Grandezas Físicas Fundamentais

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1 ANÁLISE DIMENSIONAL

2 Grandezas Físicas Fundamentais Grandeza Física Unidade no SI Comprimento L metro m Massa M quilograma kg Tempo T segundo s Temperatura termodinâmica Corrente elétrica Intensidade luminosa Quantidade de matéria Símbolo da Dimensão kelvin K I ampère A I 0 candela Símbolo da Unidade no SI cd N mols mol

3 EXEMPLOS

4 ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS Velocidade: [v]=lt -1 Aceleração: [a]=lt -2 Força: [F]=MLT- 2 Trabalho: [E]=ML 2 T -2 Energia: [E]=ML 2 T -2 Torque: [E]=ML 2 T -2 Potência: [P ot ]=ML 2 T -3 Momento: [Q]=ML T -1 Velocidade angular: [ω]=t Freqüência: [f]=t -1

5 Carga elétrica : [q]=it Campo elétrico : [E]=MLT -3 I Potencial elétrico : [U]=ML 2 T -3 I -1 Resistência elétrica: [R]=ML 2 T -3 I -2 Campo magnético: [B]=MT -2 I -1 Fluxo magnético [Ф]=ML 2 T -2 I -1

6 Calor específico: [c]=l 2 T -2 θ -1 Coeficiente de dilatação [ α ]= θ -1 Fluxo de calor: [ Ф ]= ML 2 T -3 Intensidade sonora [I]=MT -3

7 GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS Coeficientes de atrito Índice de refração Rendimento Nível de intensidade sonora

8 Principais usos: Verificação da homogeneidade de fórmulas; Previsão de equações físicas; Mudança de unidades;

9 TEOREMA DE BRIDGMAN Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potências das grandezas primárias. Suponhamos que uma grandeza secundária G seja uma função das grandezas primárias A, B,C... Z. O teorema de Bridgman diz que se poderá escrever: G=KA α B β C γ...z ω

10 ATENÇÃO!!! Todo arco é adimensional. Toda função trigonométrica é adimensional Todo expoente é adimensional. Toda grandeza definida pela razão de duas grandezas físicas, de mesma dimensão, é adimensional. Só podemos somar e subtrair grandezas físicas de mesma dimensão.

11 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL Uma equação física verdadeira deve ser dimensionalmente homogênea, isto é, dever ter em ambos os membros a mesma fórmula dimensional.

12 Homogeneidade das equações Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em função do tempo (t) por: X= A + B cos(ct). Sendo [X]=L, obtenha a fórmula dimensional de A, B e C.

13 Resolução... X= A + B cos(ct) 0 0 [ A] = M LT sendo... [ Ct] = M L T [ ][ ] = = [ ] [ C] = M L T C t M L T C T sendo...cos( ct) = adnensional [ B] = M LT 0 0

14 exemplos a 2 S = S0 + Vt 0 + t 2 a 2 [S] = [S] 0 + [Vt] 0 + [ t] 2 L = L + LT T + LT T L = L + L + L V = V + 2a S [V] = [V] + [2a S] (LT ) = (LT ) + LT L LT = LT + LT

15 exemplos Teorema do Impulso I = Q F t = mv mv F 0 [F t] = [mv] F [mv] 0 MLT T = MLT MLT MLT = MLT MLT 1 1 1

16 Previsão de fórmulas A intensidade da resultante centrípeta é função apenas da massa, da velocidade e do raio da trajetória. Por análise dimensional obter, a menos da constante adimensional(k), a expressão da intensidade da força centrípeta.

17 Resolução F = cp x ( ) ( ) y ( ) 2 1 MLT = K M LT L 2 x y + z y MLT = KM L T x = 1 y + z = 1 x = 1; y = 2; z = 1 y = 2 F cp = Fcp = K r Km v r Km v r mv 2 x y z z

18 Previsão de fórmulas Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período(t) de oscilação de um pêndulo simples alterando o comprimento do fio(l), a massa(m) e considerando a gravidade(g) local. Como pode ele, usando análise dimensional, obter uma fórmula para calcular t, isto é, uma função do tipo t=f(l,m,g).

19 Resolução t = Km l g x y z x y 2 z [ t] = M L T = ( M ) ( L) ( LT ) M L T = M L T x y+ z 2z x = o 1 1 y + z = 0 x = 0; z = ; y = 2 2 2z = x y z t = Km l g = Km l l T = K g g 1 2

20 EXERCÍCIOS (ITA-2009) Sabe-se que o momento angular de uma massa pontual é dado pelo produto vetorial do vetor posição dessa massa pelo seu momento linear. Então, em termos das dimensões de comprimento (L), de massa (M), e de tempo (T), um momento angular qualquer tem sua dimensão dada por dada por a) L0MT 1. b) LM0T 1. c) LMT 1. d) L2MT 1. e) L2MT 2.

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22 EXERCÍCIOS (Ita 2008) Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade, foi determinada que a intensidade é dada por: Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente. a) x = 2; y = 2 b) x = 1; y = 2 c) x = 1; y = 1 d) x = - 2 ; y = 2 e) x = - 2; y = - 2

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24 Exercícios 01- Determine a equação dimensional de Capacitância de um capacitor. Q C = Q = is = IT U J ML T w Pot = Ui U = = s = T A A I [ ] U = ML T I [ ] IT C = = M L T I ML T I

25 Exercício 02 (Mackenzie) No estudo de um fenômeno da natureza foram envolvidas as grandezas A, B,C e D, diferentes entre si. A relação entre as grandezas é: Se B tem dimensão de massa, C de A = BCD comprimento e D dimensão de tempo, a unidade de medida de A no Sistema internacional de Unidade é: a)m/s b) N.s c)j/m d)n e)j 2 2

26 resolução A=BCD 2 2 [A]=[B][C][D] [A] = MLT Portanto A representa energia e sua unidade no Sistema Internacional é o Joule (J) Resposta E

27 Exercício 03 Com relação as grandezas fundamentais MLTθI, determine as equações dimensionais das seguintes grandezas: a)constante Universal dos gases perfeitos (R). b)resistência elétrica (R).

28 resolução a)pv=nrt 2-2 [PV]=ML T (trabalho) ou [PV] F 3 = V(m) = N.m = τ 2 A(m) [n] = adimensional PV=nRT -2 MLT [R] = Θ [R] = MLT Θ I P=Ri E n t = 2 Ri MLT 2 = [R]I T [R] = MLT I Θ

29 exercício (FUVEST)Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo da velocidade V de propagação do som, com a pressão P e a massa específica ρ, num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo (vide eq. ao lado), em que C é uma constante adimensional. Após um exame da equação dimensional ele conclui que os expoentes α e β valem respectivamente: a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2 C.P V α = ρ β

30 resolução V α C.P = ρ [ ρ ] = ML 3 2 F MLT [P] = = = 2 A L substituindo α 1 2 β 3 1 α α β 1 β β ML T [LT ] = [ML T ] [ML ] L T = β M L T β 1 = 0 β + 3 = α β = 1; α = 2 2 β = α resp.c

31 ITA-2000 A figura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo capilar de comprimento L e seção transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse fluxo depende da variação da pressão ao longo do comprimento L do tubo por unidade de comprimento ( P/L), do raio do tubo (a) e da viscosidade do fluido (η) na temperatura do experimento. Sabe-se que o coeficiente de viscosidade (η) de um fluido tem a mesma dimensão do produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de fluido coletado por unidade de tempo é proporcional a

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