José Wammes. Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte. Editoração: José Wammes. Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095

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2 José Wammes Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte Editoração: José Wammes Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095 Direitos desta edição reservados à: José Wammes Av. Ministro Cirne Lima, 2565 CEP Toledo Paraná Tel. (45) josewammes@ig.com.br É proibida a reprodução parcial ou total desta obra, sem autorização prévia do autor. Impresso no Brasil

3 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA c) (1/8, ¼, ½, 1, 2, 4, 8) q= 2 d) (9, 3, 1, 3-1, 3-2, 3-3 ) q= -1/3 É uma sucessão de números reais não nulos em que o quociente (divisão) de cada um deles, a partir do segundo, pelo seu antecessor é sempre o mesmo. Esse quociente constante é chamado de razão (q) da progressão geométrica, PG. Observe o seguinte exemplo: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 e) 1, x, x 2,... x n-1... ) q= x f) x/q 2, x/q, x, x.q, x.q 2 ) q= q REPRESENTAÇÃO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é dada por (a 1, a 2, a 3,... a n-1, a n, a n+1,...). Logo, a n+1 = a n.q. a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 a 5 a 4 a 6 a Razão r Nota-se que, ao tomarmos o termo do meio, entre três consecutivos, o do meio é tal que elevado ao quadrado fica igual ao produto dos outros dois. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 5 a 6 a = 12(3) 48 2 = 24(96) 96 2 = 48(192) 36 = = = 9216 Observe, abaixo, alguns exemplos de progressão geométrica. a) (1, 4, 16, 64, 256) q= 4 EXPRESSÃO GERAL DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA a n = a 1.q n-1 A fórmula acima nos permite calcular qualquer termo de uma progressão geométrica sem necessidade de escrevê-la por inteiro. Identificando cada termo da fórmula: a n = é o enésimo termo (termo geral); a 1 = é o primeiro termo; n = é o número de termos; q = é a razão. b) (1/2, 1/4,... (1/2)n... ) q= -0,5 3

4 Exercitando alguns modelos a) Calcular o 5º termo da progressão geométrica (1, 3, 9, 27...) a 1 a 5 q n 1? A3 a2) a n = a 1. q n-1 a 5 = a 5 = a 5 = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 5 a n = a 1. q n-1 a 7 = a 7 = a 7 = 64 Todavia, podemos simplificar o cálculo utilizando a fórmula geral de uma progressão geométrica. Observe o modelo a seguir: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q a 3 = a 1. q n-1 a 3 = a 1. q 2 a 4 = a 3. q a 4 = a 1. q n-1 a 4 = a 1. q 3 a 5 = a 4. q a 5 = a 1. q n-1 a 5 = a 1. q 4 a 10 = a 9. q a 10 = a 1. q n-1 a 10 = a 1. q 9 a 100 = a 99. q a 100 = a 1. q n-1 a 100 = a 1. q 99 a n = a 1. q n-1 Alguns modelos para fixação do conteúdo b) Qual a razão das progressões geométricas abaixo? (2, 4, 8, 16, 32) q = a n a n-1 q = a 4 a 4-1 q= 16 8 q= 2 (3, 9, 27, 81) q = a n a n-1 q = a 2 a 2-1 q= 9 3 q= 3 (12, 6, 3, 1,5) q = a n a n-1 q = a 3 a 3-1 q= 3 6 q= 0,5 c) Qual o 7º termo da progressão geométrica (1, 2, 4...)? a) Numa progressão geométrica tem-se a 1 = 3, a 2 = 12 e a n = 768. Determinar o número de termos. a 1 a 2 q n (12 3)? a 1 a 7 n q 1? 7 2 (4 2) 4

5 a n = a 1. q n =4 n = 3(4) n-1 n - 1 = = 4 n-1 n = = 4 n-1 n = 5 b) Numa progressão geométrica de 6 termos, a soma dos termos de ordem impar é 182 e a soma dos termos de ordem par é 546. Determine a progressão geométrica. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a 1 + a 3 + a 5 + = 182 a 2 + a 4 + a 6 + = 546 a 1 + a 3 + a 5 = 182 a 2 + a 4 + a 6 = 546 a 1 + a 1. q 2 + a 1. q 4 = 182 a 1.q + a 1. q 3 + a 1.q 5 = 546 a 1 (1 + q 2 + q 4 ) = 182 a 1.q(1 + q 2 + q 4 ) = 546 Sistema de equação (simplificar, por divisão, a 2ª pela 1ª) a 1.q(1 + q 2 + q 4 ) = 546 a 1 (1 + q 2 + q 4 ) = q = 3 q = 3 Logo, na 1ª equação teremos: a 1 (1 + q 2 + q 4 ) = 182 a 1 (91) = 182 a 1 ( ) = 182 a 1 = a 1 ( ) = 182 a 1 = 2 Se a 1 = 2 e q = 3, temos: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Comprovando o enunciado: a 1 + a 3 + a 5 = = = 182 a 2 + a 4 + a 6 = = = 546 c) Determine a progressão geométrica crescente (a 1, a 2, a 3,...) em que a 5 + a 7 = 80 e a 8 + a 10 = 640. a 5 + a 7 = 80 a 8 + a 10 = 640 a 1. q 4 + a 1. q 6 = 80 a 1. q 7 + a 1. q 9 = 640 a 1. q 4 (1 + q 2 ) = 80 a 1. q 7 (1 + q 2 ) = 640 Sistema de equação (simplificar, por divisão, a 2ª pela 1ª) a 1. q 7 (1 + q 2 ) = 640 a 1. q 4 (1 + q 2 ) = 80 1 q 3 = 8 q 3 = 8 5

6 q = 3 8 q= q = 2 Logo, na 1ª equação teremos: a 1. q 4 (1 + q 2 ) = 80 a = 80 a ( ) = 80 a 1 = a 1. 16(1 + 4) = 80 a 1. 16(5) = 80 a 1 = 1 Se a 1 = 1 e q = 2 então, temos: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 Comprovando o enunciado: a 5 + a 7 = = = 80 a 8 + a 10 = = = 640 d) Insira 5 meios geométricos entre 1/9 e 81. 1/9? 81 a 1 a 2... a 6 a 7 a 1 a 7 n q 1/9 81 7? a n = a 1. q n /1 = q 6 81 = 1/9. q = 6 Fatoramos o 729. q 81 = 1/9. q = q /9 = q 6 q = 3 Logo, temos: a 1 = 1/9 a 2 = a 1. q a 2 = (1/9).3 a 2 = 3/9 a 2 = 1/3 a 3 = a 1. q 2 a 3 = (1/9).3 2 a 3 = (1/9).9 a 3 =9/9 a 3 = 1 a 6 = a 1. q 5 a 6 = (1/9).3 5 a 6 = (1/9).243 a 6 =243/9 a 6 = 27 1/9 1/ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 e) Calcular a razão de uma progressão geométrica em que o a 4 = 192 e o a 1 = 3. a 1 a 4 n q ? a n = a 1. q n-1 64 = q = 3. q 4-1 q= = q 3 64 = q 3 q = 4 6

7 f) Numa progressão geométrica o a 1 é igual a 5 e a razão é igual a 3. Qual o termo (n) que vale 405? a 1 a n q n ? a n = a 1. q n = 3 n = 5. 3 n-1 4 = n = 3 n = n 81 = 3 n-1 n = 5 g) Qual a razão de uma progressão geométrica de 5 termos cujos extremos são 3 e 48? 3? 48 a1 a2... a4 a5 h) Calcular o 10º termo da progressão geométrica (1, 3, 9...) a 1 a 10 n q 1? 10 3 a n = a 1. q n-1 a 10 = a 10 = a 10 = a 10 = i) Determinar o 4º termo da progressão geométrica (5, 10,...). a 1 a 4 n q 5? 4 2 a n = a 1. q n-1 a 4 = 5. 8 a 4 = a 4 = 40 a 1 a 5 n q ? a n = a 1. q n-1 16 = q 4 48 = 3. q = q = q 4 q = 2 7

8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Determine o 10º termo da progressão geométrica (1/3, 1, 3, 9...). Questão Resposta 2) Numa progressão geométrica o a 4 é igual a 32 e o a 1 é igual a 1 / 2. Determine a razão e, depois, o 8º termo. 3) Construa a progressão geométrica em que a soma do a 3 com o a 5 é igual a 5/4 e a soma do a 7 com o a 9 é igual a 20. 4) Qual é o 5º termo da progressão geométrica (2/9, 4/3, 8...)? 5) O a 4 de uma progressão geométrica é 1/250 e o a 1 é igual a 4. Qual a razão dessa progressão geométrica? 6) Calcule a razão de uma progressão geométrica cujo a 2 é igual a 12 e a soma do a 1 com o a 3 é igual a ) Num programa de condicionamento físico, um atleta nada sempre o dobro da distância completada no dia anterior. Se no 1º dia ele nadou 25 m, quanto nadará no 6º dia? 8) Interpole oito meios geométricos entre 2000 e 125/32. 9) Interpolando cinco termos geométricos entre 2/625 e 50, determine o a 5 da progressão geométrica obtida q = 4 a 8 = q= +- 2; PG (1/16, 1/8, ¼...) e ( 1/16, -1/8, ¼, -1/2...) q= 1/10 6-1/4 ou m 8 (2000, 1000, 500, 250, 125, 125/2, 125/4, 125/8, 125/16, 125/32)

9 PARA SABER MAIS Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª edição, Atlas, 2000, São Paulo. CDD FASUL. Paiva, Manoel. Matemática. 1ª edição, Editora Moderna, 2000, São Paulo. CDD FASUL. Barreto Filho, Benigno; Silva, Cláudio Xavier da. Matemática. Volume único, FTD, 2000, São Paulo. CDD FASUL. BIBLIOGRAFIA GIOVANI, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau. São Paulo: Editora FTD S/A, S. d. IEZZI, Gelson. et. al. Matemática. São Paulo: Editora Atual, YAMADA, Akihiro. Curso de matemática financeira. Matemática básica. Módulo I. Apostila. Curitiba. S. d. Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. 6ª edição, Atual Editora. CDD FASUL. Wikipedia Youtube 9

10 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA Seja a progressão geométrica finita (a 1, a 2,..., a n ) de razão q 1. Queremos encontrar uma expressão para: S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n. Efetuando as operações algébricas devidas, encontraremos a fórmula que nos fornece a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA S n = a 1 (q n 1) / q - 1 Observações: a) O cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, como observamos, depende do conhecimento da razão e de seu 1º termo. b) Note que a expressão encontrada é válida apenas para q 1. Se q = 1, a progressão geométrica tem todos os termos iguais entre si (ela é constante). Desse modo, se quisermos determinar o valor da soma de seus n primeiros termos, procederemos conforme abaixo: S n = n. a 1 Quando da ausência do número de termos, podemos nos valer da fórmula a seguir, para a soma dos termos da progressão geométrica. S n = ( a n. q) - a 1 / q - 1 Alguns modelos para fixação do conteúdo a) Calcule a soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9,...) Identificando cada termo da fórmula S n = Soma dos n termos de uma progressão geométrica; a 1 = primeiro termo; a n = último termo q = razão; n = número de termos da P.G. a 1 n q S n 1 6 3? S n = a 1 (q n 1) / q - 1 S 6 = 1 (728) / 2 S 6 = 1 (3 6 1) / 3-1 S 6 = (728) / 2 S 6 = 1 (729 1) / 2 S 6 =

11 b) Calcular a soma dos 4 primeiros termos da progressão geométrica (2, 4,... ) a 1 n q S n 1 6 3? a 1 n q S n 2 4 2? S n = a 1 (q n 1) / q - 1 S 4 = 2(15) / 1 S 4 = 2 (2 4 1) / 2-1 S 4 = 2(15) S 4 = 2 (16-1) / 1 S 4 = 30 c) A soma dos termos da progressão geométrica (1, 2, 3, 8, 16, 32, 64, 128) é? a 1 n q S n 1 8 2? S n = a 1.(q n 1) / q - 1 S 6 = 1 (728)/ 2 S 6 = 1(3 6 1) / 3-1 S 6 = (728)/ 2 S 6 = 1 (729 1) / 2 S 6 = 364 e) A soma da progressão geométrica (5, 15, 45, 135) é? a 1 q n S n 5 3 4? S n = a 1 (q n 1) / q - 1 S 4 = 5 (80) / 2 S 4 = 5 (3 4 1) / 3-1 S 4 = 5(81 1) / 2 S 4 = 200 S n = a 1 (q n 1) / q - 1 S 8 = 1(255) / 1 S 8 = 1 (2 8 1) / 2-1 S 8 = 1(255) S 8 = 1(256 1) / 1 S 8 = 255 d) A soma dos termos da progressão geométrica (1, 3, 9, 27, 81, 243) é? f) A soma dos termos da progressão geométrica (2, 6, 18,..., 1458) é? a 1 q n a n S n 2 3? 1458? 11

12 S n = (a n. q) - a 1 / q - 1 S n = (4372) / 2 S n = [( ) 2] / 3 1 S n = (4374 2) / 2 S n = 2186 a 1 q n S n 2 2 5? g) O primeiro termo de uma (a 1 ) de uma progressão geométrica é 2 e o último termo (a n ) é 486. Calcular o número de termos n e a razão q, sabendo-se que a soma dos termos S n é 728. a 1 q n a 1 S n 2?? S n = (a n. q) - a 1 / q q 486q = = (486. q) - 2 / q 1 242q = (q - 1) = (486q) - 2 q = 726 / q 728 = 486q -2 q = 3 a n = a 1. q n = 3 n = 2. 3 n-1 5 = n /2 = 3 n = n 243 = 3 n-1 n = 6 h) A soma dos termos da progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 32) é? S n = a 1 (q n 1) / q - 1 S 5 = 2(31) S 5 = 2(2 5 1) / 2-1 S 5 = 2(32 1) / 1 S 5 = 61 MODELOS PROPOSTOS PARA FIXAÇÃO DO CONTEÚDO 1) Calcular a soma dos dez primeiros termos da progressão geométrica (80, 40, 20,...). Represente o resultado em forma de fração. 2) Quantos termos da progressão geométrica (2, 6, 18...) devem ser considerados a fim de que a soma resulte em ? 3) Calcule a soma dos sete primeiros termos da progressão geométrica (4, 12, 36,...). 4) Numa progressão geométrica de termos positivos o a 1 é igual a 5 e o a 7 é igual a 320. Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão geométrica. 5) Numa progressão geométrica, o a 2 é igual a 1/100 e o a 5 é igual a 10. Calcule a soma: a) de seus quatro primeiros termos; b) de seus seis primeiros termos. 6) Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão geométrica: m, m 2, m 3,...: a) Para m = 1; b) m = 4. 12

13 7) Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim determinadas: 1ª de $ 60,00; a 2ª de $ 90,00; a 3ª de $ 135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida? 8) Num apiário há seis viveiros. O numero de abelhas em cada viveiro está indicado na tabela abaixo. Supondo que os valores variam segundo uma progressão geométrica, quantas abelhas há, ao todo, no apiário? Machos Fêmeas 1º viveiro 3 2 2º viveiro 6 6 3º viveiro ) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A Junta militar da cidade convocou, para exame médico, 3 jovens no 1º dia, 6 no 2º, 12 no 3º e assim sucessivamente. Quantos jovens ainda devem ser convocados para o exame médico após o 10º dia de convocações? 11) Quantos termos devemos considerar na progressão geométrica (3, 6,...) para obter uma soma de 765? 12) Numa progressão geométrica, a 2 = 6 e a 4 = 54. Ache a soma dos 5 primeiros termos. QUADRO GERAL DE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Questão Resposta 1 S 10 =5115 / 32 2 n = a) 1111/1000 b) / a) 10; b) (4 11 4) / 3 7 $(+-) 2.956, dias 11 n = 8 12 S 5 = ) Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche. O número de pessoas que visitam a exposição varia de acordo com uma progressão geométrica de razão 2. No 1º dia, 2 pessoas visitaram a exposição. Se de cada pessoa é cobrado um ingresso de $ 3,00, qual é o número mínimo de dias que a exposição deve permanecer aberta a fim de que o total arrecadado atinja o valor de $ 6.138,00?. 13

14 BIBLIOGRAFIA GIOVANI, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau. São Paulo: Editora FTD S/A, S. d. IEZZI, Gelson. et. al. Matemática. São Paulo: Editora Atual, YAMADA, Akihiro. Curso de matemática financeira. Matemática básica. Módulo I. Apostila. Curitiba. S. d. 14