Matemática Básica Relações / Funções

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1 Matemática Básica Relações / Funções Relações (a) Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B. A B = { ( x, y) x A e y B} o símbolo A B lê-se como: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B. Exemplos: 1) Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3 } e B = { 1, 2 }, teremos, então: A B = { (1,1),(1, 2),(2,1),(2, 2),(3,1),(3, 2) } e B A = { (1, 1),(1,2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2,3) } e as representações em planos cartesianos serão as seguintes: Matemática Básica - 04 pg. 1/11 Revisão: 05

2 2) Seja o conjunto A definido por A = { x R 1 x < 3 } e o conjunto B = { 2 }. O produto cartesiano entre esses dois conjuntos é dado por: A B = { ( x, 2) x A} e a representação gráfica deste produto é: Observações: 1. Se A B, então A B B A, ou seja, o produto cartesiano entre dois conjuntos não possui a propriedade comutativa. 2. Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A B será um conjunto finito com (m n) elementos. 3. Se A ou B for infinito e nenhum dos dois for um conjunto vazio, então A B será um conjunto infinito. (b) Relação binária (ou simplesmente Relação) Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B a todo subconjunto R de A B : R é relação binária de A em B R A B Exemplo: 1) Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4 } e B = { 2, 3, 4, 5, 6 }. O produto cartesiano de A por B será: A B {(x, y) x A e y B }. O conjunto A B possui exatamente (3 5) = 15 elementos (representados na figura). Matemática Básica - 04 pg. 2/11 Revisão: 05

3 Se considerarmos o conjunto de pares ordenados tais que x seja divisor de y (representado por x y), teremos: R = { (x, y) A B x y } que é composto pelos seguintes pares ordenados: R = { (2, 2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4) }, que é chamado relação entre os elementos de A e de B, ou relação binária de A em B. Note que o conjunto R está contido em A B e é composto por pares ordenados (x, y) nos quais o elemento x do conjunto A está associado ao elemento y de B através de um dado critério (ou regra) de relacionamento. Representando a relação binária através de diagrama de Venn: Matemática Básica - 04 pg. 3/11 Revisão: 05

4 2. Funções Dados dois conjuntos D e Y, uma função f de D em Y é uma relação na qual para todo elemento de D existe um e somente um elemento correspondente em Y: f : D Y lê-se: f é uma função de D em Y O conjunto D de todos os possíveis valores de entrada para a função chama-se domínio da função. O conjunto de todos os valores f(x) enquanto se varia x ao longo de D denomina-se imagem da função. A imagem não inclui necessariamente todos os elementos do conjunto Y. x Entrada (domínio) f(x) y Saída (imagem) Exemplos: D Y x 1 x 2 y 1 y 2 Esta relação é uma função de A em B, porque para todo x em A está associado um único valor y em B. x 3 y 3 D Y x 1 y 1 x 2 x 3 y 2 y 3 Esta relação NÃO é uma função de A em B, porque o elemento x 4 não está associado a nenhum elemento y em B. x 4 y 4 D Y x 1 y 1 x 2 x 3 y 2 y 3 Esta relação NÃO é função de A em B, porque o elemento x 3 de A está associado a mais de um elemento em B. y 4 Matemática Básica - 04 pg. 4/11 Revisão: 05

5 D Y x 1 y 1 x 2 x 3 y 2 y 3 Esta relação É uma função de A em B, pois para todo x de A está associado um único y em B. x 4 y 4 Podem ser identificadas quatro maneiras usuais de representar funções: Numericamente com tabelas. Geometricamente com gráficos Algebricamente com fórmulas Verbalmente Exemplos: A tabela ao lado mostra a velocidade de qualificação S para a poleposition na corrida de 500 milhas de Indianápolis como uma função do ano t. Há exatamente um valor de S para cada valor de t. A figura abaixo é um registro gráfico de um teste realizado num automóvel da marca Porsche modelo Cayenne, no qual vemos a representação do torque (e potência) gerado pelo motor do veículo em função da rotação do motor. Pode ser visto o comportamento das duas grandezas (torque em Nm e potência em kw) gerados pelo motor do veículo em função do número de rotações. Há exatamente um valor de torque para rada rotação do motor. Matemática Básica - 04 pg. 5/11 Revisão: 05

6 Algumas das mais conhecidas funções surgem de fórmulas; por exemplo, a fórmula C = 2 πr expressa o comprimento da circunferência C de um círculo como uma função do raio r do círculo. Há exatamente um valor de C para cada valor de r. Neste caso podemos dizer: C = f (r) = 2π r Algumas vezes, as funções são descritas em palavras. Por exemplo, a Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton é, frequentemente, enunciada da seguinte forma: A força gravitacional de atração entre dois corpos no Universo é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Esta é a descrição verbal da fórmula: F = G m 1 m 2 r 2 na qual F é a força de atração, m 1 e m 2 são as massas, r é a distância entre os corpos e G é uma constante. Se as massas são constantes, então a descrição verbal define F como uma função de r. Há exatamente um valor de F para cada valor de r. (a) A notação de função Ao se utilizar uma equação para expressar uma função é conveniente dar um nome a esta função para poder se referir a ela. Por exemplo, sabemos que a equação y=1 x 2 descreve y como sendo função de x. Suponhamos que se dê o nome de f a esta função. Poderemos, então, usar a seguinte notação de função: entrada saída equação x f(x) f (x)=1 x 2 O símbolo f(x) é lido: o valor de f em x ou, simplesmente f de x. O símbolo f(x) equivale ao valor de y para o x dado, logo, podemos escrever: y = f(x). Lembre-se: f é o nome da função f(x) é o valor da função no ponto x. Matemática Básica - 04 pg. 6/11 Revisão: 05

7 Apesar de ser comum o uso da letra f para nomear funções e x para a variável independente, podem ser usadas quaisquer outras letras, por exemplo: f (x)=x 2 +1 f (t )=t 2 +1 g (s)=s 2 +1 definem a mesma função. De fato, o papel da variável independente na representação é de marcar o lugar para os valores, assim, as função poderia ser descrita por: f ( ) = ( ) (b) O teste da linha vertical Nem toda curva no plano xy é o gráfico de uma função. Por exemplo, considere a curva na figura ao lado, que é cortada em dois pontos distintos (a, b) e (a, c) por uma reta vertical. Essa curva não pode ser o gráfico de y = ƒ(x), qualquer que seja a função ƒ; pois senão teríamos: f(a) = b e f(a) = c o que não é possível, uma vez que ƒ não pode atribuir dois valores diferentes para a. Assim, não existe uma função ƒ cujo gráfico seja a curva dada. Uma curva no plano xy é o gráfico de alguma função ƒ se e somente se nenhuma reta vertical intersecta a curva mais de uma vez. Matemática Básica - 04 pg. 7/11 Revisão: 05

8 (c) Domínio, imagem e contradomínio Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B={0, 1, 2, 3, 4, 5}, da figura abaixo, consideramos a função F:A B definida por f(x) x + 1: A B a) O conjunto de partida A é o domínio da função f e é indicado por D(f), assim D(f)=A. No exemplo acima, D={0, 1, 2} (o domínio da função também é chamado de campo de definição da função ou campo de existência da função). b) O conjunto de chegada B é o contradomínio da função f e é indicado por CD(f), assim, CD(f)=B. c) O conjunto de todos os elementos y de B, para os quais existe pelo menos um elemento x de A, tal que f(x) = y é denominado imagem da função f e é indicado por Im(f). d) No exemplo acima: 1. 1 é a imagem de 0 pela função, indicado por f(0) = 1; 2. O conjunto B, tal que Im ( f ) B (a imagem de f(x) está contida no contradomínio de f(x) (B)); 3. Assim: Im ( f ) = { y B / x A y= f (x)} Exemplos: 1) Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}, determinar o conjunto imagem da função f(x) = x + 2. f (x)=x+2 f ( 3)=( 3)+2 = 1 f (x)=x+2 f ( 1)=( 1)+2 = 1 f (x)=x+2 f (0)=(0)+2 = 2 f (x)=x+2 f (2)=(2)+2 = 4 Resposta: A imagem de f(x) é Im = { 1, 1, 2, 4}. A solução também pode ser apresentada em forma de tabela: x f(x)=x Matemática Básica - 04 pg. 8/11 Revisão: 05

9 2) Seja a função f :R R definida por f (x ) = x 2 10 x +8. Calcular os valores reais de x para que se tenha f (x) = 1 : { f ( x) = x 2 10 x+8} f ( x) = ( 1) Resposta: x = 9 ou x = 1 x 2 10 x+8= 1 x 2 10 x+9=0 Δ = b 2 4ac = = 64 x = 10 ± 8 { x = x 2 = 1} 3) Dada a função f :R R definida por f (x) = a x+b com a, b R, determinar os valores de a e de b, sabendo que f(1) = 4 e f(-1) = -2. f (x) = ax +b f (1) = a (1)+b = 4 = a+b=4 f (x) = ax +b f ( 1) = a ( 1)+b = 2 = a+b= 2 resolvendo o sistema com as duas equações, 1 e 2 obtemos os valores de a e b: { a+b= 2} 4 2b=2 assim: b = 1 e, substituindo o valor de b em qualquer das duas equações, obtemos a = 3. Resposta: a = 3; b = 1 Matemática Básica - 04 pg. 9/11 Revisão: 05

10 (d) O estudo do domínio de uma função O domínio de uma função pode ser dado de forma implícita ou explícita. Por exemplo: Numa função f :R R definida por f (x) = 3 x+4 sem que seja explicitado o domínio D, está implícito que o domínio pode ser qualquer real, ou seja, D = R. Para a mesma função, f :R R definida por f (x) = 3 x+4 com 1 x 10, o domínio está informado de maneira explicita e consiste nos reais entre 1 e 10 (incluindo-os), ou seja, D = { x R 1 x 10 }. Para f (x) = 3 x +4, quando não há qualquer informação sobre o domínio, está implícito x 5 que x pode ser qualquer número real, com exceção de 2, pois se, x = 2 teremos uma divisão por zero (indeterminado!), assim, D = { x R x 2}. Sendo dado apenas f (x) = x 2 sem qualquer informação do domínio, fica implícito que (x 2)não pode assumir valores negativos, ou seja, (x 2) 0, ou ainda, x 2, pois se (x < 2)teremos a raiz quadrada de um número negativo, o que não pode ser satisfeito por um número real. Assim: D = { x R x 2}. Assim, quando o domínio de uma função não é dado de forma explícita, devemos considerar para esse domínio todos os valores reais de x que tronam possíveis em R as operações que definem a função f(x). Exemplos: (5 x+3) 1) Determinar o domínio da função f (x) = x 2 16 : a função (5 x+3) x 2 16 só é possível se (x 2 16) 0 x ( 4) e x (4), então: Resposta: D={ x R x 4, x ( 4)} 2) Determinar o domínio da função f (x) = 5 3 x : a função f (x) = 5 3 x só é possível em R se (5 = 3 x) 0 : 5 3 x x 5 x 5 3 Resposta: D={ x R x 3 5 } Matemática Básica - 04 pg. 10/11 Revisão: 05

11 3) Determinar o domínio da função f (x) = x ( x 2) : Para que a função forneça resultados no conjunto dos reais, duas condições devem ser satisfeitas: 1 x 4 x 4 0 x 4 e x 2 > 0 x > 2, assim, x 2 1 para determinarmos o domínio da função f (x) = x 4 + ( x 2) faremos (veja a figura): Resposta: D={ x R x 4} Matemática Básica - 04 pg. 11/11 Revisão: 05