Aula: Fatorial e binomial

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1 Aula: Fatorial e binomial BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL

2 Fatorial e binomial Fatorial de um número inteiro e não negativo n se define como sendo a expressão: n! = n(n 1). (n 2). (n 3). (n 4) Indicação: n! (n fatorial) Exemplos: a) 2! = 2. 1 = 2 b) 5! = = 120 c) 8! = =

3 Observações: Definimos: 0! = 1 e 1! = 1 Convém notar que: 7 = 7. 6! 9 = ! n! = n. (n 1)! (n + 1)! = (n + 1). n! (n 2)! = (n 2). (n 3)! Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente para resolvermos um exercício.

4 Exemplos: 1) Simplifique as expressões: a) 7! 5! = 7.6.5! 5! = 42 b) n! n 2! = n. n 1. n 2! n 2! = n. (n 1)

5 n! n + 1! c) n 1! = n. n 1! n + 1. n. n 1! n 1! Observe que: fator comum n n 1! fator comum n + 1. n. n 1! n 1! Então: n n 1!. 1 (n + 1) n 1! = n. n = n 2

6 Equações: Resolva as equações: a) n! = 24 Solução: n! = 4! transformamos: 24! em 4! n = 4 V = 4

7 Ainda em equações... b) n 1! = 10. n 2! Solução: n 1. n 2! = 10 n 2! n 1 = 10 n = 11 V = 11

8 Números binomiais Número binomial é todo número na forma: n p = n! p! n p! sendo: n, p N e 0 p n) Obs.: n é o numerador do binomial e p é o denominador. Exemplo: 7 3 = 7! = 7! = ! 3! 7 3! 3!.4! ! = 7.5 = 35

9 Binomais importantes: n 0 = n! 0!.(n 0)! = n! 0!.n! = 1 1 = 1 n n = n! n!. n n! = n! n!0! = 1 n 1 = n! 1!. n 1! = n.(n 1)! 1! n 1! = n 1 = n Exemplos: 5 0 = = = 1

10 Binomiais consecutivos: Dois binomiais são consecutivos se têm o mesmo numerador e denominadores consecutivos. Ou seja: n p e n p + 1 consecutivos Exemplos: 7 2 e 7 3 ou 8 1 e 8 2.

11 Propriedades: Relação de Stifel: a soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador é o maior dos denominadores envolvidos na soma. n p + n p + 1 = n + 1 p + 1 Exemplo: = 9 5

12 Ainda em propriedades... Igualdade: dois binomiais são iguais quando: n o São exatamente iguais: p = n p. Ex: 5 3 e 5 3 o São complementares: Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus 7 denominadores resulta o numerador. Ex: 2 e 7 5. Pois: 7 2 = 7! 2!. 7 2! = 7! 2!. 5! e 7 5 = 7! 5!. 7 5! = 7! 5!. 2!

13 Exercícios: 1. Simplifique a expressão:

14 2. Calcule x nas equações: a) 10 x = b) x = 11 6 R: a) x = 3 ou x = 7 b) x = 4 ou x = 6

15 Triângulo de Pascal Quando expomos os binomiais n p em linhas e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o triângulo de Pascal:

16 Analisando os valores dos binomiais no : Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu resultado, o triângulo fica assim:

17 Propriedades do : O primeiro elemento de cada linha é na forma n 0, logo é igual a 1; O último elemento de cada linha é na forma n n, logo é igual a 1; Em uma linha binomiais equidistantes são iguais:

18 Ainda em propriedades do... A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do segundo elemento somado (relação de Stifel).

19 Teoremas... Teorema das Linhas: a soma de todos os elementos de uma mesma linha do triângulo de Pascal é igual a 2 n, onde n corresponde a linha do triângulo. (linha 0, linha 1 e assim por diante).

20 Teorema das colunas: a soma dos elementos de uma mesma coluna do triângulo de Pascal, iniciando-se com o n n, é igual ao elemento situado na linha imediatamente abaixo e na coluna imediatamente à direita do último elemento somado.

21 Teorema das Diagonais: a soma dos elementos de uma mesma diagonal do triângulo de Pascal, iniciando-se com o n 0 é igual ao elemento situado na mesma coluna e na linha imediatamente abaixo do último elemento somado.

22 Ampliando os horizontes... Somatório: É indicado pela letra grega (sigma) e representa a soma de um determinado números de parcelas com uma característica comum. Observe: 3 i=0 i 2 3, onde: i 2 i=0 Limite superior Limite inferior

23 Isto quer dizer que... 3 i=0 i 2 = = = 14 Mais um exemplo: 4 n=1 2n 1 = = = 16

24 Agora com equações... Resolva a equação na variável n: 2 i=0 n i = 29 n 0 + n 1 + n 2 = n = 29 n = 28

25 n + 1! 2! n + 1 2! = 28 n + 1! 2! n 1! = 28 n + 1. n. n 1! 2.1. n 1! = 28 n + 1. n 2 = 28 n + 1. n = 56 n 2 + n = 56 n 2 + n 56 = 0 n = 7 ou n = 8 não convém V = 7

26 Desenvolvimento do binômio (a + b) n (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = 1a + 1b (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b 2 (a + b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1b 3... e assim por diante... Observe que: Os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos de cada binômio acima correspondem a cada linha do triângulo de Pascal;

27 Enquanto que os expoentes do 1º termo do binômio (a) decrescem, os expoentes do 2º termo (b) crescem; Cada desenvolvimento tem um termo a mais que seu expoente. Ex: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 3 termos

28 Isto quer dizer que... Para determinar os termos do desenvolvimento de um binômio elevado a n, temos que: a + b n = n 0 an 0 b 0 + n 1 an 1 b 1 + n 2 an 2 b n n an n b n Logo, utilizando somatório: (a + b) n = n k=0 n k an k b k obs: se a b n = a + b n

29 Termo geral do binômio: Se quisermos conhecer um termo qualquer do binômio, basta utilizarmos o termo geral do binômio: T k+1 = n k. an k. b k onde: Para termos o 1º termo (T 1 ) k deve ser igual a zero, pois: T k+1 = T 1 k + 1 = 1 k = 0

30 Fontes: E_NEWTON.pdf ioteca.ashx?arq=129 Livro: Matemática ciência e aplicações Gelson Iezzi.