Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I. Grupo I

Transcrição

1 Escola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no Plano e no Espaço I 1º Teste de avaliação rupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. as seguintes afirmações sobre poliedros regulares só uma é verdadeira. Qual é essa afirmação? () Se um poliedro tiver todas as faces geometricamente iguais é regular. () Num tetraedro regular em cada vértice concorrem quatro faces. () Existem só três poliedros regulares cujas faces são triângulos equiláteros. () Existe um poliedro regular cujas faces são hexágonos regulares.. Na figura está presente a relação dobro de nas seguintes medidas: () Área e Perímetro () Perímetro e Raio () Área e Raio () Área, Perímetro e Raio. igfoot lançou dois tamanhos de bola no mercado. razão entre os seus raios é 0,6. O volume da bola maior é 144 cm. Então, o volume da bola menor é: () 64 cm 5 () 1070 cm () cm 15 () 1996 cm 5 4. Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura: E () s rectas E e são perpendiculares () s rectas e E são não complanares () s rectas e são paralelas () s rectas E e são não complanares Professora: Rosa anelas 1 no Lectivo 009/010

2 5. área do paralelogramo da figura é 16 cm. Qual é o valor de x? () x = 5cm () x = 7cm x - () x = 9cm () x = 11cm x + rupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Na figura está representada uma caixa com a forma de paralelepípedo na qual estão introduzidos alguns cubos sobrepostos e todos de igual tamanho. Sabendo que o volume ocupado pelos cubos é de 144 cm, determine: 1.1. as dimensões da caixa. 1.. o volume da caixa não ocupado pelos cubos. Nota: se não resolveu 1.1. faça = 15cm, = 14cm e = 1cm. Na figura encontra-se representado um cubo em que a aresta mede 7 cm. onsidere que J e K são pontos médios das arestas a que pertencem..1. Represente a intersecção do cubo com o plano JK... lassifique, justificando, o polígono que obteve... Seja x um ponto da aresta [] e α o plano paralelo ao plano E e que passa por x. que distância do ponto deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 10 cm de volume. E J K. Existem muitas maneiras de perfumar uma casa. Uma delas é espalhar pela casa esferas de madeira perfumadas. lgumas dessas esferas são vendidas em caixas que têm a forma de um prisma rectangular recto. s esferas são todas iguais, colocadas tangentes umas às outras e às faces da caixa. s figuras representam, relativamente a uma dessas caixas, a vista de lado e a vista de frente..1. Qual é o volume da caixa, se as esferas nela contidas tiverem 1 cm de raio? Professora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

3 .. Se a medida do raio das esferas for um número inteiro qualquer, mostra que: O volume da caixa é sempre um múltiplo de Na borda da tampa de um bidão de mel representado na figura, está uma gota de mel (). formiga (), muito zelosa em alimentar o seu formigueiro, quer alcançá-la pelo caminho mais curto. escubra qual é esse caminho apresentando as justificações e indicando o seu comprimento, em metros, com aproximação ao centímetro. Sugestão: Para responder às questões, comece por construir planificações do cilindro e localize os pontos envolvidos. eometria ormulário Perímetro do círculo: π r, sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura Losango: diagonal maior diagonal menor Trapézio: base maior + base menor altura perímetro Polígono regular: apótema írculo: π r, sendo r o raio do círculo Álgebra Volumes Superfície esférica: 4π r, sendo r o raio da esfera Prismas e cilindro: área da base altura Pirâmide e cone: 1 área da base altura Esfera: 4 r π, sendo r o raio da esfera órmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma ax + bx + c = 0 : ± x = b b 4ac a Questão otação Professora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

4 Escola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no Plano e no Espaço I 1º Teste de avaliação Proposta de correcção rupo I 1. ()as seguintes afirmações sobre poliedros regulares só uma é verdadeira. Existem só três poliedros regulares cujas faces são triângulos equiláteros, o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.. () Na figura está presente a relação dobro de nas seguintes medidas: Perímetro e Raio. Pois a razão de semelhança só se mantém nas medidas lineares em relação à área seria o quadrado da razão de semelhança.. () igfoot lançou dois tamanhos de bola no mercado. razão entre os seus raios é 0,6 logo a razão entre os seus volumes é ( ) 0,6. omo o volume da bola maior é 144 cm então o volume da bola ,6 144 cm 15 menor é igual a ( ) = E 4. () afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura é: s rectas e E são não complanares 5. () área do paralelogramo da figura é 16 cm, o valor de x é a solução da equação ( ) ( ) x x + = 16 x 9 = 16 x = 5 x = 5 x = 5 mas como x tem de ser maior que só pode ser x = 5 x - x + rupo II 1. Na figura está representada uma caixa com a forma de paralelepípedo na qual estão introduzidos alguns cubos sobrepostos e todos de igual tamanho. omo a figura tem 1 cubos, sabendo que o volume ocupado pelos cubos é de 144 cm, o volume de cada cubo é 64 cm. aresta de cada cubo é 64 = 4 cm. eterminemos: Professora: Rosa anelas 4 no Lectivo 009/010

5 1.1. as dimensões da caixa: = 5 4 = 0 cm, = 4 4 = 16 cm e = 4 4 = 16 cm 1.. o volume da caixa não ocupado pelos cubos é igual ao volume do paralelepípedo menos o volume ocupado pelos cubos = 776 cm. Na figura encontra-se representado um cubo em que a aresta mede 7 cm. onsidere que J e K são pontos médios das arestas a que pertencem..1. Representámos a intersecção do cubo com o plano JK, na figura ao lado. Unimos J a e a K por os primeiros estarem na face da frente e os segundos estarem na face E do lado direito., seguidamente traçámos uma paralela a K J passando por K e encontrámos o ponto que por J estar na face do lado esquerdo como o ponto J pudemos uni-los. Obtivemos assim a secção [JK].. O polígono que obtivemos é um losango porque os quatro lados são iguais mas as diagonais não são iguais [JK] é igual à diagonal da face do cubo e [] é igual à diagonal espacial do cubo... Seja x um ponto da aresta [] e α o plano paralelo ao plano E e que passa por x. distância a que o ponto deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 10 cm de volume é a solução da equação: ( ) 10 = = 7 h 10 h cm 7 E K x J h. Existem muitas maneiras de perfumar uma casa. Uma delas é espalhar pela casa esferas de madeira perfumadas. lgumas dessas esferas são vendidas em caixas que têm a forma de um prisma rectangular recto. s esferas são todas iguais, colocadas tangentes umas às outras e às faces da caixa. s figuras representam, relativamente a uma dessas caixas, a vista de lado e a vista de frente..1. O volume da caixa, se as esferas nela contidas tiverem 1 cm de raio será dado por V = 6 4 = 48cm porque a caixa tem seis esferas: o seu comprimento é igual a diâmetros de esferas, a largura é igual a dois diâmetros de esfera e a altura é igual a um diâmetro da esfera. Se as esferas tiverem 1 cm de raio têm cm de diâmetro. Professora: Rosa anelas 5 no Lectivo 009/010

6 .. Se a medida do raio das esferas for um número inteiro qualquer, mostremos que: O volume da caixa é sempre um múltiplo de 48. Seja r o raio de cada esfera e tomando apenas valores inteiros positivos então as dimensões da caixa vão ser: omprimento igual a 6r. Largura igual a 4r. ltura igual a r. O volume da caixa será V = 6r 4r r = 48r omo r é inteiro o mesmo acontece a r e o volume é o produto de 48 por um número inteiro pelo que é um múltiplo de Na borda da tampa de um bidão de mel representado na figura, está uma gota de mel (). formiga (), muito zelosa em alimentar o seu formigueiro, quer alcançá-la pelo caminho mais curto. escubra qual é esse caminho apresentando as justificações e indicando o seu comprimento. Por descobrirmos o caminho mais curto vamos considerar a planificação do cilindro porque a menor distância tem de ser em linha recta e numa face curva não se pode desenhar um segmento de recta. Para essa representação temos que identificar as dimensões necessárias. altura do cilindro é 1,5 metros e o perímetro da base é P = π 0,5 = π Na planificação precisamos de situar a formiga e a gota de mel Então 1 = 0,5 π = π (em metros) plicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [ ] vem = + portanto, 1 (0,5 π ) = 1+ 0,5π Ou seja, a distância percorrida pela formiga, se utilizar este percurso, é de 1,9 metros, aproximadamente. Professora: Rosa anelas 6 no Lectivo 009/010

7 Escola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no Plano e no Espaço I 1º Teste de avaliação ritérios de correcção rupo I rupo II alcular o número de cubos 1 alcular o volume de cada cubo. alcular a medida da aresta de cada cubo alcular o comprimento da caixa. 5 alcular a largura da caixa 5 alcular a altura da caixa alcular o volume da caixa... 8 alcular o volume da caixa não ocupado pelos cubos esenhar [J].... esenhar []... Traçar paralela a J por K e obter esenhar [K] esenhar [J].... esenhar a secção Identificar o polígono como sendo um losango Justificar esenhar a secção produzida por α... Representar x por uma incógnita Professora: Rosa anelas 7 no Lectivo 009/010

8 Escrever a equação 10 = 7 7 h... 8 Resolver a equação alcular o comprimento da caixa.. 4 alcular a largura da caixa. 4 alcular a altura da caixa... 4 alcular o volume da caixa rbitrar o raio das esferas (r).. alcular o comprimento em função de r... alcular a largura em função de r. alcular a altura em função de r... alcular o volume em função de r.... oncluir que tem um múltiplo de esenhar uma planificação 5 ssinalar os pontos na planificação. 5 plicar o Teorema de Pitágoras para calcular 5 alcular. 5 Justificações. 5 Total 00 Professora: Rosa anelas 8 no Lectivo 009/010