Translação e Rotação Energia cinética de rotação Momentum de Inércia Torque. Física Geral I ( ) - Capítulo 07. I. Paulino*

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1 ROTAÇÃO Física Geral I ( ) - Capítulo 07 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil / 25

2 Translação e Rotação Sumário Definições, variáveis da rotação e notação vetorial Rotação com aceleração angular constante e relações entre grandezas angulares e lineares Energia cinética de rotação Conceitos e determinação Momentum de Inércia Torque Definição, determinação e teorema do eixo paralelo Torque e 2 a lei de Newton para a rotação Trabalho e Potência 2 / 25

3 Translação e Rotação Pode-se entender TRANSLAÇÃO como um movimento no qual o centro de massa do sistema desloca-se de uma região para outra. A ROTAÇÃO compreende o movimento em círculos como rodas, engrenagens, ponteiros de relógio, etc. VÍDEO Neste curso serão estudados apenas corpos rígidos girando em torno de eixos fixos. 3 / 25

4 Corpo rígido e eixo de rotação Um CORPO RÍGIDO é um objeto que pode girar com todas as suas partes mantidas juntas e sem qualquer mudança de forma. Dizer que uma rotação se dá em torno de um EIXO FIXO, significa dizer que esse eixo não se move. 4 / 25

5 Posição angular A figura ao lado mostra uma linha de referência arbitrária, perpendicular ao eixo de rotação, que se move acompanhando a rotação do corpo. A POSIÇÃO ANGULAR desta linha é o ângulo que ela faz com o eixo fixo do sistema de coordenadas. Analisando geometricamente, a posição angular pode ser escrita por: θ = s r. (1) Nesta equação, s é o comprimento do arco ao longo da circunferência entre o eixo x e a linha de referência e r é o raio do círculo. O ângulo é uma grandeza adimensional que convencionalmente é atribuído a unidade de RADIANOS (rad). portanto, 1 volta = 360 o = 2πr r = 2π rad 1 rad = 57, 3 o = 0, 159 voltas. 5 / 25

6 Deslocamento angular Se o corpo da figura do slide anterior variar sua posição angular de θ i até θ f, este sofrerá um deslocamento angular θ dado por: θ = θ f θ i, (2) este deslocamento não vale apenas para o corpo rígido como um todo, mas também para todas as partículas no interior desse corpo, porque as distâncias se mantêm inalteradas. Por convenção, se o deslocamento angular for no sentido HORÁRIO, este será NEGATIVO. Será POSITIVO, se o deslocamento for no sentido ANTI-HORÁRIO. 6 / 25

7 Velocidade angular Suponha que no tempo t i, a linha de referência do corpo esteja em θ i e no tempo t f, a linha esteja em θ f. A velocidade angular média do corpo no intervalo de tempo t será: ω med = θ f θ i t f t i = θ t. (3) Tomando o limite em que t 0, pode-se encontrar a velocidade angular instantânea, ou seja: θ ω = lim t 0 t = dθ dt. (4) Se for conhecido θ(t), pode-se achar a velocidade angular derivando esta função com respeito ao tempo. A unidade da velocidade angular, no SI é rad/s. A velocidade angular será positiva ou negativa dependendo do sentido da revolução. 7 / 25

8 Aceleração angular Se a velocidade angular de um corpo em rotação não for constante, este corpo possui aceleração angular. Sejam ω i e ω f as velocidades angulares nos instantes t i e t f, respectivamente, assim a aceleração angular média vale: α med = ω f ω i t f t i = ω t. (5) Da mesma forma que a velocidade angular instantânea foi definida, pode-se definir a aceleração angular instantânea, i.e., que tem unidades de rad/s 2 no SI. ω α = lim t 0 t = dω dt, (6) 8 / 25

9 Grandezas escalares como vetores A velocidade angular pode ser entendida com um vetor de módulo ω e sentido na direção paralela ao eixo de rotação conforme ilustra a figura acima. O sentido pode ser encontrado utilizando a regra da mão direita em que os dedos giram na mesma direção do movimento e o polegar aponta para o sentido do vetor. 9 / 25

10 Grandezas angulares como vetores Por sua vez, a deslocamento angular só pode ser tratado com vetor para pequenos deslocamentos. Um típico exemplo é mostrado na figura abaixo. Neste caso, a propriedade comutativa violada e esta propriedade é um exigência para um grandeza ser considerada vetorial. 10 / 25

11 Rotação com aceleração angular constante Da mesma forma que foram deduzidas as equações lineares para o movimento de translação com aceleração constante, pode se obter um conjunto de equações similares para um modelo de aceleração angular constante. Em analogia, pode-se escrever: ω = ω 0 + αt, (7) θ = θ 0 + ω 0 t αt2, (8) ω 2 = ω α θ, (9) que são similares às equações lineares para o movimento de translação. 11 / 25

12 Relações entre grandezas angulares e lineares A deslocamento linear ao longo do arco da circunferência está relacionado com o deslocamento angular pela seguinte expressão: s = rθ. (10) Tomando a derivada do deslocamanto com relação ao tempo, pode-se achar a velocidade linear, ou seja, ds dt = d(rθ) = r dθ dt dt. v = rω. (11) A figura ao lado, no painel superior, mostra a direção da velocidade linear. 12 / 25

13 Relações entre grandezas angulares e lineares A componente tangencial da aceleração pode ser calculada por: a t = dv dt = dω r = rα. (12) dt Já a componente radial pode ser escrita por: a r = v 2 = ω 2 r. (13) r Às vezes, é conveniente relacionar o tempo total de uma volta (período T ) com as grandezas lineares e angulares, o que nos dá: T = 2πr v = 2π ω. (14) 13 / 25

14 Energia cinética de rotação Um objeto girando certamente possui energia cinética associada à rotação. porém, não é possível expressar essa energia cinética simplesmente por 1 2 mv 2. Em vez disso, pode-se tratar o objeto com um sistemas de várias partículas, desta forma: K = 1 2 m 1v m 2v m 3v m nv 2 n K = n i=0 1 2 m iv 2 i. (15) Nesta equação, a velocidade não é a mesma para todas as partículas do objeto. Contudo pode-se escrever: 14 / 25

15 Energia cinética de rotação ( n n ) 1 K = 2 m i(ωr i ) 2 = 1 m i ri 2 ω 2. (16) 2 i=0 i=0 A grandeza entre parênteses é chamada de momentum de inércia ou inércia à rotação que será denotada por: I = n i=0 m i r 2 i. (17) no SI, o momentum de inércia tem unidades de kgm 2. Desta maneira, a energia cinética de rotação pode ser escrita por K = 1 2 I ω2, (18) que tem um forma bastante similar à energia cinética de translação. 15 / 25

16 Cálculo do momentum de inércia Sabe-se que o momentum de inércia pode ser calculado por: I = n i=0 m i r 2 i Para uma distribuição contínua de massa, pode-se tomar elementos de massa infinitesimais e a expressão acima pode ser transformada numa soma contínua, isto é, I = r 2 dm. (19) Resolver esta integral nem sempre pode ser possível. existem métodos alternativos para calcular o momentum de inércia. Um deles é o teorema do eixo paralelo que será discutido a seguir. 16 / 25

17 O teorema do eixo paralelo pode ser enunciado da seguite forma: Para um corpo de massa M que possui momentum de inércia I cm associado a um eixo que passa pelo seu centro de massa, é sempre possível determinar o momentum de inércia de um eixo paralelo ao eixo que passa pelo cenntro de massa conhecendo-se apenas a distância entre esses dois eixos. Para demonstrar esse teorema, considere o esquema da figura ao lado, em que pretende-se calcular o momentum de inércia de um eixo que passa por um ponto P que é paralelo a um eixo que passa pelo centro de massa do sistema. Teorema do eixo paralelo 17 / 25

18 Teorema do eixo paralelo O momentum de inércia é dado por: I = [ r 2 dm = (x a) 2 + (y b) 2] dm I = (x 2 + y 2 )dm 2a xdm+ +2b ydm + (a 2 + b 2 )dm O segundo e o terceiro termos do lado direito são as coordenadas x e y, respectivamente, do centro de massa multiplicadas por uma constante que são iguais a zero. 18 / 25

19 Teorema do eixo paralelo Logo, I = R 2 dm + h 2 dm I = I cm + h 2 M, (20) que é a forma matemática do teorema do eixo paralelo. 19 / 25

20 Torque A figura acima ilustra a ação de uma força sobre um objeto qualquer aplicada num ponto P que está a uma distância r de um eixo de rotação. O TORQUE é uma grandeza física que mede a capacidade desta força em fazer o sistema girar, desta maneira o torque pode ser escrito por: τ = (r)(f sin φ). (21) 20 / 25

21 Torque Analisando a figura acima ainda pode-se escrever o torque da seguinte forma: ou, τ = rf, (22) τ = r F, (23) a distância r é geralmente chamada de braço da alavanca. A unidade do torque no SI é N m e jamais em joule. 21 / 25

22 2 a lei de Newton para a rotação O módulo da força que produz a aceleração do sistema em rotação na direção tangente pode ser dada por F t = ma t. O módulo do torque que atua sobre a partícula é dado por τ = F t r = ma t r. Agora, a t = αr, substituindo na expressão acima,tem-se τ = F t r = m(αr)r = mr 2 α. Só que mr 2 = I é o momentum de inércia em torno do eixo de rotação. 22 / 25

23 2 a lei de Newton para a rotação Sendo assim, o torque pode ser escrito por τ = I α. Para uma situação na qual mais de uma força atua sobre o sistema, pode-se generalizar a equação acima e escrever que τ res = I α. Esta expressão é uma maneira de se escrever a segunda lei de newton para um sistema girando em torno de um eixo fixo. 23 / 25

24 Trabalho e Potência O teorema do trabalho e energia cinética também é válido para o movimento de rotação, desta maneira, K = K f K i = 1 2 I ω2 f 1 2 I ω2 i = W. (24) Note que, se ω = constante e o momentum de inércia não mudar, W = 0. Por outro lado, θf W = τdθ, (25) θ i em que é o torque (será discutido a seguir), para o caso que τ = constante, tem-se W = τ(θ f θ i ). (26) A potência instantânea do movimento pode ser dado por P = dw dt = τω. (27) 24 / 25

25 Exercícios LIVRO: Fundamentos de Física AUTORES: Halliday e Resnick 8 a Edição. Volume 1 - Mecânica CAPÍTULO 10 - ROTAÇÃO - Pág Problemas 04, 07, 16, 25, 29, 30, 39, 44, 55, / 25