I OLIMPÍADA MASSARANDUBENSE DE MATEMÁTICA SOLUÇÕES DA PROVA DE SEGUNDA FASE DA OMM - NÍVEL 1

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1 I OLIMPÍADA MASSARANDUBENSE DE MATEMÁTICA SOLUÇÕES DA PROVA DE SEGUNDA FASE DA OMM - NÍVEL 1 1. A) Para encontrarmos quanto ela gastará, primeiro iremos calcular quanto ela gasta com cada fruta: Maçã: cada quilograma custa R$ 3,00 como ela comprou 4 quilogramas, ela gastou 3 4 = R$ 12,00. Pêssego: cada quilograma custa R$ 3,50 como ela comprou 3 quilogramas, ela gastou 3,50 3 = R$ 10,50. Uva: cada quilograma custa R$ 5,00 como ela comprou 2 quilogramas, ela gastou 5 2 = R$ 10,00. Então, no total ela gastou: , = R$ 32,50. B) Considerando que ele comprou a maior quantidade de quilogramas de maçãs com R$ 28,00 de modo que com o dinheiro restante ele comprasse pelo menos mais um quilograma de outra fruta, e não tivesse troco. Caso João tivesse pego 9 quilogramas de maçãs, gastaria R$ 27,00, e com o restante (R$ 1,00) não conseguiria comprar nenhum quilograma de outra fruta. Se João tivesse pego 8 quilogramas de maçãs, gastaria R$ 24,00, sobrando R$ 4,00, podendo pegar um quilograma de pêssego, mas ainda sobraria R$ 0,50. Assim João pegou 7 quilogramas de maçãs, gastando R$ 21,00, com o restante (R$ 7,00) comprou 2 quilogramas de pêssegos, desta forma não sobrou troco, satisfazendo as condições do problema. C) Para saber em qual mercado vale mais a pena comprar, devemos calcular o gasto em cada mercado e comparar eles. No Ponto Econômico: Maçã: cada quilograma custa R$ 3,00, como João quer comprar 5 quilogramas de maçãs, ele gastaria 3 5 = R$ 15,00. Pêssego: cada quilograma custa R$ 3,50, como João quer comprar 3 quilogramas de pêssegos, ele gastaria 3,50 3 = R$ 10,50.

2 Uva: cada quilograma custa R$ 5,00, como João quer comprar 10 quilogramas de uvas, ele gastaria 5 10 = R$ 50,00. Então, no Ponto Econômico ele gastaria, no total, , = R$ 75,50. No Promoshow: Maçã: cada quilograma custa R$ 3,50, como João quer comprar 5 quilogramas de maçãs, ele gastaria 3,5 5 = R$ 17,50. Pêssego: cada quilograma custa R$ 4,00, como João quer comprar 3 quilogramas de pêssegos, ele gastaria 4 3 = R$ 12,00. Uva: cada quilograma custa R$ 4,50, como João quer comprar 10 quilogramas de uvas, ele gastaria 4,5 10 = R$ 45,00. Então, no Promoshow ele gastaria, no total, 17, = R$ 74,50. Assim, vale mais a pena ele comprar no Promoshow, pois gastará um real a menos. D) Consideramos a quantidade de quilogramas de uvas, pêssegos e maçãs, de u, p e m, respectivamente. Como a quantidade de quilogramas de pêssegos é a quantidade de quilogramas de uvas menos um, podemos dizer que p = u 1. Tendo que a soma da quantidade quilogramas de uvas e pêssegos é 7, temos: u + p = 7 u + u 1 = 7 2u = 8 u = 4 Assim ele comprou 4 quilogramas de uvas e 3 quilogramas de pêssegos. Para encontrar a quantidade de quilogramas de maçãs, podemos escrever a seguinte expressão com o preço de cada quilograma de cada fruta, e sabendo também que Felício gastou 37 reais: 37 = 4,5 u + 4 p + 3,5 m Aplicando os valores encontrados de u e p: 37 = 4, ,5 m 37 = ,5 m 7 = 3,5 m m = 2 Portanto, Felício comprou 2 quilogramas de maçãs.

3 2. A) Como a folha original tem área igual a 64 cm², após a primeira dobra o triângulo resultante possui área igual a 32 cm². Este triângulo pode ser dividido em 4 triângulos menores de área igual a 8 cm². Facilmente, notamos que a área dos dois triângulos cinza somadas é igual a área de um desses triângulos, logo a região cinza possui área igual a 8 cm². B) Note que a folha original é composta por 32 triângulos iguais aqueles que temos no topo do diamante. A partir disso, a área de cada triângulo é 256 = 8 cm². Agora devemos notar que o diamante é formado por 7 triângulos. Portanto, a área do diamante é igual a 7 8 = 56 cm². C) Como a folha original é composta por 64 triângulos iguais aqueles que temos no topo da vela. A partir disso, a área de cada triângulo é 256 = 8cm². Logo a área da região cinza é igual a 8cm² A) O número não faz parte da lista de Paulo, pois = 1, o quadrado de 1 é 1, e não 2. Logo o último algarismo não é igual ao quadrado da soma dos demais, portanto esse número não está na lista de Paulo. B) Na lista de Paulo estarão contidos os seguintes números de 4 algarismos, nesta listagem, perceba que a soma dos três primeiros algarismos deve ser no máximo 3, pois se for 4 o quadrado é 16, que não é um algarismo Assim, existem 9 números de 4 algarismos na lista de Paulo. C) O maior número da lista de Paulo que não possui algarismos repetidos será aquele que o último algarismo é o maior possível, ou seja, 9, e a soma dos três algarismos seja 3, composta de maneira a utilizar 3 algarismos diferentes, eles estejam disposto do maior para o menor. Portanto, o maior número da lista de Paulo que não possui algarismos repetidos é D) Não, pois a lista é infinita, basta adicionar infinitos zeros em um dos números já listados que sua soma não será alterada, simplesmente aumentaremos sua ordem.

4 4. A) O mapa 3 está apresentado abaixo: B) Percebe-se que cada mapa é constituído por 9 números, assim para encontrar os números dispostos no mapa 157, devo encontrar o produto de = Este é o último número do mapa, desta forma juntamente com ele, estão os números 1412, 1411, 1410, 1409, 1408, 1407, 1406, C) Para encontrar o número do mapa, basta dividir o último número do mapa, pela quantidade de números que temos em cada mapa, que é 9. Fazendo isso, encontraremos o número 224 que é o último mapa de Altamir. 5. A) Sim, é possível, considerando que o primeiro é de VERDADÓ, todos os demais serão, assim não existirá nenhum habitante de MENTIROLÂNDIA na fila. B) Podemos considerar duas possibilidades: Alfredo é de VERDADÓ ou Alfredo é de MENTIROLÂNDIA. Caso Alfredo seja de VERDADÓ, então o que ele diz é verdade, logo foi Bentinho que acionou a campainha. Bentinho é de MENTIROLÂNDIA, já que falou que não foi ele que acionou. Camilo também é de MENTIROLÂNDIA pois diz que Alfredo mentiu, porém ele é de VERDADÓ. Perceba que considerando que Alfredo é de VERDADÓ temos 2 habitantes de MENTIROLÂNDIA. Não satisfazendo o problema. Caso Alfredo seja de MENTIROLÂNDIA, então o que ele diz é mentira, logo não foi Bentinho que acionou a campainha. Bentinho, pelo fato anterior, é de VERDADÓ, pois ele realmente não acionou a campainha. Já Camilo também é de VERDADÓ pois diz que Alfredo mentiu, que está correto, já que consideramos isso no início deste caso. Perceba que considerando que Alfredo é de MENTIROLÂNDIA, satisfazemos o problema, já que somente ele é de MENTIROLÂNDIA e outros dois são de VERDADÓ. Assim, dentre os 3, o habitante de MENTIROLÂNDIA é Alfredo.

5 C) Partindo de que A fala a verdade, temos que B e C são de MENTIROLÂNDIA. Desta forma, o que C fala sobre D (que é sua vizinha tirando A) é falso, sendo assim D é de VERDADÓ e por consequência E é de MENTIROLÂNDIA. Logo na roda temos 3 pessoas de MENTIROLÂNDIA (B, C e E). 6. A) Para a primeira bolinha a ser pintada temos 3 cores disponíveis. Para a segunda bolinha, considerando que bolinhas ligadas por um segmento devem ter cores diferentes, temos 2 cores disponíveis (exclui-se a utilizada anteriormente). Para a terceira bolinha temos 1 cor disponível (exclui-se as duas utilizadas anteriormente). Aplicando o PFC (Princípio Fundamental da Contagem) temos: = 6. Portanto, ele pode pintar o mapa de 6 maneiras diferentes. B) Perceba que essa bolinha adicionada deve ter uma cor diferente das duas a qual ela está ligada, assim temos um cor disponível para colori-la. Portanto, o número de maneiras de colorir esse mapa é igual a 6 1 = 6. C) A região central existem 6 maneiras de colorir. Cada grupo de duas bolinhas adicionada a região central, existem 2 maneiras de colorir, pois essas duas bolinhas deve ser de cores diferentes daquelas que ela está ligada na região central. Aplicando o PFC, temos: 6 região central regiões vizinhas = 96 maneiras Portanto temos 96 maneiras de colorir esse mapa.