Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

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1 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel Casal

2 Triângulo retângulo c) 1. Considere o seguinte triângulo. B 6 A D Escreva o nome de cada segmento abaio levando em consideração o triângulo ABC. a) AB e BC d) AD b) AC e) DC c) BD Relações métricas no triângulo retângulo. Veja a figura abaio e escreva ao menos quatro relações métricas. s z t 3. Arnaldo fez um capéu de papel cuja planificação está ilustrada abaio. Quanto mede a altura do capéu? cm 9 cm. Em um losango, a diagonal menor mede 6 cm e a diagonal maior mede 8 cm. a) Determine o perímetro do losango. b) Determine a área do losango. 5. Em cada item, escreva uma relação métrica que envolva a incógnita assinalada e determine o valor dessa incógnita. a) c) k C Teorema de Pitágoras 7. No cruzamento da rua dos Estudantes com a rua dos Matemáticos, em determinada cidade, ocorreu um acidente, e a compania de engenaria de tráfego local resolveu interditar a área com fitas de isolamento, como a da figura abaio. O mapa a seguir mostra a forma que a compania de engenaria de tráfego isolou a área. Rua dos Estudantes Rua dos Matemáticos Se a rua dos Estudantes tem m de largura e a rua dos Matemáticos 1 m, qual deve ser o comprimento mínimo de fita necessário para isolar a área? 8. Antônio quer fazer uma grande pipa com formato de losango, como indica a figura a seguir. Cris Leacman/Sutterstock.com b) Calcule o valor de cada incógnita indicada sabendo que as medidas estão em metros. a) b) Calcule a medida da vareta que está na orizontal sabendo que as medidas estão em decímetros. 9. Um terreno tem a forma de um trapézio, cujas bases medem 6 m e m e os lados oblíquos medem 13 m e 15 m. Calcule a área desse terreno. Atividades complementares 13

3 10. Quando Mário consome refrigerantes, ele junta essas garrafas em sua casa (como mostra a figura abaio), para em seguida levar para um depósito de reciclagem. KKulikov/Sutterstock.com 13. Um funileiro precisou soldar algumas peças triangulares. Calcule o comprimento de cada emenda (indicada pela lina tracejada) e o valor das outras incógnitas da peça resultante. a) 7 dm 15 dm dm b) 1 dm 1 dm 1 dm 1 dm z Para evitar que as garrafas se espalem, ele as colocou dentro de uma caia de papelão. A figura abaio mostra um dos lados da caia e o fundo das garrafas. 8 cm Se o diâmetro da base de cada garrafa mede 8 cm, determine a altura da caia de papelão. 11. É comum encontrar o mosaico abaio (com a forma do mapa do estado de São Paulo) em algumas calçadas da cidade de São Paulo. Esses mosaicos são formados por composições de pisos quadrados. c) 8 dm 9 dm 1 dm 1. Um roteador, como o da figura abaio, possibilita, entre outras coisas, que um ou mais computadores possam ter acesso simultâneo à internet. Jorge comprou um roteador em que o alcance do sinal é 15 m sem barreiras e 1 m com barreiras. O sinal perde intensidade com o aumento da distância. Pela facilidade de instalação dos cabos, o roteador será instalado no ponto A do seu quarto, indicado na figura. A 5 m 5 m Ale Kalmbac/Sutterstock.com 1,5 m m quarto sala,5 m Se cada piso tem cm? cm, qual deve ser o perímetro de um dos mapas? 1. Ciro fez um deseno como o ilustrado abaio. As medidas de três lados estão indicadas. 1 Quanto mede o maior lado? 9 m m baneiro Para acessar a internet da sala, Jorge encontrará algum problema? 15. Aplique o teorema de Pitágoras em cada um dos triângulos abaio e determine os valores das incógnitas. a) 1 b) 1 Atividades complementares 1

4 16. Determine as áreas dos trapézios ilustrados abaio, sabendo que as medidas estão em centímetros. a) 10 b) Hoje em dia é possível encontrar em prateleiras de supermercados diversas bebidas em caias, como sucos e bebidas lácteas. Para que todo o líquido dentro da caiina possa ser consumido, essas bebidas são acompanadas de canudos que podem ser dobrados, como o da figura abaio. 8 Esse tipo de canudo é sempre dobrado de modo que uma das partes fique maior do que a outra. A escola por esse tipo de canudo se deve ao formato da caia de suco, que é a de um paralelepípedo, e a maior distância entre dois pontos do paralelepípedo é o comprimento da sua diagonal. Uma caia de suco de 0 ml tem dimensões iguais a 3,7 cm 3,7 cm 3 11,6 cm. Se a parte maior do canudo mede 8,5 cm e a parte curva 0,5 cm, qual deve ser o comprimento da parte menor para que o tamano do canudo seja igual ao da diagonal da caia? Aaron Amat/Sutterstock.com Atividades complementares 15

5 9 ENSINO Matemática FUNDAMENTAL 9-º ano Resolução comentada Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel Casal

6 Triângulo retângulo 1. a) catetos b) ipotenusa c) altura relativa à ipotenusa d) projeção ortogonal do segmento AB sobre a ipotenusa e) projeção ortogonal do segmento BC sobre a ipotenusa Relações métricas no triângulo retângulo. Temos as seguintes possibilidades de relações métricas: t 5? k 5 k? z s 5? z z? t 5 s? z 5 s 1 3. Temos que a altura é dada por: 5? 9 5 dxxx (Lembre-se de que a raiz negativa é descartada, pois estamos calculando valores geométricos.) Portanto, a altura do capéu de papel que Arnaldo fez é 6 cm.. a) No losango, as diagonais são perpendiculares e concorrem no ponto médio. Assim, o losango pode ser dividido em triângulos retângulos iguais com catetos de medidas 3 cm e cm. A ipotenusa tem medida, que corresponde à medida do lado do losango. 3 5 dxxxxxxx Logo, o lado do losango mede 5 cm e, então, o seu perímetro é? 5 cm 5 cm. b) A área do losango pode ser obtida através da soma das áreas dos quatro triângulos que o compõem, ou seja:? ( 3? ) 5 Logo, a área do losango é cm. 5. a) 5? 18 5 dxxx b) 5 8? 10 5 dxxx 80 5 dxx 5 c) 10 5? a) 5 (3 1 9)? 3 5 dxxx A medida de é 6 m. b) 1 5 ( 1 8)? A medida de é 10 m. c) 6 5 ( 1 )? A medida de é 5 m. Teorema de Pitágoras 7. A região isolada pela compania de engenaria de tráfego local tem formato de um triângulo retângulo em que a largura da rua dos Estudantes e a da rua dos Matemáticos representam os catetos desse triângulo. Se representa a medida da ipotenusa do triângulo, temos: m 1 m dxxxx Assim, o comprimento mínimo de fita necessário para isolar a área será: m 1 1 m 1 9 m 5 70 m 8. Para determinar a medida da vareta, vamos dividir o losango em triângulos retângulos congruentes. Com isso, temos que 13 é a ipotenusa desse triângulo, 5 e são os seus catetos ( ) ? dxxxx Portanto, a medida da vareta na pipa de Antônio é dm. 9. Para calcular a área desse terreno é necessário primeiro determinar a altura da figura em forma de trapézio. Então, temos a seguinte figura: Resolução comentada 17

7 Pela figura, e aplicando o teorema de Pitágoras, temos o sistema a seguir: ( 1 )? ( ) 5 56 ( 6)? ( ) ? ( ) Sabemos que , e junto com a equação anterior conseguimos montar um novo sistema: ä 5 18 ä 5 9 e Para determinar a altura do trapézio, substituímos o valor de ou de em uma das equações do primeiro sistema dxxxx A área A do trapézio é: ( 1 6) 1 A Portanto, a área do terreno é 156 m. 10. Se o diâmetro da base de cada garrafa mede 8 cm, então o raio da base mede cm. Assim, a altura da caia será: 8 cm cm cm cm cm cm 5 1 1, em que corresponde à altura de um triângulo equilátero de lado cm. Então: dxx dxx 3 Logo, a altura da caia é ( dxx 3 ) cm. 11. A diagonal d de um quadrado de lado será dada por d 5 dxx. Se cada piso é um quadrado de lado cm, a medida da diagonal será d 5 dxx cm. Portanto, o perímetro P do mapa do Estado de São Paulo é: P 5? 1 dxx 5 80(1 1 dxx ) Logo, o perímetro é 80 ( 1 1 dxx ) m. 1. Primeiro, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do lado AB. Então, temos: A 1 9 (AB) AB 5 dxxxx Agora, aplicando o teorema de Pitágoras novamente, determinarmos a medida do lado AC. Então, temos: (AC) AC 5 dxxxx Portanto, o maior lado do deseno de Ciro mede a) Para encontrar : dxxxxxxxxx dxxxx Para encontrar : dxxxxx 00 5 Portanto, 5 5 dm e 5 dm. b) Para encontrar : dxx Para encontrar : ( dxx ) dxx 3 Para encontrar z: z z 5 ( dxx 3 ) 1 1 z 5 dxx 5 Portanto, 5 dxx dm, 5 dxx 3 dm e z 5 dm. c) Para encontrar : dxxxxxxxxx dxxxx Para encontrar : dxxxxxxxxxx dxxxx Portanto, 5 15 dm e 5 17 dm. B C Resolução comentada 18

8 1. A maior distância será entre os pontos A e B indicados na figura abaio. m m A m 5 m quarto baneiro d 5 m sala B 1,5 m,5 m d 5 dxxxxxxxx > 11,66 m Jorge conseguirá acessar a internet em qualquer ponto da sala, porém o sinal dela fica mais fraco à medida que ele se aproima do ponto B. 15. a) ( 1 1) 5 1 ( 1) Resolvendo essa equação de o grau, temos: D 5 ()? 1? b ± dxx D 5 ± a 5 0 ou 5 Como não poderia ser zero, pois teria um comprimento do lado do triângulo que seria negativo, conclui-se que 5. b) ( 1 ) 5 1 ( 1 ) Resolvendo essa equação de o grau, temos: D 5 ()? 1? (1) b ± dxx D 5 ± 8 a 5 ou 5 6 Como não pode ser negativo por ser a medida do comprimento de um dos lados do triângulo, conclui-se que a) Para calcular a área do trapézio, primeiro precisamos determinar sua altura. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo mostrado na figura a seguir: dxxxx Então, a sua área A é: ( 1 10)? 16 A Portanto, o trapézio tem 56 cm de área. b) Para calcular a área do trapézio, primeiro precisamos determinar a sua altura. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo mostrado na figura a seguir: dxxxx Então, a sua área A é: (8 1 8)? A Portanto, o trapézio tem 3 cm de área. 17. Comprimento da diagonal d do paralelepípedo: d 5 dxxxxxxxxxxxx a 1 b 1 c 5 dxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (3,7) 1 (,7) 1 (11,6) > > 13,05 O comprimento da diagonal d é aproimadamente 13,05 cm. Portanto, se é o comprimento da parte menor, temos: 1 8,5 1 0,5 5 13,05 5,05 Para que o tamano do canudo tena o mesmo comprimento da diagonal da caia, a parte menor deve ter,05 cm de comprimento. Resolução comentada 19