DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA. ) uma base ortonormal positiva de versores de V. Digamos que a lei de transformação do operador T seja dada por:
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- Rafaela Lopes Branco
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1 PME-00 - Mecânica dos Sólidos a ista de Exercícios Apresentar as unidades das seguintes grandezas, segundo o Sistema nternacional de Unidades (S..: a comprimento (l; i rotação (θ; b força concentrada (P; j deformação linear (ε; c força distribuída por unidade de k distorção (γ; comprimento (ω; l módulo de elasticidade (E; d força distribuída por unidade de área (p; m módulo de elasticidade transversal (ou de e força distribuída por unidade de volume (b; cisalhamento (G; f tensão normal (σ; n trabalho (W; g tensão cisalhante (τ; o energia (U; h deslocamento (δ; Calcule as seguintes integrais definidas: a A = dx 0 ( + x c C = sen θ. dθ d D = cos 0 b B = 0 0 ( + x θ. dθ Seja V o espaço vetorial definido no espaço euclidiano E. Seja T: V V um operador vetorial linear. Seja por fim b = ( ex, e y, ez uma base ortonormal positiva de versores de V. Digamos que a lei de transformação do operador T seja dada por: ρ = T[n] Obs: na Mecânica dos Sólidos, o operador T pode estar representando o estado de tensões completo em um determinado ponto de uma estrutura. Neste caso, o versor n representa a normal externa a um plano que passa pelo citado ponto, seccionando a estrutura em duas partes, e ρ representa o vetor tensão associado ao ponto e ao plano dados. Se a matriz que define o operador T na base b é dada por: [ T ] b = pede-se: a os auto-valores de T; b os auto-vetores de T (expressos na base b, já normalizados; c verificar a condição de ortogonalidade entre os auto-vetores encontrados. dx
2 Obs: no caso do exemplo de aplicação citado, os auto-vetores de T representam as tensões principais no ponto e os auto-vetores representam as direções do espaço em que estas tensões ocorrem. As figuras abaixo mostram as seções transversais de alguns elementos estruturais bastante comuns na Engenharia (formados por barras prismáticas. Pede-se determinar, por integração, os momentos de inércia segundo os eixos principais de flexão y e z indicados (no caso das figuras (a e (b, determine também o momento polar de inércia. z r y z y z y h (a (b b (c Obs: Na figura (b são dados o raio interno (r i e externo (r e da seção. 5 Considerando a hipótese de linearidade geométrica, determine como variam os esforços solicitantes existentes nas seguintes estruturas formadas por arco (explicite a variação em função dos esforços indicados e do ângulo usado para definir uma seção genérica: r a b P P r 6 Considere a viga engastada ilustrada na figura a seguir (à esquerda, cuja seção transversal está esquematizada à direita. Sabe-se que o comprimento total da viga é l =,0 m e que está sendo utilizado o perfil W x 60, cujas características são dadas abaixo (ver Timoshenko & Gere, Mecânica dos Sólidos, v., Editora TC, 98, pg.. Dado: E = 00 GPa.
3 Peso distribuído Área Altura argura da Flange Espessura da Flange Espessura da Alma (eixo - (eixo - 60 lbf/ft 7, in,7 in,09 in,5 in 0,656 in 50 in 50 in Pede-se: a o valor da maior tensão normal de tração existente nas seções transversais da viga, devida a seu peso próprio (indique em que ponto(s ocorre tal tensão; b o valor da maior tensão de cisalhamento existente nas seções transversais da viga (indique em que ponto(s ocorre tal tensão. 7 Um tubo de aço (σ e = 8 kgf/mm deve suportar uma carga de compressão de 5 tf, com um coeficiente de segurança contra o escoamento de,8. Sabendo que a espessura da parede do tubo é um oitavo do diâmetro externo, calcular o diâmetro externo mínimo necessário. 8 Duas barras, AB e BC, de seções transversais distintas (a serem determinadas, suportam uma carga vertical P. As barras são feitas do mesmo material, e o comprimento da horizontal BC é mantido fixo. Entretanto, o ângulo θ pode variar pelo movimento vertical do ponto A, alterando-se o comprimento da barra AB para corresponder às novas posições. Supondo que as tensões admissíveis, à tração e à compressão, sejam iguais (digamos, σ ad e que as barras sejam carregadas até que este valor seja alcançado (nas duas barras simultaneamente, determinar o ângulo θ que dê à estrutura o peso mínimo de construção. A C θ B P 9 Determinar o comprimento de um eixo de aço (G = 8, x 0 kgf/mm de diâmetro d = 50,0 mm, se a tensão de cisalhamento máxima for 9,5 kgf/mm quando o ângulo de torção tiver 6 o.
4 0 O eixo propulsor de um navio é vazado e transmite 8000 cv a 00 rpm com uma tensão de cisalhamento máxima de,5 kgf/mm. Achar o diâmetro externo, d, do eixo se o diâmetro interno for d/. A viga ABCD, mostrada na figura, tem as extremidades em balanço e suporta uma carga distribuída cuja intensidade varia linearmente. Para que razão de a/ a força cortante V será sempre nula no meio da viga? q q A B C D a a Três rodas movem-se através de uma viga simplesmente apoiada, como mostrado na figura. Determinar a posição das rodas, segundo a distância d, de modo a produzir o momento fletor máximo na viga, admitindo que P = 000 kgf e P = P = 8000 kgf. Determinar também o valor do momento fletor máximo nesta situação. d P P P a b l Dados: a =,5 m; b = 6,0 m; l = 5 m. Exercícios Sugeridos (ivro Texto Referência: Gere, J.M., Mecânica dos Materiais, São Paulo: Pioneira Thomson earning, 00, 698 p. Tração e Compressão:..,..5,..,..8 Torção:..,..8,..5,.7.,.7.9 Flexão:..,..,..5,..7,..9,..,.5.8,.5.6,.5.
5 Referência: Gere, J.M. & Goodno, B.J., Mecânica dos Materiais, Cengage earning, 00, 858 p. Tração e Compressão:..,..7,..6,..9 Torção:..,..9,..,.7.,.7.9 Flexão:..,..5,..6,..7,..9,..,.5.8,.5.8,.5.0 5
6 PME-00 - Mecânica dos Sólidos a [l] = m b [P] = N c [ω] = N/m d [p] = N/m = Pa e [b] = N/m f [σ] = N/m = Pa g [τ] = N/m = Pa h [δ] = m Respostas da a ista de Exercícios i [θ] =rad j ε é adimensional k γ é adimensional l [E] = N/m = Pa m [G] = N/m = Pa n [W] = N.m = J o [U] = J a a c A = b B = 7 sen( sen( C = d D = + σ = 0,95 σ = 8 σ = 0,95 e n n n = ( 0,77; 0,60 ; 0 = (0 ; 0 ; = (0,60 ; 0,77 ; 0 b Os auto-vetores encontrados são ortogonais entre si. Note também que os três versores juntos ( n, n, n formam uma outra base ortonormal positiva, e o tensor T escrito com relação a esta nova base (b fica dado por: 0, [ T ] b' = ,95 a b c yy yy πr πr = zz = p = π ( re ri = zz = b. h h. b = zz yy = p π ( re ri = 6
7 5 a N( = P.cos V ( = P.sen M ( = P. r.( cos (força normal (força cortante (mom.fletor b V ( = P M ( = P. r.sen T ( = P. r.( cos (força cortante (mom.fletor (mom.torçor (em cada caso: 0 π 6 a σ máx =,75 MPa = 99 psi b τ = 0,99 MPa = psi máx 7 d e,mín = 5 mm 8 θ = 5 o 9 = 97 mm 0 d e = 6 mm a = d = 7,86 m M máx = 859 kgf.m 7
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