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1 A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse:

2 Fundamentos de Matemática Superior - BINÔMIO DE NEWTON Estes resultados foram escritos com expoentes 0 e 1 para reforçar a ideia do decrescimento para x e do crescimento para y. Isso não invalida que 1 = (x + y) 0 = 1.x 0.y 0 = = 1 e também x + y = (x + y) 1 = 1.x 1 y x 0 y 1 = 1.x y = x + y e assim por diante. Estes, no entanto, são casos particulares para o verdadeiro binômio estudado por Newton número racional. q (x y), onde q é um De fato, podemos explicar o coeficiente destacado ao lado a partir da soma dos coeficientes 1 acima e 1 à esquerda deste, também destacados. Veja que, para obtermos o desenvolvimento de (x y), fazemos o produto de (x y) (1x 1y) e isso resulta em x (1 1)xy y, isto é, o coeficiente de xy é a soma dos coeficientes da linha anterior 1x + 1y. Isso porque, no momento de aplicar a propriedade distributiva (D1), teremos y vezes 1x mais x vezes 1y: y x (x y). ( 1x 1 y) linha anterior Veja agora que, para obter 3 (x y), fazemos (x y).(x xy y ). Assim, podemos pensar que, para obter 3x y, multiplicamos y por x e somamos com a multiplicação de x por xy: y x (x y)( 1x x y y ) linha anterior Na prática, então, somamos 1 + para obter o coeficiente de 3x y. O mesmo dizer para todos os demais coeficientes internos do triângulo. Resumindo, os coeficientes internos de uma linha podem ser obtidos a partir de somas específicas da linha anterior. Esta propriedade é geralmente conhecida com o nome de relação de Stifell. As potências naturais de binômios, isto é, (x + y) 0, (x + y) 1, (x + y), (x + y) 3,..., (x + y) n, apresentam desenvolvimentos que podem ser facilmente obtidos de maneira conjunta, para valores não muito altos de n. Seus resultados são formados por potências decrescentes de n a 0 para a variável x e por crescentes de 0 a n para a variável y. O quadro a seguir ilustra os desenvolvimentos dos cinco primeiros destes binômios: (x y) 1.x y (x y) 1.x y 1.x y (x y) 1.x y.x y 1.x y (x y) 1.x y 3.x y 3.x y 1.x y (x y) 1.x y.x y 6.x y.x y 1.x y Em homenagem ao físico inglês Isaac Newton (16 177), estes resultados são conhecidos como binômios de Newton. Podemos formar um quadro agora apenas com os coeficientes dos binômios: Trata-se de um triângulo infinito, assim como temos infinitos binômios (x + y) n. Este já era do conhecimento do chinês Chu Shih-Chieh (1303), mas, apesar disso, recebeu o nome do matemático francês Blaise Pascal ( ) (triângulo de Pascal). Observe que, em cada linha, o primeiro e o último números são iguais a 1 e isto é intuitivo a partir do fato de tais números representarem os coeficientes de x n e de y n. Mostramos ao lado que os demais números podem ser obtidos a partir da soma do número acima com o imediatamente antes deste. Assim, destacamos exemplos de como os coeficientes internos das linhas podem ser obtidos: a partir da soma do coeficiente imediatamente acima com o anterior a este. Desta forma, = e 15 = Com estas considerações, simplificamos o trabalho de várias multiplicações e somas para obter tais potências. Veja a justificativa desta propriedade na coluna auxiliar. Exemplo 3O Calcule o desenvolvimento de (3a 1). 3 3 (3a 1) 1.(3a).(3a) ( 1) 6.(3a) ( 1).(3a)( 1) 1.( 1) a.3 a.( 1) 6.3 a (1).3a.( 1) a 108a 5a 1a 1

3 Fundamentos de Matemática Superior - 3 Para fazer a prova real, substitua a por 1 e veja que, (3a 1) = = 16 e que 16 também será o valor numérico do lado direito substituindo a = 1, isto é, a soma dos coeficientes = 16. Com isso, a soma dos coeficientes é o valor numérico da expressão resultante para a = 1. Basta considerar x = 3a e y = 1 e utilizar a quinta linha do triângulo de Pascal, considerando que os expoentes de x diminuirão de até 0 e os de y aumentarão de 0 até. Observe também os resultados alternados como consequências dos números negativos elevados a expoentes pares e ímpares. Tais procedimentos se justificam para valores não muito altos de n, pois, para calcular uma linha de coeficientes específica, necessitamos calcular todas as linhas anteriores. No entanto, é possível também o cálculo individual dos coeficientes do binômio de Newton (x + y) n sem calcular os coeficientes anteriores, utilizando números binomiais: n n! p p! (n p)! Assim, por exemplo, 5! = = 10 e 6! = = 6.5! = 70. Os fatoriais 0! e 1! foram definidos convenientemente como iguais a 1. onde o sinal de exclamação significa fatorial de um número não-negativo: o fatorial de n, quando n, é definido como o produto de n por todos os seus antecessores não-nulos e definido como 1 quando n = 0 ou n = 1. O triângulo de Pascal poderá assim ser representado: Inicialmente, calculamos o binomial indicado usando a definição. Em seguida, lembramos que a potência do 1ª variável diminuirá de n = Exemplo 3P Encontre o terceiro termo do desenvolvimento de números binomiais. 5 8 (x 3) usando 8 até zero. Assim, para o terceiro termo, esta potência será 6 (8 ). Analogamente, a potência da ª variável aumentará de zero até n = 8. Assim, no terceiro termo, tal potência será. 8 8! 8 7 6! 56 8! (8 )!! 6! 8 x 8 ( 3) 8 x 6 9 5x 6 EXERCÍCIOS IMEDIATOS 30) Desenvolva os seguintes binômios: 5 6 a) (x 1) b) (x ) c) (x y) d) (x 1) e) (x 1) f) ( 1) g) 3 1 ( 3) h) x x 5 x i) y 31) Calcule a soma dos coeficientes das potências de: a) (3x 1) b) (653x y 65)

4 Fundamentos de Matemática Superior - PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA Começando em n = no, se valer para este natural, valerá também para o seguinte n = no + 1, por causa de (b). Se valer para n = no + 1, valerá também para o seguinte n = no +, por causa de (b), e assim por diante. Logo, valerá para todos os naturais após n = no. Este princípio matemático é comparado a uma fila de dominós levantados e posicionados a uma certa distância entre si: se derrubarmos qualquer um deles (a) e a distância entre os seguintes for menor que seus tamanhos (b), podemos assegurar que todos após o 1º derrubado (no) cairão. Este resultado é também conhecido como princípio da indução finita. No quadro ao lado, reescrevemos o lado esquerdo da fórmula para n = k + 1 e destacamos a presença da fórmula para n = k como parte integrante. Como tal fórmula vale para n = k, substituímos seu valor na igualdade. Assim, teremos o trabalho de chegar à validação para n = k + 1, isto é, chegar em 5(k+1)(k+), o que é conseguido através de fatoração. Inicialmente, desmembramos (k + 1)! conforme a definição de fatorial. Em seguida, aplicamos a suposição de validade, isto é, se vale para n = k, temos que k k! 3. Como precisávamos arrumar uma potência de 3 com o expoente k + 1, substituímos 1 por + 3 e aplicamos a propriedade distributiva (D1). Mas, como (k ).3 k é um número natural (portanto, positivo), o resultado segue. Quando desejarmos demonstrar uma relação matemática (igualdade, desigualdade ou propriedade) generalizada na dependência de um número inteiro n, podemos usar o princípio da indução matemática que se resume em: a) se ela valer para um inteiro no e b) supondo a validade para o inteiro k, provarmos a validade para o inteiro seguinte, k + 1: Então, a relação valerá para todo inteiro a partir de no. Na prática, teremos o objetivo de provar a relação para o valor seguinte (k + 1), supondo a validade para o valor anterior (k) e a validade confirmada para algum valor específico natural no. Depois disso, a relação será verdadeira para todos os valores maiores ou iguais a no. Exemplo 3Q Mostre, por indução matemática, que n = 5n (n+1). Podemos reescrever isso como n= 5n (n+1). Assim, no poderá ser igual a 1. Mas: a) Esta fórmula vale para no = 1 porque (1 1) b) Supondo validade para n = k, temos k= 5k (k+1). Vejamos se vale para n = k +1: k 10(k 1) 5k(k 1) 10(k 1) 5k(k 1) (k+1) (5k+10) (k+1) 5(k+)= 5(k 1)(k ) Como conseguimos escrever a soma para n = k + 1 ajustada à fórmula que se quer provar, damos a demonstração por indução matemática concluída. Exemplo 3R Mostre, por indução matemática, que a) A desigualdade vale para n = 7 porque n n! > 3, n 7. b) Supondo que vale para n = k, teremos que para n = k + 1. Temos que provar que = k+1: k (k 1)! (k 1).k! (k 1) ! k k! > 3, vejamos se vale k+1 (k+1)! > 3, isto é, que vale para n k k k 1 k 1 (k 1)! > (k 3).3 (k ) Veja a importância do princípio de indução matemática para demonstrar esta desigualdade de forma definitiva. Se não o utilizássemos, poderíamos tentar verificar sua validade para n = 7, 8, 9, 10, etc e ainda que chegássemos à conclusão que a mesma desigualdade valesse para n = 100, não haveria prova suficiente para nos certificar a validade para n = 101. Assim, o princípio de indução trabalha na velocidade dos números naturais infinitos.

5 Fundamentos de Matemática Superior - 5 EXERCÍCIOS IMEDIATOS Dica 3: em (a), chegue em (k + 1). Em (b), chegue em (k +1).(k + ). 3) Prove, por indução, os seguintes resultados: a) (n 1) n, n 1 b) 6... n n(n 1), n 1 EXERCÍCIO INTERMEDIÁRIO 33) Prove, por indução, os seguintes resultados: n(n 1) a) 1... n, n 1 b) n(n 1) (n 1) 1... n, n 1 3 c) n(n 1) n(n 1) 1... n, n 1 EXERCÍCIOS AVANÇADOS Dica 3: em (c), use o fato de que = x 7 e que x 81 = =10 k = 10 k+ 10 k+1-9 (com quantidades apropriadas de números repetidos). 3) Prove, por indução, os seguintes resultados: a) 3 n 7n 1, n 3 n b) (n)! 5, n 3 n 1 7(10 c) 9n 10) , n 1 81 n números 7 35) a) Tente provar por indução que o número da forma n ímpar usando apenas o critério (b). n é sempre b) Você poderia dizer qual é o menor valor de n a partir do qual isso valerá 36) Vimos que, para obtermos os coeficientes internos do triângulo de Pascal, utilizamos a relação de Stiffel, demonstrada no texto a partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: n n n 1 p p 1 p 1 Demonstre agora tal importante relação utilizando: a) o conceito de número binomial; b) o princípio da indução finita.

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