 i q i de convergência linear e constante assintótica de erro K Se lim i e i+1 / e i = 0: a convergência será superlinear Se houver constantes p>1 e C>0 tais que lim i e i+1 / e i p = C, então p será a ordem de convergência dessa sequência, e C será a constante assintótica i de erro Quanto maior o valor de p, maior a rapidez de convergência do método iterativo No Método do Ponto Fio, pode-se demonstrar que lim i e i+1 /e i = g (ξ) < 1, ou seja, a ordem de convergência é linear

53 Demonstração Na demonstração do teorema da convergência, vimos que i+1 - ξ = g (c i ).( i ξ), i 0, onde c i está entre i e ξ Portanto, ( i+1 ξ)/( i ξ) = g (c i ) Tomando o limite quando i : lim i ( i+1 ξ)/( i ξ) = lim i g (c i ) = g (lim i c i ) = g (ξ) Logo, lim i e i+1 /e i = g (ξ) = C Além disso, C <1, pois g () g( satisfaz as hipóteses do teorema da convergência Neste caso, a convergência será mais rápida quanto menor for g (ξ)

54 Ponto Fio: análise geral Vantagens: Convergência rápida Desvantagens: Obtenção de uma função de iteração Determinação de um intervalo inicial válido Difícil implementação A importância deste método está mais no estudo dos seus conceitos que em sua eficiência computacional

55 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

56 Método de Newton-Raphson Dada uma função f() contínua no intervalo [a,b] que contém uma única raiz, e um ponto inicial 0, é possível encontrar uma aproimação para essa raiz a partir da interseção do eio com a reta tangente à curva em 0 O ponto inicial 0 é escolhido em função do comportamento da curva nas proimidades da raiz Cálculo l das aproimações: i+1 = i - f( i )/f ( i )

57 Newton-Raphson: análise gráfica f() Seja o ponto ( i, f( i )) 4 a iteração 3 a iteração 2 a iteração 1 a iteração Traça-se a reta L i+1 () tangente à curva nesse ponto: L i+1 () = f( i ) + f ( i )( i+1 - i ) No cruzamento com o eio, L i+1 () = 0: 0 = f( i ) + f ( i )( i+1 - i ) Portanto, i+1 = i -f( i )/f ( i )

58 Caso particular do Ponto Fio O Método de Newton-Raphson pode ser entendido como um caso particular do Método do Ponto Fio, onde g() = - f()/f () Calculando a derivada de g(): g () = 1 [f () 2 f().f f ()]/f () 2 g () = f().f ()/f () 2 Na raiz ξ, sabemos s que f(ξ) = 0. Desde que f (ξ) 0, então g (ξ) = 0 De acordo com o teorema da convergência do Método do Ponto Fio, podemos concluir que o Método de Newton-Raphson converge com rapidez máima para a raiz

59 Convergência Teorema: Sejam f(), f () e f () contínuas em um intervalo I que contém uma raiz ξ de f(). Supondo f (ξ) 0, eiste um intervalo Ī I contendo essa raiz tal que, se 0 Ī, a sequência { i } gerada por i+1 = i -f( i )/f ( i ) converge para ela Demonstração: basta verificar que são satisfeitas as hipóteses do teorema da convergência do Método do Ponto Fio Em outras palavras, o Método de Newton-Raphson converge desde que a aproimação inicial seja suficientemente próima da raiz Além disso, podemos comprovar que sua convergência é de ordem quadrática: lim 2 i e i+1 /e i2 = C 0 Erro de aproimação de i em relação à raiz

60 Convergência de ordem quadrática i+1 = i -f( i )/f ( i ) = g( i ) i+1 - ξ = i ξ -f( i )/f ( i ) e i+1 = e i -f( i )/f ( i ) Desenvolvimento de Taylor de f() em torno de i : f() = f( i ) + f ( i ).(- i ) + f (c i ).(- i ) 2 /2, onde c i está entre e i Para = ξ: 0 = f(ξ) = f( f ( )( f (c )( i ) - f( i ).( i -ξ) + i ).( i -ξ) 2 /2 f( i ) = f ( i ).e i - f (c i ).e i2 /2 e i -f( i )/f ( i ) = f (c i ).e i2 /2f ( i ) Utilizando a fórmula acima: f (c i ).e i2 /2f ( i ) = e i+1 e i+1 /e i2 = f (c i )/2f ( i ) lim 2 i e i+1 /e i2 = lim i f (c i )/2f ( i ) = f (ξ)/2f (ξ) lim i e i+1 /e i2 = g (ξ)/2 lim 2 i e i+1 /e i2 = C g () = f().f ()/f () ()/f 2 g () = [(f ().f () + f ().f()).f () 2 2f ().f ().f().f ()] /f () 4 g (ξ) = f (ξ).f (ξ)/f (ξ) 2 g (ξ) = f (ξ)/f (ξ)

61 Eemplo f() = f () = = -1,0 1 = 0 - f( 0 )/f ( 0 ) = -1,0 + 2/30 = -0, = 1 -f( 1 )/f ( 1 ) = -0, = 2 - f( 2 )/f ( 2 ) = -0, = 3 -f( 3 )/f ( 3 ) = -0,

62 Casos de loop infinito Em alguns casos, o Método de Newton-Raphson pode entrar em loop... Eemplos: f() f() 1 = 3 0 = 2 0 = 2 1 = 3

63 Newton-Raphson: análise geral Vantagens: Convergência rápida Desvantagens: Risco de loop infinito (casos raros) Necessidade d da obtenção de f () Uma aproimação: f () [f(+є) f()]/є, com є pequeno Risco de chegar a i tal que f ( i ) = 0 Dificuldade de se encontrar uma aproimação inicial adequada d O Método da Bissecção pode ser utilizado para se obter uma boa aproimação inicial i i

64 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

65 Método da Secante Para se evitar o cálculo de derivadas,,podemos usar um modelo linear baseado nos valores mais recentes de f() Partindo de duas aproimações i-1 e i, calculamos a reta que passa por ( i-1,f( i-1 )) e ( i,f( i )). A interseção desta reta com o eio determina a nova aproimação i1 i+1, e o processo continua a partir de i e i+1 Cálculo das aproimações: i+1 = i ( i i-1 ).f( i )/(f( i ) - f( i-1 ))

66 Secante: análise gráfica f() a iteração 3 a iteração 2 a iteração 1 a iteração Sejam os pontos ( i-1,f( i-1 )) e ( i,f( i )) Traça-se a reta L i+1 () que passa por ambos os pontos: L i+1 () = f( i ) + ( i+1 - i ).(f( i ) - f( i-1 )/( i i-1 ) No cruzamento com o eio, L i+1 () = 0: 0 = f( i ) + ( i+1 - i ).(f( ( i ) -f( i-1 )/( i i-1 ) Portanto, i+1 = i ( i i-1 ).f( i )/(f( i ) - f( i-1 ))

67 Eemplo f() = ξ = 2; 0 = 1,5; 1 = 1,7 2 = 1 ( 1 0 )f()/(f( ).f( 1 )/(f( 1 ) - f( 0 )) 2 = 1,7 (1,7-1,5).(-1,41)/(-1,41+2,25) = 2, = 1, = 1,99999

68 Convergência Como o Método da Secante é uma aproimação do Método de Newton-Raphson, as condições de convergência são praticamente as mesmas Pode-se demonstrar que, no Método da Secante, lim i e i1 i+1 /e ip = C 0, onde p = ½(1+5 1/2 ) 1,618 (razão áurea) Portanto, t esse método é um pouco mais lento que o Método de Newton-Raphson Além disso, é importante frisar que pode divergir se f( i ) f( i-1 )

69 Secante: análise geral Vantagens: Convergência quase tão rápida quanto Newton- Raphson Cálculos mais simples Desvantagens: Dificuldade de se encontrar as aproimações iniciais Pode divergir i se a curva for quase paralela l ao eio Dados i-1 e i, i+1 pode cair fora do domínio de f O Método da Bissecção também pode ser utilizado para se obter as aproimações iniciais

70 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

71 Uma comparação Função Raiz Critério de parada f() = e -. cos ξ (1;2) f( i ) < 10-4 ou i i-1 < 10-4 Dados iniciais i (iterações) Bissecção Posição Falsa Ponto Fio g() = cos e -. + Newton- Raphson Secante [1;2] [1;2] 0 = 15 1,5 0 = 15 1,5 0 = 1; 1 = i 1, , , , , f( i ) 2, , , , , Erro em i 6, , , , ,

72 Considerações finais Principais critérios de comparação entre os métodos: garantia e rapidez de convergência e esforço computacional Convergência: Bissecção e Posição Falsa: basta que a função seja contínua no intervalo [a,b] e que f(a).f(b) < 0 Ponto Fio, Newton-Raphson e Secante: condições mais restritivas, mas maior rapidez Quando não for difícil verificar as condições de convergência, convém usar o Método de Newton-Raphson; se o cálculo de f () for muito complicado, tentar o Método da Secante

73 MatLab fzero(função, 0) Dada uma função como parâmetro, retorna uma raiz que esteja próima de 0 Eemplos: fzero(inline( ^10 ( 3 ), 1) fzero(inline( ^10 3 ), [0 2])

74 Introdução CCI-22 Enumeração das raízes de um polinômio Isolamento das raízes de um polinômio Métodos iterativos Bissecção Posição Falsa Ponto Fio Newton-Raphson Secante Considerações finais Sistemas de equações não lineares

75 Sistemas de equações não lineares Dada uma função não linear F: D R n R n, F = (f 1,..., f n ) T, o objetivo é encontrar as soluções de F() = 0 Equivalentemente: f 1 ( 1, 2,..., n ) = 0 f 2 2( ( 1, 2 2,,..., n n) = 0... f n ( 1, 2,..., n ) = 0 onde pelo menos uma função f i (), 1 i n, onde pelo menos uma função f i (), 1 i n, não é linear

76 Eemplos f 1 ( 1, 2 ) = = 0 f 1 ( 1, 2 ) = ,2 = 0 f 2 ( 1, 2 ) = /9 1 = 0 f 2 ( 1, 2 ) = = 0 4 soluções Não há soluções

77 Matriz Matriz Jacobiana Jacobiana O vetor das derivadas parciais de cada função f i ( 1,..., n ), 1 i n, é denominado vetor gradiente de f i e será denotado por f i (): T n i i i i f(),, f(), f() () f = L 2 1 A matriz J() das derivadas parciais de F() é chamada de Matriz Jacobiana : n T ) ( f ) ( f ) ( f f () f () f () f () L = = n T T () f () f () f () f J() M O M M L M n n n n T n f () f () f () f () L M O M M 2 1

78 Método de Newton A resolução mais estudada e conhecida de sistemas de equações não lineares é o Método de Newton Analogamente ao caso de uma única equação, dada a aproimação (k) D, para qualquer D eiste c i D tal que f i () = f i ( (k) ) + f i (c i ) T.( (k) ), onde 1 i n Aproimando ff f i (c i ) por f i ( (k) ), 1 i n, temos um modelo local para f i () em torno de (k) : f i () f i ( (k) ) + f i ( (k) ) T.( (k) ), onde 1 i n Consequentemente: F() L )( k () = F( (k) ) + J( (k) ).( (k) ) L k () = 0 J( (k) ).( (k) ) = -F( (k) ) (k) (k) (k 1) (k) (k) Chamando s (k) = (k), temos que (k+1) = (k) + s (k), onde s (k) é solução do sistema linear J( (k) ).s = -F( (k) )

79 Eemplo F() = ª iteração: (0) 3 (0) 1 1 F( ) = J( ) = Soluções: * = [3 0] T e ** = [0 3] T J() 1 1 = (0) 1 = ,625 s = s = ,375 ( 2ª iteração: F( (1) 0 ) = 4,53125 (1) J( = (1) (0) + s 1 ) = 1,25 1 1,625 0,625 = + = 5 1,375 3, , ,533 s = s = 1,25 7,25 4, , 533 (2) = (1) + s = 0, ,625 0,533 0,533 = 0,092 3,0917

80 Método de Newton Modificado Sob condições adequadas envolvendo o ponto inicial (0), a função F() e a matriz Jacobiana J(), a sequência { (k) } gerada pelo Método de Newton converge para a raiz com taa quadrática No entanto, cada iteração eige a resolução do sistema J( (k) ).s = -F( (k) ), que compromete seu desempenho. Além disso, eiste o risco de que alguma J( (k) ) seja singular... Uma possível modificação é utilizar a matriz J( (0) ) em todas as iterações: desse modo, a sequência { (k) } será gerada através de (k+1) = (k) + s (k), onde s (k) é solução do sistema linear J( (0) ).s = -F( (k) ). Escolhe-se (0) tal que J( (0) ) seja não singular A decomposição LU da matriz J( (0) ) melhora o desempenho deste novo algoritmo, que é chamado Método de Newton Modificado. No entanto, sua taa de convergência passa a ser linear

81 Mesmo eemplo F() = ª iteração: (0) 3 (0) 1 1 F( ) = J( ) = Soluções: * = [3 0] T e ** = [0 3] T J() 1 1 = (0) 1 = ,625 s = s = ,375 ( (1) = (0) + s = 1 1,625 0,625 + = 5 1,375 3,625 2ª iteração: F( (1) ) = 0 4, s 10 = 0 4,53125 s = 0, , (2) = (1) + s 0,625 0, = + 3,625 0, = 0, ,