Composição de Funções

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1 Composição de Funções Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, depende de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela, porém a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo. Nestas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar a quantidade original como função da última variável. Na prática, combinar (compor) duas funções, para obter uma nova, é muito simples: suponha que y f ( u) u e u g( x) x. Como y é uma função de u, que é uma função de x, então y pode ser escrito como uma função de x. Assim, temos que: y f ( u) f ( g( x)) f ( x ) x. Vejamos outro exemplo: EXEMPLO Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média diária de monóxido de carbono no ar será de c( p) 0,5 p partes por milhão (ppm), quando a população for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo. p( t) 0 0,t Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p através da equação c( p) = 0,5 p +, e a variável p está relacionada à variável t pela equação função composta c( p( t)) = 0,5(0+0, t ) += 6+0,05t p( t) =0 0, t, a nos dá a taxa de monóxido de carbono no ar como função da variável t. O processo de combinar funções, para obter uma nova, é chamado de composição de funções e definido do seguinte modo: Definição: Sejam : A B g e de f com g, e denotamos por f f : Im g C. Definimos a composta g (lê-se f bola g), à função dada por f gx f g x. A função hx f g x chamada função composta de f com g, aplicada em x. é O esquema seguinte ilustra a definição:

2 Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. Consequentemente, o domínio de f gé o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) está no domínio de f. Em outras palavras, para calcular f gx f g x é necessário que x esteja no domínio de g [para calcular g(x)] e que g(x) esteja no domínio de f [para que seja possível calcular f g x ]. EXEMPLO Seja f ( x) x para x 0 e g f. Temos que: f g x f g x f x x g f x g f x g x x x. g( x) x para todo x real. Determine f g e OBS.:. No exemplo anterior você pode observar que f g g f. Isso acontece na maioria das vezes e significa que a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa f g g f. Ou seja, a ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no resultado final.. A notação f g à função f. significa que a função g é aplicada em primeiro lugar e, em seguida, aplica-se EXEMPLO 3 Verifique se é possível calcular,. O objetivo nosso é calcular g f x g f x Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. g f sendo dadas as funções f x x e g x x. f g Dom e Dom 0, Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e f x deve estar no domínio de g, para que a função g f, devemos então ter a seguinte situação: g f x faça sentido. Para que possamos calcular

3 Assim, temos que: xdom f x pode ser qualquer número real. Dom g 0, f x x f x Portanto, podemos aplicar a função g em f (x), somente quando x = 0. Vejamos como se dá isso na prática. ( g f )( x) g( f ( x)) g( x ) ( x ) 0, que só é possível se x = 0. que está definida apenas para x = 0. Portanto, não podemos aplicar a função g, uma vez que não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo nos reais. Consequentemente, só é possível calcular g f, para as funções dadas, quando x = 0. EXEMPLO 4 Considere as funções composta f g. O objetivo nosso é calcular f gx f g x f x x e g x x. Determine o domínio da função. Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. f g Dom e Dom 0, Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de g e g x deve estar no domínio de f, para que a função possamos calcular f g, devemos então ter a seguinte situação: f g x faça sentido. Para que Assim, temos que: x Dom g 0, x pode ser qualquer número real maior ou igual a zero x Dom f g x g x x pode ser qualquer número real (no caso aqui, será um número real maior ou igual a zero, pela restrição de x feita anteriormente). 0. Continuando, temos que:. f g x f g x f x x x Se considerarmos apenas a igualdade f gx x

4 para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o domínio é o conjunto de todos os números reais. Contudo, vimos que x deve ser não negativo para pertencer ao domínio de g. Assim, o domínio da composta f gconsiste de todos os números do intervalo 0, e não de todos os números reais. Observe que, quando não existe nenhuma outra restrição de domínio, além daquela relacionada à função que aplicamos em primeiro lugar, no processo de composição, o domínio da função composta será igual ao domínio da função que é aplicada em primeiro lugar. No caso aqui, a função g. EXEMPLO 5 Considere as funções f x x g x composta g f. O objetivo nosso é calcular g f x g f x. Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. e. Determine o domínio da função x f g Dom e Dom {} Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e f x deve estar no domínio de g, para que a função Assim, temos que: xdom f x pode ser qualquer número real Dom g {} f x x f x g f x faça sentido. pode ser qualquer número real diferente de f x x x Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte: g f x g f x g x. x x Agora, devemos observar que a restrição feita anteriormente x para a função f x, é suficiente para garantir que a função obtida na composição faça sentido. Portanto, o domínio da função composta f g, consiste de todos os números do conjunto,,,. Nesse exemplo, você pode observar que o domínio da função composta é diferente do domínio da função f, que é aplicada em primeiro lugar no processo de composição. Isso se deve ao fato de existir uma restrição de domínio relacionada à função g, que é aplicada por último. EXEMPLO 6 Sabendo que expressão que representa f gx. O objetivo nosso é calcular f gx f g x f x e g x x 6, determine o domínio, a imagem e a x.

5 Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. f g Dom {0} e Dom 3, Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de g e g x deve estar no domínio de f, para que a função Assim, temos que: g f g x faça sentido. xdom 3, x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3. Dom f {0} gx x 6 0 x 3 g x Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte: f g x f g x f x 6. x 6 Se considerarmos apenas a igualdade f g x x 6 x 6 para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o domínio é o conjunto de todos os números reais diferentes de 3. Contudo, vimos que x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3, para pertencer ao domínio de g, mas tem que ser diferente de 3, para g x pertencer ao domínio de f. Assim, o domínio da composta, f g, consiste de todos os números reais do intervalo 3, e não de todos os números reais diferentes de 3. Para determinar a imagem da função u hx obtida, basta calcular a inversa dessa função e x 6 determinar o seu domínio. Para isso, basta isolar a variável independente, na equação que define a função h, e determinar o domínio da função obtida pelo processo de inversão. Ou seja, u hx x 6 x 6 x 3 x 6 u u u Se fôssemos considerar apenas essa função para calcular o domínio da inversa e, consequentemente, a imagem da função composta, poderíamos errar na nossa avaliação e concluir que: h h Im Dom {0}. Devemos lembrar que a função composta h só está definida para x 3. Assim, devemos pensar do seguinte modo: x u 0 u u Portanto, * Im h Dom h.

6 No estudo do Cálculo Diferencial, trabalhamos mais com a decomposição de funções do que com o processo de compor funções. Por exemplo, considere a função h x ( ) ln( x ). Para calcular o valor de h(x), para um dado valor de x, primeiramente calculamos o valor de ( x ) e, em seguida, calculamos o logaritmo neperiano do resultado. de modo que Observe que, essas duas operações são executadas pelas funções g( x) x e f x ln x h( x) ln( x ) ln( g( x)) f ( g( x)) f g x. Ou seja, a função h( x) ln( x ) foi decomposta em duas funções mais simples. OBS.: Escrevendo h( x) f ( g( x)), iremos nos referir a g como a função de dentro e a f como a função de fora de maneira que, a função de dentro realiza a primeira operação e a função de fora realiza a segunda operação. EXEMPLO 7 Para calcular Decomponha a função h( x) x 9 em funções mais simples. x 9, em primeiro lugar calculamos o valor de (x 9) e, em seguida, a raiz quadrada do resultado. Assim, denotamos g(x) = x 9 (como a função de dentro) e f ( x) de fora) de modo que: h( x) x 9 f ( x 9) f ( g( x)) f g x. x (como a função OBS.: Importante observar que existem várias maneiras de se decompor uma função em funções mais simples. Nosso papel é escolher a maneira menos complicada de fazer isso. Por exemplo, poderíamos ter decomposto a função do Exemplo 7 do seguinte modo: Para calcular x 9, em primeiro lugar poderíamos ter calculado o valor de x, em seguida, calculamos o valor de x 9 e, finalmente, a raiz quadrada do resultado. Assim, denotamos x, g x x 9 v x e f ( x) x de modo que: h( x) x 9 f x 9 f g x f g v x f g v x.

7 EXERCÍCIOS. Dadas as funções f e g, determine a expressão que representa f gx e g f x e o domínio das funções compostas. f ( x) e g x x 4x (c) f ( x) e g x x x (a). Encontre funções mais simples g e h tais que f g h. (b) f ( x) x e g x x 4 (a) f ( x) x 5 (b) (c) f( x) (d) x 3 f ( x) cos x f ( x) cos( x )