Funções, Equações e Inequações Trigonométricas.

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1 Funções, Equações e Inequações Trigonométricas

2 FORMULÁRIO CO CA CO sen() = cos() = tg() = H H CA TRIÂNGULOS: RETÂNGULO E QUALQUER sen α= cos β e sen β= cos α CO : Cateto Oposto CA:Cateto Adjacente H:Hipotenusa (z ou ) (z ou ) () a = b + c b c cos(a) ˆ RELAÇÃO FUNDAMENTAL E a b c = = sen(a) ˆ sen(b) ˆ sen(c) ˆ cos () s en () k + = sen() tg() = ; + k sec() = ; + k cos() cos() DEFINIÇÕES RELAÇÕES DECORRENTES DA RELAÇÃO FUNDAMENTAL cos() cotg() = = ; k cos sec() = ; k tg() s en() s en() cos () se n () s en () cos () k = = tg () + = sec (); + k cotg () + = cos sec (); k sen( ± ) = sen() cos() ± sen() cos() sen() = sen() cos() ARCOS: ADIÇÃO / SUBTRAÇÃO DUPLO METADE cos(± ) = cos() cos() sen()sen() cos() = cos () s en () ± = m = tg() ± tg() tg() tg( ± ) = ;, + k tg() = ; + k m tg()tg() tg () cos() = cos () cos() = sen () = + cos() cos() cos() cos sen tg ; k =± =± =± + + cos() + cos() + cos() = cos cos PRODUTO + cos() cos() = s en sen ± m sen() ± sen() = sen cos

3 CICLO TRIGONOMÉTRICO LINHAS TRIGONOMÉTRICAS cos α= OA sen α= OB tg α= TC cot g α= QD se c α= OF cos sec α= OE Obs: as linhas não tracejadas são fias QUANTO A REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE MACETES QUANTO AO SINAL NOS QUADRANTES F : falta; P: passa + SE TA CO

4 INTRODUÇÃO CICLO TRIGONOMÉTRICO O ciclo ou circunferência trigonométrica é um conjunto de pontos que estão a uma distância fia ( unidade de comprimento) do centro do sistema de coordenadas perpendiculares O também chamado de Plano Cartesiano É uma circunferência orientada, isto é, atribui-se a um dos sentidos que se pode percorrerla um sinal, positivo ou negativo No ciclo trigonométrico o sentido antihorário é tomado como positivo Finalmente, toma-se como origem dos arcos o ponto representado pelo par ordenado (, ) Na circunferência de raio, orientada e com origem definida (ciclo trigonométrico), um ponto sobre a circunferência representa: um arco de medida α; e um par ordenado (, ) tal que = cos(α) e = sen(α) PRATICANDO Generalize os arcos indicados nas figuras Dê as soluções em graus e em radianos ARCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são chamados côngruos quando têm a mesma etremidade, contudo são diferentes pelo número de voltas na circunferência Assim, arcos de medidas distintas têm o mesmo valor para o seno, cosseno, tangente, secante e cossecante, se forem côngruos, pois representam um ponto comum no ciclo trigonométrico Por eemplo: sen (5º) = sen (75º) = sen (-5º) = As reticências indicam que eistem infinitas igualdades 75º = 5º 6º 5º = 5º 6º 5º = 5º + 6º (Cefet) Sabendo-se que 5 e + 5 eprimem as medidas de dois arcos côngruos, pode-se afirmar que é dado por: a) º(k + ), sendo k Z b) 6º(k + ), sendo k Z c) º(k + ), sendo k Z d) 8º(k + ), sendo k Z e) 8º(k + ), sendo k Z 75º = 5º + 6º 75º = 5º + 6º Generalizando: o o AB = 5 + k 6 k Z Usualmente o arco é medido em radianos, isto é, AB = + k ou AB = + k

5 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Equações são epressões que possuem necessariamente uma igualdade e (pelo menos) uma incógnita Na epressão: cos() =, a incógnita representa um arco (ângulo) associado ao cosseno Chamaremos de equações trigonométricas as equações em que as incógnitas estiverem associadas ao seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante A resolução de uma equação consiste basicamente em encontrar valor(es) para a(s) incógnita(s) para que a epressão torne-se verdadeira, soluções ou raízes da equação É importante ressaltar que para resolver as equações trigonométricas podemos e devemos utilizar as técnicas de resolução de equações: do º grau; do º grau; polinomiais Assim como os produtos notáveis e as relações trigonométricas EQUAÇÕES ELEMENTARES Dada uma equação trigonométrica procuraremos escreve-la em uma das formas elementares: sen()=n cos()=n tg()=n onde n é um valor numérico PRATICANDO Encontre todas as soluções para: a) sen() = b) cos() = c) tg + = Resolva as equações em no conjunto dos reais: a) cos() sec() = 5 Eemplo: cos() = Reescrevendo: cos() = Para encontrar o(s) valor(es) de que satisfazem a epressão, observe no ciclo os arcos (ângulos) em que o cosseno vale São eles e rad, isto, se nos limitarmos a apenas uma volta no ciclo Contudo eistem infinitos valores para os quais cosseno é igual a Assim, a melhor solução para a equação é: b) sen() cos() = Para [, ], quantas são as raízes da sen() equação, cos() cos() sen() = sen() sen() cos() S = { R/ = k, k Z} Observe a necessidade de estarmos bem familiarizados com os conceitos de congruência e das linhas trigonométricas no ciclo trigonométrico É importante memorizar os valores do seno, cosseno e tangente, ao menos para os principais arcos, por eemplo: seus simétricos ; ; ; ; ; ; ; 6, e

6 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Funções são relações tais que, para todo elemento de um conjunto (Domínio) eiste um e apenas um correspondente num outro conjunto (Contra-domínio) Para o estudo de funções trigonométricas tomaremos o ciclo trigonométrico como sendo: C = {(, ) RXR ; + = }, com =cos(θ) e =sen(θ) Assim, na função f: R R, definida por f() = sen(), R, por eemplo, os elementos do domínio são pontos sobre a circunferência e as respectivas imagens serão as ordenadas deste ponto PRATICANDO Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e indique o período e a imagem das funções: a) f() = cos() / / DOMÍNIO E IMAGEM Nas funções trigonométricas o domínio será obtido observando-se as representações das seis linhas trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) no ciclo trigonométrico, ou ainda, nos casos da tangente, cotangente, secante e cossecante por suas definições em função do seno e do cosseno Quanto à imagem esta nos fornecerá entre outros, os etremos (valores de máimo e de mínimo, se eistirem), crescimento e decrescimento, e ainda, o sinal da função (se positivo ou negativo) PERIODICIDADE As funções trigonométricas são periódicas, isto é, eiste um número k tal que f( + k) = f(), para todo R O menor número k > que b) f() = + cos() / / satisfaça a relação anterior é dito período da função Geometricamente isto significa que o gráfico da função se repete em intervalos de tamanho k no eio das abscissas SIMETRIAS - PARIDADE Para testar a paridade de uma função faremos a substituição de () por ( ) Se caso não houver alteração na sua imagem, isto é, f( ) = f() então a função é dita par, e observa-se uma simetria do gráfico em relação ao eio das ordenadas Se a imagem for oposta, isto é, f( ) = f(), a função é chamada ímpar, e observa-se uma simetria em relação ao centro do plano cartesiano A função será classificada como nem pare nem ímpar, caso não aconteça nenhum dos casos anteriores Qual a paridade das funções do eercício anterior?

7 Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e indique o período e a imagem das funções: a) f() = cos() / / d) f() = + cos(+/) +/ / / b) f() = cos() / / OBSERVE E REFLITA Nos eercícios deste assunto, até aqui, as funções podem ser escritas, generalizando, como: f()=a+bcos(c+d) Eistem relações diretas estabelecidas entre os valores de A, B, C, D e o gráfico da função Estas relações podem resultar numa maior agilidade na resolução de alguns eercícios c) f() = cos() / / Y ABSTRAINDO Dos eercícios resolvidos até aqui, pode-se observar alterações nos gráficos, nos períodos, nos zeros e nas imagens das funções, decorrentes das alterações nos valores de A, B, C, D Estabeleça daí as relações mencionadas Estas relações podem ser estendidas para a função seno

8 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (continuação) Ecluindo-se as funções seno e cosseno, todas as demais funções trigonométricas apresentam problemas no conjunto domínio PRATICANDO Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e indique o período e a imagem das funções: a) f() =tg() f()=a+btg(c+d) e f()=a+bsec(c+d) Das suas definições temos que: sen(c+ D) tg(c + D) = cos(c+ D) e sec(c + D) = cos(c+ D) Satisfeita a condição de: cos (C + D) Logo, o conjunto domínio, das funções tangente e secante, pode ser encontrado fazendo: b) f() =cossec() Dom(f ) = ;C + D + k, k f()=a+bcotg(c+d) e f()=a+bcossec(c+d) Das suas definições temos que: cos(c+ D) cotg(c + D) = sen(c+ D) e Satisfeita a condição de: sen (C + D) sec(c + D) = sen(c+ D) Logo, o conjunto domínio, das funções cotangente e cossecante, pode ser encontrado fazendo: { } Dom(f ) = ;C + D k,k OBSERVE E REFLITA Novamente dada à função escrita na forma generalizada como: f()=a+bfunção(c+d) Eistem relações diretas estabelecidas entre os valores de A, B, C, D e o gráfico da função Estas relações podem resultar numa maior agilidade na resolução de alguns eercícios Vale ressaltar que devemos tentar escrever uma função trigonométrica nas formas anteriores 5

9 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Inequações são epressões que possuem necessariamente uma desigualdade (>,, <, ou ) e (pelo menos) uma incógnita Na epressão: tg(), a incógnita representa um arco (ângulo) associado a tangente Chamaremos de inequações trigonométricas as inequações em que as incógnitas estiverem associadas ao seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante PRATICANDO Resolva as seguintes inequações, para < a) sen() < RESOLUÇÃO As soluções de uma inequação são intervalos numéricos Para encontrar tais intervalos usamos os mesmos artifícios usados na resolução de inequações não trigonométricas, quando necessário, associado ao método gráfico utilizada nas equações trigonométricas Na inequação acima podemos resolvê-la apenas reescrevendo: b) cos() tg() Recorremos ao ciclo para encontrar as soluções: c) sec() d) sen + < Resolva a inequação cos ()+cos() <, para [, ] Assim, a solução para [, ], fica: 5 S = ; < ou < 6

10 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES ARCOS E CICLO (UFRS) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos: I) sen < sen II) cos < cos III) cos < sen Quais são verdadeiras? a) Apenas I é verdadeira b) Apenas II é verdadeira c) Apenas III é verdadeira d) São verdadeiras apenas I e II e) São verdadeiras I, II e III (UFLAVRAS) A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo Se a medida do arco AM é / rad, as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são: a) / e 5/ b) e / c) / e d) / e 5/ e) / e 5/8 (FEI) Se < < /, é válido afirmar-se que: a) sen (/ - ) = sen b) cos ( - ) = cos c) sen ( + ) = sen d) sen (/ - ) = cos e) cos ( + ) = sen (UEL) Se sen=/ e é um arco do º quadrante, então cos é igual a a) b) / c) / d) -/ e) - / 5 (UEL) Para qualquer número real, sen -(/) é igual a: a) -sen b) sen c) (sen )(cos ) d) cos e) -cos 6 (UFAL) Analise as afirmativas abaio, nas quais é um número real ) sen 95 = sen / ) tg 8/7 < ) sen /5 + sen /5 = sen /5 8) A equação tg = não tem solução 6) Para < / tem-se cos > sen 7 (PUC) Se sen()=/5 e sen()=/5, então podemos afirmar que: a) = ; b) os arcos de medidas e têm etremidades simétricas em relação ao eio das abscissas; c) os arcos de medidas e têm etremidades simétricas em relação ao eio das ordenadas ou têm a mesma medida; d) os arcos de medidas e têm etremidades simétricas em relação à origem do sistema cartesiano; e) os arcos de medidas e têm etremidades simétricas em relação ao eio das ordenadas EQUAÇÕES 8 (UFSCAR) O valor de, /, tal que ( sen )(sec )= é a) / b) / c) / d) /6 e) 9 (UEL) Se [, ], o número de soluções da equação cos=sen[(/)-] é a) b) c) d) e) 5 (CESGRANRIO) O número de soluções da equação sen ()=sen(), no intervalo [,], é: a) b) c) d) e) (FUVEST) Determine o número de soluções da equação (cos + sen)(cos sen ) =, que estão no intervalo [,] (FUVEST) A soma das raízes da equação sen cos =, que estão no intervalo [, ], é: a) b) c) d) 6 e) 7 (UEL) Em relação à equação cos =cos, com [, ], é correto afirmar: a) Possui uma solução no º quadrante b) Possui duas soluções no º quadrante c) Possui somente a solução nula d) Uma das suas soluções é e) A única solução não nula é / (UFMG) Determinando todos os valores de 7

11 pertencentes ao intervalo (, ) que satisfazem a equação: tg()+cos()=sec(), temos: a) S={/, 5/, 7/} b) S={/, 5/, 7/} c) S={/6, 5/6} d) S={/, 5/} INEQUAÇÕES 5 (UNESP) O conjunto solução de cos </, para <<, é definido por: a) (/)<<(/) ou (/)<<(5) b) (/6)<<(56) ou (7/6)<<(/6) c) (/)<<(/) e ()<<(5/) d) (/6)<<(5/6) e (7/6)<<(/6) e) (/6)<<(/) ou (/)<<(/6) 6 (UFRS) No intervalo real [, /], o conjunto solução da desigualdade sen cos / é a) [, /5] b) [, /] c) [, /] d) [, /8] e) [, /6] 7 (ITA) Para no intervalo [, /], o conjunto de todas as soluções da inequação sen () - sen ( +/) > é o intervalo definido por a) / < < / b) / < < / c) /6 < < / d) / < < / e) / < < / 8 (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S): ) Se tg =/ e <</, então o valor de sen-cos é igual a /5 ) A menor determinação positiva de um arco de é 8 ) Os valores de m, de modo que a epressão sen=m-5 eista, estão no intervalo [,] 8 sen > cos para -/ / 6) A medida em radianos de um arco de 5 é (/6)rad ) Se sen >, então cosec < 6) A solução da equação sen + sen = para é =/6 ou =5/6 9 (FEI) Se < < e sen > cos então: a) / < < 5/ b) / < < 7/ c) /8 < < 7/8 d) / < < / e) / < < / (UNIRIO) Resolva a sentença cos cos +, sendo < a) / ou 5 / < b) < / ou 5 / < c) < / d) 5 / < e) < < (MACK) Quando resolvida no intervalo [; ], o número de quadrantes nos quais a desigualdade cos() < apresenta soluções é: a) b) c) d) e) FUNÇÕES (FATEC) No intervalo ], [, os gráficos das funções definidas por = sen e = sen interceptam-se em um único ponto A abscissa desse ponto é tal que a) < < / b) / < < / c) = / d) / < < / e) / < < (PUC) Seja f a função de IR em IR definida por f() = sen O conjunto solução da inequação f(), no universo U=[,] é a) [, ] b) [/, /] c) [, ] d) [/, ] [/, ] e) [, /] [, ] (UFES) Uma pequena massa, presa à etremidade de uma mola, oscila segundo a equação: f(t) = 8sen (t), que representa a posição da massa no instante t segundos, medida em centímetros a partir da posição de equilíbrio Contando a partir de t=, em que instante a massa passará pela sétima vez a uma distância f(t) de cm da posição de equilíbrio? a) /8 b) /8 c) 7/8 d) 9/8 e) /8 5 (FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T=(,) e é paralela ao eio O 8

12 () Quando a quantidade de energia solar média é máima, a temperatura média semanal também é máima 9 (UFRS) Se f() = a + bsen tem como gráfico A semi-reta Ot forma um ângulo α com o semi-eio O ( <α<9 ) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente A área do triângulo TAB, como função de α, é dada por: a) ( - senα) (cosα)/ b) ( - cosα) (senα)/ c) ( - senα) (tgα)/ d) ( - senα) (cotgα)/ e) ( - senα) (senα)/ 6 (PUC) Observe o gráfico a seguir então a) a = - e b = b) a = - e b = c) a = e b = - d) a = e b = - e) a = e b = - UEM - DE 98 A (inv-98) O número de raízes da equação sen sen =, para < é A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é a) = cos b) = sen c) = cos d) = sen e) = sen 7 (UEL) A função dada por f() = (tg ) (cotg ) está definida se, e somente se, a) é um número real qualquer b) k, onde k Z c) k, onde k Z d) k/, onde k Z e) k/, onde k Z 8 (UNB) Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em C) e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm ) possam ser epressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções: t 5 T(t) = + sen e 5 t Q(t) = + sen, julgue os itens a 5 seguir () A maior temperatura média semanal é de C () Na 5ò semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima (ver-98) Com relação à equação cos + sen =, para, é correto afirmar que () o módulo da diferença das raízes é maior do que () a equação possui duas raízes distintas () a soma das raízes é um número natural (8) a soma das raízes é 77 (6) o produto das raízes é 6 (inv-99) Nos itens abaio, suponha que seja um número real e que todos os ângulos estejam em radianos Sobre isso, é correto afirmar que () a função tg está definida para todo () se = coscoscoscos, então > () se é tal que < <, então tg> (8) se cos =, então sen 5 + = 5 (6) se cos = e está no quarto quadrante, então tg = + cos () cos = 8 9

13 (6) se cos = sen, então = + k, k (ver-99) Considere na circunferência trigonométrica, os pontos P e P, como etremidades de dois arcos menores que radianos e medidos no sentido anti-horário, a partir de A(,) Se o AP =α e AP =β= 8 α, então, é correto afirmar que () sen α = sen β () sen α > () cos α > (8) os pontos P e P são simétricos em relação ao eio das ordenadas (6) cos α = cos β () os pontos P e P estão no mesmo quadrante (6) cos (α + β) = - (espver-) O número de raízes distintas da equação sen + sen7 =, no intervalo [, ], é 5 (inv-) Se θ é um arco tal que <θ<, pode-se afirmar que () cos (θ + α) = -, onde α é o suplementar de θ () cos θ é negativo () tg θ é negativo (8) cos θ é negativo (6) θ cos < () sen θ é negativo (6) θ sen < 6 (ver-) Nos itens abaio, considere todos os ângulos em radianos Nessas condições, assinale o que for correto () sen = sen, R () cos sen = cos, R () sen cos + =, R cossec sec (8) Eistem apenas dois valores de no intervalo 5,, tais que sen = (6) se sen + cos = a, com a > e b sen cos =, então a b = () Os valores de no intervalo [, ] que sen < 5, com satisfazem < são tais que 7 (inv-) Considerando que, nos itens abaio, todos os ângulos são medidos em radianos, assinale o que for correto () Se e tg cos <, então () sen sen cos = sen () sen< sen (8) (6) Se sen = cos cos =, então cos = () Se, o conjunto-solução da inequação cos é o conjunto dos números reais tais que 5 ou 8 (inv-) Um balão parado no céu é observado sob um ângulo de 6º Afastando-se metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo α tal que tg α= Então, a altura do balão multiplicada por (6 ) é 9 (ver-) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s) () sen + cos cos( ) = () Em um triângulo no qual dois de seus ângulos medem rad e º, o terceiro ângulo mede 9 rad () ( + cos ) ( cos ) = tg cos, para (8) + k, k Z (sen cos ) =, para = 5º

14 (6) () 5 tg < o sen5 cos 7 o cos 7 o = (ver-) No problema a seguir, considere que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha reta e com velocidade constante e igual a m/s Duas rodovias H e R cruzam-se em um ponto A, segundo um ângulo de 6º Um ciclista parte do ponto A pela rodovia H e, após um terço de hora, atinge um ponto B, de onde é possível seguir para a rodovia R, percorrendo o menor caminho, atingindo-a no ponto C Para retornar de C ao ponto A de origem, pela rodovia R, a distância que o ciclista deve percorrer, em quilômetros, é (6) ( cos () ) ln e = + cos(), para todo real () sen(+)<sen()+sen(), para todo e reais (º-) Sendo um arco do primeiro quadrante, em graus, o valor de que satisfaz a equação sen º + sen 9º = sen é (º-) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos α = º e β = 6º e a medida do segmento BC = 5 m, conforme a figura Nessa condições, a altura da torre, em metros, é (ver-) Nos itens abaio, considere todos os ângulos em radianos Nessas condições, assinale o que for correto () Os números reais que satisfazem a equação k cos =, são tais que = +, 6 para todo número inteiro k () Se cos =, então, m - ou m m () sen cos sen =, para todo número real tal que k, onde k é um número inteiro qualquer (8) Se < <, então cos (6) Se, então sen + cos () Se = cos, então < < < < e sen 5 tg = 5 (6) Se =, então (º-) Sobre trigonometria, assinale a(s) alternativa(s) correta(s) () cos () = + cos(), para todo real cos () () sen () cos () =, para todo real () =, para todo real cos () + sen () (8) tg () = + cos(), para todo real 5 (º-) Considere um ponto P(, ) sobre a circunferência trigonométrica e que não esteja sobre nenhum dos eios coordenados Seja α o ângulo determinado pelo eio OX e pela semi-reta OP, onde O é a origem do sistema Nessas condições, assinale o que for correto () A abscissa de P é menor do que cos(α) () A ordenada de P é igual a sen( α+ ) () A tangente de α é determinada pela ração entre a ordenada e a abscissa de P (8) As coordenadas de P satisfazem à equação + = (6) Se =, então cotg(α) = - () α= é o menor arco positivo para o qual a equação cos ( α+ ) + sen ( α+ ) = cos ( α+ ) + sen ( α+ ) é satisfeita (6) sen(α) = 6 (º-) Sobre funções trigonométricas, assinale o que for correto () A solução da inequação cos(), para [, ], é S = ;

15 () A solução da inequação sen()cos()>, para [, ], é S = (, ] [, ) () O período e a imagem da função f, definida por f() = + sen, R, são, respectivamente, p = e [-, ] (8) A função g definida por g() = tg(), (, ) (6) Se + = 6º, então, é decrescente [cos()+cos()] +[ sen()-sen()] - = 7 (º-5) Sobre trigonometria, assinale o que for correto () cos() = sen ( ) () A função f definida por f()=cos(-) é impar () O período da função f definida por f()=sen() é (8) O conjunto-imagem da função f definida por f()=cotg() é R {} (6) Considerando que cos() =, então = + k, k Z () Em um triângulo ABC, onde a medida do lado AB é, a medida do lado BC é 5 e a medida do ângulo A é º, a medida do lado AC é ( ) BIBLIOGRAFIA CARMO, Manfredo Perdigão do Trigonometria números compleos SBM DANTE, Luiz Roberto Matemática conteto & aplicações Volume Único, Editora Ática LIMA, Elon Lages e Outros A matemática do ensino médio Volume, SBM SWOKOWSKI, Earl W Cálculo com geometria analítica Volume, McGraw-Hill MARQUES, Paulo Página na internet desenvolvida por Paulo Marques Material apostilado III Milênio ed Material apostilado Editora Dom Bosco Material apostilado Sistema Uno de Ensino Material apostilado Sistema Mai de Ensino GABARITO C A D C E 7 C B D D 6 C A C A B A 7 A A E B A D D D D D