CARTAS, EMBARALHAMENTOS E MATEMÁTICA. Krerley Oliveira Universidade Federal de Alagoas

Transcrição

1 CARTAS, EMBARALHAMENTOS E MATEMÁTICA Krerley Oliveira Universidade Federal de Alagoas

2 Esquema da palestra Localizando a carta escolhida ( 5º ano ) Como escolher um bom jogo de pôquer (roubando)? ( Ensino médio ). Conexão com aniversários e cartas ( Ensino Médio/Graduação ) Quantas vezes devemos embaralhar um monte de cartas para deixá-lo aleatório? (Iniciação Científica)

3 Localizando a carta escolhida Um espectador embaralha o baralho. O mágico descarta 9 cartas e pede que o espectador escolha uma e a memorize. Ele as devolve ao baralho. Vamos localizar essa carta do seguinte modo: Descartamos de face para cima as cartas contando regressivamente de 10 a 1. Caso alguma carta apareça com o número igual ao número da contagem, paramos o descarte e iniciamos outro monte. Caso contemos até 1, colocamos uma carta com face para baixo e matamos o monte. K, Q e J valem 10. Formam-se 4 montes desse modo. Soma-se os valores das cartas para cima dos montes e descarta-se essa quantidade de cartas. A última carta descartada é a escolhida.

4 Temas para o primeiro exemplo: Equações do primeiro grau Invariantes (a posição da carta é o invariante) Contagem

5 Jogando pôquer Um jogo de Pôquer é um conjunto de 5 cartas. Tipos de jogos: Par = duas cartas de números iguais Dois pares = dois pares diferentes Trinca = três cartas iguais Quadra = Quatro cartas iguais

6 Roubando no pôquer Jogo: Embaralhamos 10 cartas e as colocamos com as faces para baixo, enfileiradas sobre uma mesa. O mágico e um voluntário se alternam escolhendo uma de cada vez uma das cartas da extremidade. O mágico começa e no final, ele tem a melhor mão de pôquer.

7 Aniversários e cartas iguais Qual a probabilidade pn de num conjunto de n pessoas pelo menos duas fazerem aniversário no mesma data do ano? Qual a probabilidade cn de tomarmos n cartas de um baralho e pelo menos duas serem do mesmo número?

8 Resposta do problema dos aniversários É mais fácil calcular a probabilidade de num grupo de n pessoas não haver duas que fazem aniversário no mesmo dia: 1- p n = 365!/(n!365 n ) Alguns valores de p n: n p n:

9 Resposta do problema das cartas iguais Novamente, é mais fácil calcular a probabilidade de num grupo de n cartas não termos duas que sejam iguais: C n = 1-52!/(n!52 n )

10 Jogo do tira-do-canto Escolha 10 números, digamos: 5, 7, 2, 3, 11, 12, 14, 19, 20, 6 Dois jogadores se alternam retirando um número por vez de uma das extremidades. Ganha quem obtiver a maior soma.

11 Estratégia do Tira-do-Canto Somar os números nas casas ímpares e nas casas pares; 5, 7, 2, 3, 11, 12, 14, 19, 20, = =47 Retirar sempre os números de posição ímpar.

12 Voltando ao pôquer... Com 10 cartas, a chance de haver pelo menos um par é mais de 98%. Arrumamos as cartas de modo que os ímpares tenham o melhor jogo. Efetuamos um falso embaralhamento (que preserva os ímpares). Escolhemos os ímpares.

13 Temas para a segunda brincadeira Jogo de Poker e probabilidades. Permutações que deixam um subconjunto invariante; composição de permutações Estratégias vencedoras para um jogo Fórmula de Stirling

14 Quantas vezes devemos embaralhar? Para simplificar, vamos considerar um baralho com n=10 cartas: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) Embaralhamento: Cortar em dois montes e misturar as cartas respeitando a ordem dos montes. Exemplo: (2,1,3,4,10,6,7,8,5,9) (2,1,3,4) e (10,6,7,8,5,9) (2,10,1,3,6,7,8,4,5,9)

15 Qual a probabilidade de um embaralhamento? Cortar na posição k: de acordo com a distribuição binomial b( n,0.5, k) n = k Cada mistura tem a mesma probabilidade 1 n k 1 2 n Obs: O embaralhamento original pode ser obtido de n+1 modos diferentes.

16 Qual a probabilidade de um embaralhamento? n +1 Assim, a probabilidade da identidade n é Os demais embaralhamentos têm probabilidade 2 1 n 2 Note que nem todos os embaralhamentos são possíveis com uma embaralhada: por exemplo, de (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) não podemos chegar em (2,1,4,3,6,5,8,7,10,9) com uma embaralhada. Para ver isso, defina:

17 Sequências Crescentes Uma sequência crescente é uma subsequência maximal de inteiros consecutivos em ordem crescente. Exemplo: (2,1,3,4,10,6,7,8,5,9) possui as seguintes sequências crescentes: (2,3,4,5) (1) (6,7,8,9) (10)

18 Criando sequências crescentes Começando com a ordem (1,2,3,,n), a cada embaralhamento no máximo dobramos o número de sequências crescentes; Assim, com um apenas embaralhamento não podemos obter todas as sequências. Para que seja possível obter todas as 52! sequências precisamos de no mínimo de log2 52 = 5,7 embaralhamentos

19 a-embaralhamentos Corte: dividimos a pilha de de cartas em a pilhas; mistura: distribuimos as cartas respeitando a sequência de cada pilha. Um a-embaralhamento é um par cortemistura. O processo de embaralhar s vezes um baralho, equivale a um s- embaralhamento.

20 Contando a- embaralhamentos Exemplo: (1,2,6,3,4,5,6) se origina dos seguintes 4-embaralhamentos: (1,2,3/4,5/6/), (12,3/4,5//6), (1,2,3/4/5/6), (1,2,3//4,5/6), (1,2/3/4,5/6),(1/2,3/4,5/6) e (/1,2,3/4,5/6) Teorema: Se uma ordenação possui r sequências crescentes, o número de pares corte-mistura que a resultam a partir da ordem (1,2,,n) é: n + a r n

21 Números Eulerianos Os números A(n,r) de ordenamentos de (1,2,3,,n) com r sequências crescentes é chamado número Euleriano. Teorema: Se a e n são inteiros positivos, então: e ), ( ), ( 1 1 r n A n r a n a a n A a r n = + = 1,1) ( = n A

22 Distância de variação Seja X um processo que ordena {1,2,,n}. Denote por f(π) a chance de X produzir π. A distância de X da 1 uniformidade 1 é: d ( X ) = 2 π Ω f ( π ) n! Note que d(x) está entre 0 e 1 (prove!).

23 Resultado principal: Teorema: A distância do processo de embaralhar n cartas s vezes da uniformidade é:! 1 2 / 2 ), ( 2 1 ) ( 1 n n r n r n A X d ns n r s + = =

24 Devemos embaralhar pelo menos 7 vezes! Observe o gráfico de d(x):

25 Temas para o terceiro problema Combinatória Permutações Teorema de Ërdos-Szekeres (toda sequência de n=ab+1 inteiros possui uma sequência crescente de a+1 ou descrescente de b+1). Números Eulerianos Recorrências Processos Estocásticos Simulações

26 Fontes: Mathematics, Magic and Mistery Martin Gardner Dover, 1950 Introduction to Probability L. Snell and C. Grinstead Chance Project (ótima fonte) Colm s Cards Tricks website

27 Hora dos comerciais: Mestrado em Matemática na UFAL: Inscrições até Novembro Bolsas de mestrado!

28 Divirtam-se! Maringá