( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) ( ) R i. Método de Newton. Método de Newton = Substituindo i por x, teremos: 1.Introdução 2.
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- Lucca Medina Bernardes
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I R A = + i ( i ) n Método de Newton Substituindo i por, teremos: 8000 = 7 + ( ) 0 Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Método de Newton.Introdução.Eemplos Desenvolvendo a epressão anterior, obteremos: = ( + ) 8000 = = ( ) 0 ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 0 Equação Suponha que um vendedor de carro ponha um carro à venda por $ 8.000, ou em pagamentos de $ 7 por mês durante cinco anos. Você gostaria de saber qual a taa de juros mensal que o vendedor de fato está cobrando. Para resolver esse problema você necessitará da fórmula para o valor presente A de uma anuidade que consiste em n pagamentos iguais de tamanho R com uma taa de juros i por período de tempo: Como você resolveria essa questão? Para uma equação quadrática a + b + c = 0 eiste uma fórmula bem conhecida para as raízes. Para as equações de terceiro e quarto grau também eistem fórmulas para as raízes, mas elas são etremamente complicadas.
2 Se f for um polinômio de grau ou maior, não eiste nenhuma fórmula. Da mesma forma, não eiste uma fórmula que nos possibilite encontrar as raízes eatas de uma equação transcendental como cos =. Podemos encontrar uma solução aproimada para a Equação desenhando o lado esquerdo da equação. Usando um recurso computacional para traçar o gráfico e, aplicando zoom para verificar o intervalo onde o gráfico tem ordenada igual a zero, obteremos a figura a seguir. 7 Vemos que, além da solução = 0 (que não nos interessa), eiste uma solução entre 7 e 8. Dando um zoom verificamos que a raiz é aproimadamente 7. Se precisarmos de maior precisão, poderemos dar repetidos zooms, mas isso se torna entediante. Uma alternativa mais rápida é usar um método numérico de encontrar raízes em uma calculadora ou em algum software matemático. Se fizermos isso, encontraremos que a raiz correta, até a nona casa decimal, é , 0,0 0, ,0-0,0 Como funcionam esses métodos numéricos de encontrar raízes? É usada uma variedade de métodos, mas a maior parte das calculadoras ou computadores usa o método de Newton, também denominado método de Newton-Raphson. Vamos eplicar agora como funciona esse método, parcialmente para mostrar o que acontece dentro de uma calculadora ou computador, e como uma aplicação da idéia de aproimação linear. Gráfico da função f() = 8( + ) 0 ( + ) , 0,0 A geometria por trás do método de Newton está mostrada na figura a seguir, onde a raiz que tentamos encontrar é chamada r. 0, Começamos com uma primeira aproimaçõa, que é obtida por conjectura, ou de um esboço do gráfico de f, ou de um gráfico gerado no computador da função f. -0,0 Zoom aplicado à função f() = 8( + ) 0 ( + ) 0 + no intervalo de a 8 9
3 Se f ( ) 0, podemos resolver essa equação para : f ( ) = f ( ) de r. Usamos como a segunda aproimação Método de Newton para a determinação da a aproimação Considere a reta tangente L à curva y = f() no ponto (, f( )). Olhando o intercepto de L, vamos denominá-lo. A idéia por trás do método de Newton é que a reta tangente fica próima da curva; assim, o intercepto,, está próimo do intercepto da curva (isto é, a raiz r que estamos procurando). Como a tangente é uma reta, podemos facilmente encontrar seu intercepto. A seguir repetimos o procedimento com substituído por, usando a reta tangente em (, f( )). Isso dá uma terceira aproimação: f ( ) = f ( ) 7 Para encontrar uma fórmula para em termos de usamos o fato de que a inclinação de L é f ( ); assim, sua equação é y f ( ) = f ( )( ) Uma vez que o intercepto de L é, fazemos y = 0 e obtemos 0 f ( ) = f ( )( ) Se ficarmos repetindo esse processo, obteremos uma sequência de aproimações,,,,, conforme mostra a figura a seguir. Em geral, se n for a n-ésima aproimação e n e f ( n ) 0, então a aproimação seguinte é dada por f ( n ) = n + n f ( ) Equação n 8
4 Método de Newton para a determinação das raízes 9 Falta de convergência no Método de Newton Se os números n ficam cada vez mais próimos de r à medida que n cresce, dizemos que a sequência converge para r e escrevemos lim n = r n Esse é provavelmente o caso quando f ( ) está próimo de 0. Pode até acontecer de uma aproimação (tal como na figura anterior) cair fora do domínio de f. Então o Método de Newton falha e uma melhor aproimação inicial deve ser escolhida. 0 Embora a sequência de aproimações sucessivas convirja para a raiz desejada no caso das funções do tipo ilustrado na figura anterior, em certas circunstâncias a sequência pode não convergir. Eemplo : Começando com =, encontre a terceira aproimação para a raiz da equação = 0. Por eemplo, considere a situação mostrada na figura a seguir. Você pode ver que é uma aproimação pior que.
5 Solução: Vamos aplicar o método de Newton com f f ( ) = e ( ) = O próprio Newton usou essa equação para ilustrar seu método, e escolheu = após alguns eperimentos, pois f() = -, f() = - e f() =. A Equação fica n n n+ = n n,00 0,0-0,0 -,00 -,0 -,00 y = 0 -,80,90,00,0,0 (, -) Zoom aplicado ao gráfico da função f() = e sua reta tangente y = 0 no ponto de coordenadas (, -), cujo zero está em =, (resultado da a aproimação obtido pelo Método de Newton) 8 Com n =, temos = = =, Então com n =, obtemos (,) (,) = =,,09 (,) Resulta que essa terceira aproimação,09 é precisa até quatro casas decimais. Por quê? Suponha que iremos obter uma dada precisão, digamos de oito casas decimais, empregando o método de Newton. Como saber quando devemos parar? O procedimento eperimental geralmente usado é que devemos parar quando duas aproimações sucessivas n e n+ são iguais até a oitava casa decimal. 9,00,00,00,00,0,0,0,80,00,0,0,0 (, -) -,00 Observe que o procedimento para ir de n para n + é o mesmo para todos os valores de n. (Isso é chamado um processo iterativo.) Isso significa que o método de Newton é particularmente adequado ao uso de calculadoras programáveis ou de um computador. -,00 -,00 Gráfico da função f() = e sua reta tangente y = 0 no ponto de coordenadas (, -) 7 0
6 Eemplo : Use o método de Newton para encontrar correta até a oitava casa decimal. Eemplo : Encontre a raiz da equação cos =, correta até a seta casa decimal. Solução: Observamos primeiro que encontrar o valor da epressão equivale a determinar a raiz positiva da equação = 0 dessa forma, tomamos f() =. Então f () =, e a Fórmula (método de Newton) fica Solução: Primeiro reescrevemos a equação na fórmula-padrão: cos = 0 Portanto, fazemos f() = cos. Então f () = -sen -, e assim a Fórmula fica n n+ = n n cos cos = = + n n n n n+ n n sen n sen n + Se escolhermos = como a aproimação inicial, então obtemos,7,8,9707,0,0 Uma vez que e são iguais até a oitava casa decimal, concluímos,0 até a oitava casa decimal. A fim de determinar um valor adequado para, esboçamos o gráfico de y = cos e y = na figura a seguir. É evidente que elas se interceptam em um ponto cuja coordenada é um pouco menor que ; dessa forma, vamos tomar = como uma primeira aproimação conveniente. Então, lembrando de colocar a calculadora no modo radiano, obtemos
7 ,00,0 y = cos,0,00 0,0 y =,0,0 0,90 0,70 y = cos -,00 -,00 -,00,00,00,00-0,0 -,00 -,0 -,00 0,0 y = 0,0 0,0 -,00 0,0 0,0 0,0 0,80,00-0,0-0,0 Gráficos das funções y = cos e y = 7 Zoom aplicado às funções y = cos e y = 0 0,7087 0,7989 0,7908 0,7908 Como e são iguais até a seta casa decimal (na realidade, oitava), concluímos que a raiz da equação, correta até a seta casa decimal, é 0,7908. Então o método de Newton dá 0,79 0,7908 0,7908 e assim obtemos a mesma resposta anterior, mas com um número menor de passagens. 8 Em vez de usarmos o esboço da figura anterior para obter a aproimação inicial para o método de Newton no Eemplo, poderíamos ter usado um gráfico mais apurado fornecido por calculadora ou computador. A figura a seguir sugere o uso de = 0,7 como a aproimação inicial. 9 7
Método de Newton. 1.Introdução 2.Exemplos
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