Conceito de tensões Exercícios O Tensor de tensões. Tensões. 10 de maio de Tensões

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Victoria Andrade Miranda
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1 10 de maio de 2013

2 Conceito de tensão Conceito de tensões 2 F 2 Com os conceitos da física a pressão P no interior do duto é constante e tem valor: P= F 1 A 1 = F 2 A 2 F 1 1 Os macacos hidráulicos são aplicações diretas desta equação, pois com uma pequena força aplicada na etremidade 1 do sistema de êmbolos pode-se produir uma força de magnitude considerável na etremidade 2, dependendo da raão entre as áreas A 1 e A 2.

3 Observações sobre a grandea pressão Unidade: força/área SI Pa (Pascal)=/m 2 O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas a direção e sentido não. Pode-se dier então que a pressão é uma grandea vetorial. A direção da força F 2 gerada no sistema de êmbolo é sempre a mesma da pressão atuante na seção 2, e esta direção é sempre normal à superfície do êmbolo.

4 Por que surgiu a pressão no interior do duto? Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e eistem restrições ao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, no caso do êmbolo da figura, se não eistir resistência na seção 2, o fluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimento de pressões internas. Em outras palavras, é preciso que haja confinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dos dutos (pressão negativa). F 2 2 F 1 1

5 Analogia com sólidos F 1 F 1 F 2 F 2 fluido solido Da mesma maneira que nos fluidos, tem-se duas possibilidades: ou o sólido entra em movimento ou, no caso onde eistam restrições ao deslocamento, surgem o que nos sólidos se denominam tensões e deformações.

6 A grandea tensão pode então ser definida como sendo força/unidade de área, ou seja: ρ= F A Sendo a força uma grandea vetorial, a tensão também o será.

7 As tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas: 1 normais: é a componente da tensão na direção da normal eterna ao plano e é o resultado de um carregamento que provoca a aproimação ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. σ = lim A 0 A = A

8 2 cisalhantes ou tangenciais: é a componente da tensão no plano da seção e é o resultado de um carregamento que provoca um desliamento relativo de moléculas que constituem o sólido. Q = lim A 0 A = Q A

9 Duas peças de madeira de seção retangular 80mm 140mm são coladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura. Calcular as tensões na cola para P=16 k e para: a)θ=30 o ; b)θ=45 o ; c)θ=60 o Resposta: a)σ =357,1 kpa, =618,6 kpa ; b)σ = =714,3 kpa ; c)σ =1071,0 kpa, =618,6 kpa. P θ P 9

10 Calcular o comprimento total 2L da ligação de duas peças de madeira, conforme a figura, e a altura h necessária. Dados P=50 k, b= 250mm, tensão admissível ao corte na madeira 0,8MPa e à compressão 6,5 MPa. Resposta: 2L = 500mm ; h= 31mm. P b h P L L

11 Duas placas são unidas por 4 parafusos cujos diâmetros valem d= 20mm, conforme mostra a figura abaio. Determine a maior carga P que pode será plicada ao conjunto. As tensões de cisalhamento,de tração e de esmagamento são limitadas a 80, 100 e a 140 MPa, respectivamente. Resposta: P= 90K.

12 Um parafuso de 20mm de diâmetro é apertado contra uma peça de madeira eercendo-se uma tensão de tração de 120 MPa como mostra a figura. Calcular a espessura e da cabeça do parafuso e o diâmetro eterno d da arruela, dadas as tensões admissíveis 50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, a compressão na madeira Resposta: e=12 mm ; d=72,11 mm. d e

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14 empuo de agua empuo de terra peso proprio. M Eistem forças tentando aproimar ou afastar moléculas no entorno de M, nas três direções ortogonais, gerando tensões normais nestas três direções. Eistem forças tentando desliar moléculas no entorno de M, nas três direções ortogonais, gerando tensões tangenciais ou cisalhantes nestas três direções.

15 . M o σ ρ o 90 peso empuo empuo proprio. M de agua de terra no ponto M num plano de normal A tensão num dado ponto da estrutura depende do plano no qual se calcula a tensão. Admitindo-se um plano passando por M e que possui uma normal definida pelo vetor, pode-se dier que a tensão ρ, no ponto M no plano considerado, é a soma vetorial da tensão normal σ com tensão tangencial, conforme figura. ρ = lim A 0 d F A onde d F é a força de interação atuante na área A.

16 . M o σ ρ 90 o o M σ o M o M (a) Vetor ρ σ ρ σ ρ (b) Vetor ρ ρ (c) Vetor ρ Figura : tensões nos três planos ortogonais

17 o M σ o M o M (a) Vetor ρ σ ρ σ ρ (b) Vetor ρ ρ (c) Vetor ρ Figura : tensões nos três planos ortogonais σ= ρ ρ ρ = σ σ σ As tensões normais são indicadas pela letraσeas tangenciais pela letra;

18 o M σ o M o M (a) Vetor ρ σ ρ σ ρ (b) Vetor ρ ρ (c) Vetor ρ Figura : nos três planos ortogonais ρ σ σ= ρ = σ ρ σ O primeiro índice identifica o plano considerado, pois indica a direção de sua normal. Eemplo: primeiro índice plano: ;

19 o M σ o M o M (a) Vetor ρ σ ρ σ ρ (b) Vetor ρ ρ (c) Vetor ρ Figura : nos três planos ortogonais ρ σ σ= ρ = σ ρ σ O segundo identifica a direção da componente do vetor tensão. Eemplo: segundo índice direção da tensão: ;

20 σ= ρ ρ ρ = σ σ σ σ σ σ M d σ d d σ σ

21 σ σ σ M d σ d d σ σ Convenção de sinais: deve ser de tal maneira que não permita que uma mesma tensão tenha valores algébricos de sinais opostos quando se analisa uma face ou outra do sólido de tensões. Por esta raão, adota-se referenciais opostos para cada uma das faces opostas do sólido em torno do M.

22 σ σ σ M d σ d d σ σ Convenção de sinais: Para as tensões normais: são positivas quando estão associadas à tração e negativas quando estão associadas à compressão.

23 σ σ σ M d σ d d σ σ Convenção de sinais: Para as tensões tangenciais: quando a normal eterna do sólido de tensões apontar no mesmo sentido do eio coordenado, as tensões tangenciais são positivas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eio coordenado. Quando a normal eterna do sólido de tensões apontar no sentido contrário do eio coordenado, as tensões tangenciais são positivas quando apontarem para o sentido contrário do seu respectivo eio

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