NÚMEROS DE FIBONACCI E A MODELAGEM DE GENERALIZAÇÕES DA SEÇÃO ÁUREA

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1 385 NÚMEROS DE FIBONCI E A MODELAGEM DE GENERALIZAÇÕES DA SEÇÃO ÁUREA Larissa Prado de Figueiredo (Uni-FEF) Antônio Carlos da Siva Filho (Uni-FEF) INTRODUÇÃO Fibonacci nasceu na Itália, mas foi educado no Norte da África, onde seu pai tinha um posto diplomático. Ele terminou sua formação e suas viagens ao redor de 1200 e, então, retornou a Pisa. Restaram cópias dos seguintes livros escritos por ele: Liber abaci (publicado em 1202), Practica geometriae (publicado em 1220), Flos (publicado 1225), and Liber quadratorum. Liber abaci, publicado em 1202, após o retorno de Fibonacci à Itália, foi baseado na aritmética e na álgebra que Fibonacci acumulou durante suas viagens. Este livro, que foi largamente copiado e imitado, introduziu o sistema posicional decimal e o uso de numerais arábicos na Europa. Um problema na terceira secção do Liber abaci levou à introdução dos Números de Fibonacci e da seqüência de Fibonacci, pelos quais Fibonacci é mais lembrado hoje em dia: Quantos pares de coelhos podem se formar em um ano, partindo de somente um par?. A resposta, para uma dada condição inicial, levou à seqüência de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Fibonacci provavelmente incluiu o problema dos coelhos a partir dos seus contatos no exterior e não inventou nem o problema nem a série de números que levam o seu nome. I - Sequência de Fibonacci Começamos com a sequência de Fibonacci propriamente dita. Chamando de f(n) ao termo que ocupa a n-ésima posição na sequência, ela pode ser definida como: f(n) f(n-1) f(n-2) (1)

2 386 com f(1) f(2) 1. Assim, seus primeiros termos são: A partir desta sequência, podemos obter a chamada razão áurea, m, que foi definida em (LÍVIO, 2006) como o limite, quando n tende para infinito, da razão entre dois termos consecutivos desta sequência, ou seja, como o limite de: m f ( n 1) f ( n ) Chamamos, aqui, a razão áurea de o numero Fibonacci e o denotamos por α 2, onde o índice 2 representa a quantidade de termos que são somados, apenas para que possamos generalizar, também, a nomenclatura. O número Fibonacci também pode ser obtido geometricamente. Consideramos um segmento de reta AB e o dividimos por um ponto C, localizado entre A e B, formamos dois segmentos: e CB. Seja o ponto C tal que seja satisfeita a seguinte proporção: α 2 AB CB CB onde α 2 > 1, já que AB > CB. Então, de: AB CB podemos, após dividir os dois membros por, obter:

3 387 AB CB AB CB CB CB α 2 2 α 2 1 ou seja, α 2 é raiz da equação: 2 x x 1 (2) Assim, com dez casas decimais, α 2 1, Propriedades 1.1. Calculamos a soma dos número de Fibonacci. Vamos mostrar que: u 1 u 2... u n u n2 1. Temos: u 1 u 3 u 2, u 2 u 4 u 3, u 3 u 5 u 4,... u n-1 u n1 u n, u n u n2 u n1. Somando essas equações termo a termo, obtemos: u 1 u 2... u n u n2 u 2.

4 u 1 u 3 u 5... u 2n-1 u 2n u 2 u 4... u 2n u 2n u n u n1 u n-1 u n u n-1 u m u n u m u n u n2 (-1) n u 1 u 2 u 2 u 3 u 3 u 4... u 2n-1 u 2n, u 1 u 2 u 2 u 3 u 3 u 4... u 2n u 2n1 1, nu 1 (n-1)u 2 (n-2)u u n-1 u n u n4 (n3).

5 Existe uma ligação entre os números de Fibonacci e outro conjunto de números, os coeficientes binomiais. Vamos estabelecer os coeficientes binomiais no triângulo seguinte, chamado triângulo de Pascal.... Somando as diagonais, obtemos: Fração contínua

6 390 Como computar o valor dessa fração contínua? Poderíamos começar denotando o valor por x. Assim, Note que o denominador do segundo termo do lado direito da equação é idêntico ao próprio x. Portanto, temos a equação Multiplicando os dois lados por x temos x 2 x1, que é a equação que define a Razão Áurea, assim essa fração contínua é igual a Φ. II Generalizações da sequência de Fibonacci Uma das generalizações da sequência de Fibonacci é a seguinte: uma nova sequência, que chamamos de sequência Tribonacci e representamos por t(n), onde cada termo da sequência é encontrado, a partir de três termos dados, pela seguinte relação de recorrência (BEZUSKA, 1997): t(n) t(n-1) t(n-2) t(n-3) (1) com, por exemplo, t(1) t(2) 1 e t(3) 2. Assim, seus primeiros termos, no exemplo acima, são: A partir desta sequência, podemos obter o chamado número Tribonacci, que, por analogia ao número Fibonacci, denotamos por α 3 (onde o índice 3

7 391 refere-se, como para α 2, à quantidade de termos que são somados) e definimos como o limite, quando n tende para infinito, da razão a entre dois termos consecutivos desta sequência, ou seja, como o limite de: a t( n 1) t( n) onde, como se pode ver, a razão é entre um termo e seu antecessor, como também foi definido o número Fibonacci. O número Tribonacci, assim como o número Fibonacci, também pode ser obtido geometricamente. Consideramos um segmento de reta AB e o dividimos por dois pontos C e D, localizados entre A e B, formamos três segmentos:, CD e DB. Sejam os pontos C e D tais que seja satisfeita a seguinte proporção: α 3 AB DB DB CD CD onde α 3 > 1, já que AB > DB. Então, de: AB CD DB podemos, após dividir os dois membros por, obter: AB CD DB AB DB DB CD CD CD DB CD CD α α 3 α 3 1

8 392 ou seja, α 3 é raiz da equação: 3 2 x x x 1 (2) Assim, com dez casas decimais, α 3 1, Podemos, por analogia, definir sequências e números Tetranacci, Pentanacci, etc (WADDILL, 1992). De uma maneira geral, definimos uma sequência K-bonacci como sendo a sequência formada da seguinte maneira: cada termo é obtido a partir da soma dos k termos imediatamente anteriores, ou seja: F(n) F(n-1) F(n-2)... F(n-k) (3) Assim como nas sequências Fibonacci, Tribonacci, etc., podemos formar a razão entre dois termos consecutivos desta sequência generalizada. Esta razão converge para um número que chamamos número K-bonacci (e representamos por α k ), o qual pode ser encontrado como uma das raízes da seguinte equação polinomial (obtida por uma generalização do processo que levou às equações (2) e (4)): x k x k 1 x k 2... x 1 (4) O objetivo deste trabalho é modelar a sequência de números k-bonacci de modo a encontrar uma expressão que forneça, diretamente, o número k-bonacci com o menor erro possível, sem precisar construir a sequência correspondente ou resolver a equação polinomial correspondente. Assim, dado simplesmente o valor de k, encontra-se o valor do número k-bonacci. RESULTADOS E ANÁLISE

9 393 Seguem alguns resultados. Foram tentados dois modelos para a modelagem: (a) o modelo exponencial e (b) o modelo sigmoidal. As equações para os mesmos estão logo a seguir: (a) Ajuste Exponencial: y ( x) y 0 x A1 exp( t 1 ) (b) Ajuste Sigmoidal y ( x) A 2 A1 A2 x x 1 exp dx 0 Como uma medida da precisão do ajuste escolheu-se o MAPE, calculado seguindo o algoritmo a seguir: 1. Calculamos o módulo do desvio, que é o módulo da diferença entre os valores reais e os previstos; 2. Com o resultado do item 1 em mãos, encontramos o desvio absoluto em porcentagem, dividindo o resultado do item 1 pelo valor real correspondente e multiplicamos por 100 (cem). 3. Ao final do processo, fizemos uma média para o cálculo do desvio absoluto percentual médio, conhecido como MAPE. A interpretação do MAPE é que ele é o erro percentual médio da previsão, ou seja, uma medida da precisão (ou da incerteza) do método. Quanto menor o valor do MAPE, melhor será a nossa previsão. O resultado para o ajuste exponencial pode ser visto na figura (1) e para o ajuste sigmoidal na figura (2).

10 394 2,05 Modelagem das constantes n-bonacci Ajuste Exponencial 2,00 1,95 1,90 n-bonacci 1,85 1,80 1,75 Chi^ E-6 y ± x0 0 ±0 A ± t ± ,70 1,65 1, n Fig. 1. Modelagem das constantes n-bonacci por um ajuste exponencial 2,05 n-bonacci Ajuste Sigmoidal 2,00 1,95 n-bonacci 1,90 1,85 1,80 1,75 Chi^2/DoF E-7 R^ A ± A ± x ± dx ± ,70 1,65 1, n Fig. 2. Modelagem das constantes n-bonacci por um ajuste sigmoidal A figura (3) a seguir exibe os desvios percentuais absolutos para os dois ajustes

11 Desvios Absolutos Percentuais dos Modelos em Relação aos Números n-bonacci Linha Azul: Modelo Exponencial Linha Vermelha: Modelo Sigmoidal 0.2 Desvio Absoluto Percentual n Fig. 3. Desvios absolutos percentuais dos modelos em relação aos números n-bonacci. (a) linha azul: modelo exponencial; (b) linha vermelha: modelo sigmoidal. Os MAPE s para ambos os modelos podem ser visualizados na figura (4): 2 Desvio Percentual Médio Absoluto de 1 até n dos Modelos em Relação aos Números n-bonacci Linha Azul: Modelo Exponencial Linha Vermelha: Modelo Sigmoidal Mape n Fig 4. Desvio percentual absoluto (MAPE) de 1 até n dos modelos em relação aos números n- Bonacci. (a) linha azul: modelo exponencial; (b) linha vermelha: modelo sigmoidal.

12 396 A figura (5) exibe o desvio percentual absoluto para um dado n, bem como o MAPE até este mesmo n, até n 40, para o modelo exponencial: 0.25 Desvio Percentual Absoluto e Mape para os Números n-bonacci com o Modelo Exponencial Linha azul: Desvio Percentual Absoluto Linha Vermelha: MAPE 0.2 Desvio Percentual Absoluto e Mape n Fig 5. Desvio percentual absoluto e MAPE para os números n-bonacci com o Modelo Exponencial. (a) linha azul: desvio percentual absoluto; (b) linha vermelha: MAPE. A figura (6) exibe o desvio percentual absoluto para um dado n, bem como o MAPE até este mesmo n, até n 40, para o modelo sigmoidal: 10 Desvio Percentual Absoluto e Mape para os Números n-bonacci com o Modelo Sigmoidal Linha azul: Desvio Percentual Absoluto Linha Vermelha: MAPE 9 8 Desvio Percentual Absoluto e Mape n Fig. 6. Desvio percentual absoluto e MAPE para os números n-bonacci com o Modelo Sigmoidal. (a) linha azul: desvio percentual absoluto; (b) linha vermelha: MAPE.

13 397 Modelamos, a seguir, a razão entre números n-bonacci consecutivos. O ajuste escolhido foi o exponencial e o resultado está na figura (7) a seguir. Os erros cometidos ao se fazer este ajuste podem ser visualizados na figura (8). 1,16 [n-bonacci] / [(n-1)-bonacci] Modelagem Exponencial 1,14 razão entre n-bonacci 1,12 1,10 1,08 1,06 1,04 1,02 Chi^2/DoF E-7 R^ y ± A ± t ± ,00 0, n Fig. 7. Modelagem da razão entre os números n-bonacci consecutivos por um ajuste exponencial.

14 Ajuste Exponencial para a Razão entre os Números n-bonacci Desvio Percentual Absoluto e Desvio Percentual Absoluto Médio de 1 até n Linha Azul: Desvio Percentual Absoluto Linha Vermelha: MAPE 0.2 Desvio Percentual Absoluto e MAPE n Fig. 8. Desvio percentual absoluto e MAPE para a razão entre dois números n-bonacci consecutivos com o Modelo Exponencial. (a) linha azul: desvio percentual absoluto; (b) linha vermelha: MAPE. Os valores obtidos e que produziram os gráficos anteriores podem ser conferidos nas tabelas 1 e 2 a seguir. N Tabela 1. Valores dos números n-bonacci e os desvios para os ajustes exponencial (1) e sigmoidal (2). n-bonacci Desvio1 (%) Desvio2 (%) MAPE1 (%) MAPE2 (%) 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

15 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,006 0, , ,025 0,006 0, , Tabela 2. Valores da razão entre dois números n-bonacci consecutivos e o desvio percentual absoluto e o MAPE para o ajuste exponencial. [n-bonacci] / [(n-1)- N Bonacci] Desvio (%) Mape (%) 3 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,006 0, ,006 0, ,006 0, Vê-se, assim, que se pode admitir que a sequência de números n-bonacci tem um comportamento exponencial ou sigmoidal, pois ambos os ajustes são razoáveis. O desvio percentual absoluto para o ajuste exponencial tende a 0,025 (com um quiquadrado de 1,9222x10-6 ), enquanto que para o ajuste sigmoidal tende a 0,006 (com um R 2 de 0,99965), já em porcentagem. O ajuste para a razão entre números n-

16 400 Bonacci consecutivos também é bastante satisfatório. Com os parâmetros encontrados, as equações dos ajustes ficam como a seguir: (a) Ajuste Exponencial para os números n-bonacci: y ( x) x 1,9995 0,88135exp( ) 1,18996 (b) Ajuste Sigmoidal para os números n-bonacci: y ( x) 1, ,11502 x 2,79113 exp 1,16928 (c) Ajuste Exponencial para a razão entre os números n-bonacci: y ( x) x 1, ,36918exp( ) 1,00255 CONCLUSÃO O significado mais profundo deste ajuste ainda está por ser encontrado, pois o que temos é uma sequência de equações produzindo uma segunda sequência de soluções dominantes, sendo que esta segunda sequência obedece a uma determinada regra. Um possível encaminhamento destes resultados pode, eventualmente, levar a novos métodos de solução para o problema de se encontrar raízes de polinômios, ou, talvez, de alguns polinômios.

17 401 BIBLIOGRAFIA BEZUSZKA, S.; D ANGELO, L. An Application of Tribonacci Numbers. The Fibonacci Quarterly,. 15.2, 1977, p BIRKHOFF, Garret; MLANE, Saunders. Álgebra Moderna Básica. 4. ed. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S. A., p. ELIA, M. Derived Sequences, The Tribonacci Recurrence and Cubic Forms. The Fibonacci Quarterly, v. 39.2, p , FEINBERG, M. Fibonacci-Tribonacci. The Fibonacci Quarterly. v. 1, p , 1963.