2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento

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1 2 Cinemática A cinemática tem como objeto de estudo o movimento de sistemas mecânicos procurando descrever e analisar movimento do ponto de vista geométrico, sendo, para tal, irrelevantes os fenómenos físicos que o originaram. 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Dá-se início a este capítulo introduindo os principais conceitos associados à cinemática de uma partícula. Estes conceito são sempre válidos independentemente da partícula representar um Ponto Material 1 ou pertencer a um Corpo Rígido Descrição do movimento Nas definições que se seguem admite-se como ponto de partida a utiliação de um sistema de coordenadas cartesiano. Com base neste referencial é possível definir o vetor posição, representado pelo símbolo r. Tal como o nome indica, este é um vetor que determina a posição de uma partícula no espaço, num determinado instante de tempo. A sua direcção é definida pelos pontos correspondentes à origem do referencial, O, e à posição da partícula, P, no instante em causa, sendo o seu sentido definido do ponto O para o ponto P (ver Fig. 2.1), 1 Ponto Material: conceito introduido para representar qualquer corpo cujas dimensões sejam despreáveis ou irrelevantes face ao fenómeno físico que se pretende analisar. 2 Corpo Rígido: é um sistema composto por partículas de massa finita que conservam as distâncias entre elas inalteradas e, consequentemente a configuração geométrica do corpo permanece sempre inalterada. r(t) = OP(t) (2.1) É importante interioriar que o movimento é sempre um conceito relativo, i.e, a sua quantificação depende da escolha do referencial adotado.

2 24 introdução à dinâmica dos corpos rígidos A curva, definida pelas posições sucessivas ocupadas pela partícula durante o movimento, denomina-se de trajetória. Esta é uma curva orientada, cujo sentido é estabelecido pela progressão da partícula. Estes conceitos são ilustrados através da Figura 2.1. r(t) P(t) Tr a j e t ória Com base na configuração da trajetória é possível identificar diferentes tipos de movimento: o movimento retilíneo, caracteriado por uma trajetória da partícula definida por uma reta, distingue-se em relação aos restantes movimentos, ditos curvilíneos; o movimento circular, no qual a partícula descreve uma circunferência, (i.e., o raio de curvatura da trajetória 3 mantém-se constante; o movimento parabólico, também denominado de movimento balístico, característico do movimento de projéteis (despreando o atrito com o ar), no qual a trajetória descreve necessariamente uma parábola. O Figura 2.1: Vetor posição e trajetória da partícula P. 3 O conceito de raio de curvatura de uma curva foi introduido na secção Raio de Denominação Trajetória curvatura (R) movimento retilíneo reta circular circunferência constante movimento parabólico parábola variável curvilíneo genérico curva genérica variável Tabela 2.1: Resumo da classificação dos tipos de movimento com base na configuração da trajetória Velocidade e Aceleração A velocidade, representada usualmente pela letra v, é uma grandea vetorial que eprime a variação do vetor posição em relação ao tempo: = d r (2.2) Eistem duas propriedades fundamentais desta grandea que é importante reter: i. o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória; ii. o sentido do vetor velocidade coincide sempre com o sentido do movimento, sendo por isso coincidente com a orientação da trajetória. r e t Efetivamente, estas propriedades são suficientes para determinar o versor e t, o qual permite definir inequivocamente a direção e o sentido do vetor velocidade. Assim, o vetor velocidade pode ser epresso do seguinte modo: = ds e t = v e t (2.3) Figura 2.2: Vetor velocidade (é sempre tangente à trajetória)

3 cinemática 25 Na definição anterior, s representa o comprimento de um troço da trajetória. A validade desta igualdade encontra-se devidamente fundamentada na secção A aceleração, representada pela letra a, é também uma grandea vetorial, que eprime a taa de variação da velocidade em relação ao tempo: = d (2.4) É usual e conveniente decompor o vetor aceleração em duas parcelas, a componente tangencial, t, e a componente normal n, n = t + n t = t + n (2.5) Esta denominação advém do facto das direções destas duas parcelas serem, respetivamente, tangente e normal (perpendicular) ao vetor velocidade (ver Fig. 2.3). Figura 2.3: Decomposição da aceleração nas suas componentes intrínsecas: aceleração tangencial e aceleração normal É de suma importância a compreensão do significado físico associado a cada uma destas parcelas. As epressões que se seguem, utiliam os versores tangencial, e t, e normal, e n, do referencial local da trajetória. Uma discussão mais detalhada sobre estes versores bem como os pormenores matemáticos subjacentes à decomposição das parcelas da aceleração podem ser encontrados na secção r e t t e n n Contudo, para facilitar a leitura desta secção relembra-se que em qualquer ponto da trajetória é possível definir dois versores: o primeiro destes versores, e t, é tangente à trajetória e tem o sentido do movimento; o segundo versor, e n, é perpendicular ao primeiro e aponta para o centro de curvatura da trajetória, no ponto em questão. A componente tangencial da aceleração tradu a variação do módulo da velocidade, t = dv e t (2.6) ou seja, se eiste aumento ou redução (do valor) da velocidade. De facto, note-se bem que na epressão anterior não se está a derivar o vetor velocidade,, mas sim a sua norma, v. Assim, dv > 0 implica um aumento de velocidade, enquanto que dv < 0 corresponde necessariamente a uma redução de velocidade. Por sua ve, a componente normal da aceleração, dada por, n = v2 R e n (2.7) Figura 2.4: Representação dos vetores posição, velocidade e aceleração num ponto da trajetória Eemplo: para uma melhor compreensão dos conceitos de aceleração tangencial e aceleração normal, apresenta-se um caso prático. Num veículo em movimento, pode dier-se que a componente tangencial da aceleração é controlada pelo travão e pelo acelerador, gerando o primeiro uma aceleração de sentido contrário ao movimento e o segundo uma aceleração com o sentido do movimento; por outro lado, a componente normal da aceleração relaciona-se com o sistema de direcção do veículo, uma ve que conforme o próprio nome indica este sistema permite alterar a direcção do movimento.

4 26 introdução à dinâmica dos corpos rígidos mede apenas a taa de variação da direção do vetor velocidade. Note-se que, no caso do movimento retilíneo, o raio de curvatura, R, é infinito. Consequentemente, a componente normal da aceleração é nula e a direcção do vetor velocidade mantém-se constante (de acordo com a trajetória). Para concluir, sintetiam-se na Tabela 2.2 as possíveis alterações registadas no vetor velocidade consoante as características das componentes intrínsecas do vetor aceleração. dv dv dv > 0 = 0 < 0 ganho de velocidade velocidade constante perda de velocidade Tabela 2.2: Alterações no vetor velocidade dependendo das características do vetor aceleração. a n = 0 ; não muda de direção ( = 0) a n = 0 ; muda de direção Espaço percorrido e Deslocamento O espaço percorrido (ou distância percorrida) por um ponto entre dois Nota: o espaço percorrido por uma instantes de tempo, t partícula entre dois pontos corresponde 0 e t 1, é uma grandea escalar positiva que depende necessariamente da configuração da trajetória, podendo ser calspondente à trajetória. ao comprimento total da curva correculada através do seguinte integral (ver secção 1.3.3): t1 s = d r t 0 = t1 v (2.8) t 0 É importante distinguir esta grandea do deslocamento, d. Este último é uma grandea vetorial que não depende diretamente da trajetória, mas sim, das posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo considerado, sendo definido por: d = r(t 1 ) r(t 0 ) (2.9) Movimento relativo de translação de referenciais A r(t 0 ) d r(t 1 ) Figura 2.5: Representação do vetor deslocamento. B Conforme foi referido anteriormente, a noção de movimento não é um conceito absoluto, estando a sua quantificação associada ao referencial adotado cuja origem é considerada fia. Em alguma situações é no

5 cinemática 27 entanto conveniente a adoção de um referencial dito móvel, no qual a origem do referencial acompanha o movimento de uma partícula. Limita-se este estudo aos casos de referenciais móveis sem rotação, i.e., aqueles que conservam as direções originais dos seus eios. Assim, considerando um referencial móvel centrado numa partícula, A, é possível definir a posição de de um outro ponto, B relativamente a A. Representa-se esta posição relativa através da seguinte notação r B/A. Constata-se facilmente que esta posição relativa de B em relação a A pode ser obtida com base nas posições dos dois pontos em relação ao referencial fio (ver Fig 2.6), r B/A = r B r A (2.10) Derivando esta equação consecutivamente em relação ao tempo obtém-se epressões análogas para a velocidade e aceleração relativas, A ra r B/A O r B Figura 2.6: Movimento relativo. B B/A = B A (2.11a) B/A = B A (2.11b) Ao movimento do referencial móvel (,, ) relativamente ao referencial fio (,, ) denomina-se movimento de transporte, sendo consequentemente A e A denominadas de velocidade e aceleração de transporte Coordenadas cilíndricas Eistem diversas situações associadas ao estudo de movimentos planos nas quais se torna conveniente eprimir a posição da partícula recorrendo a um sistema de coordenadas cilíndricas. Recorda-se que neste sistema, a localiação de um ponto no espaço é epressa através de dois parâmetros, (r, θ), respeitando o primeiro à distância do ponto à origem do referencial e o segundo ao ângulo definido pela recta que passa nesse ponto e na origem e a direcção horiontal, conforme ilustrado na Figura 2.7. Assim, o vetor posição de uma partícula que descreve um movimento plano genérico pode ser escrito do seguinte modo: r = r e r (2.12) Movimento Plano: movimento no qual todas as partículas envolvidas se deslocam no mesmo plano ou em planos paralelos entre si. r Figura 2.7: Coordenadas cilíndricas. P θ onde, e r é denominado versor transversal, podendo ser epresso no

6 28 introdução à dinâmica dos corpos rígidos referencial cartesiano (, ) por: [ ] cos(θ) e r = sin(θ) (2.13) e θ r e r P θ e r = 1 cos θ sin θ É igualmente conveniente, definir um segundo versor, e θ, designado de versor radial. Este último obtém-se derivando o versor transversal em ordem ao ângulo θ, e θ = d e r dθ = [ ] sin(θ) cos(θ) d e θ dθ = e r (2.14) Note-se que estes dois versores formam uma base ortonormal ( e r e θ = 0 e r e θ ), sendo que o sentido de rotação de e r para e θ coincide com o sentido crescente do ângulo θ. Atendendo às definições anteriores é possível obter as epressões da velocidade e aceleração em função das coordenadas cilíndricas, derivando sucessivamente o vetor posição em ordem ao tempo 4 : = ṙ e r + r θ e θ (2.15) = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ (2.16) θ e θ são usualmente designadas de velocidade angular e de aceleração angular, respetivamente. Sublinha-se que neste conteto, estas grandeas são do tipo escalar Movimento circular A título de curiosidade, estuda-se agora a utiliação das coordenadas cilíndricas para o caso particular de um movimento circular. Recorda-se que nesta situação, o raio de curvatura da trajetória, r = R, mantém-se necessariamente constante, e que por conseguinte, os termos envolvendo derivadas de r em ordem ao tempo anulam-se. Assim, resultam as seguintes simplificações: Figura 2.8: Representação dos versores transversal e radial num ponto, P, genérico. 4 Na dedução das fórmulas da velocidade e da aceleração, = r = ṙ e r + r( e r ), = = r e r + r( e r ) + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ( e θ ), é necessário determinar a derivada dos versores transversal e radial em ordem ao tempo. Para tal, tira-se partido das seguintes igualdades: e r = dθ d e r dθ = θ e θ, e θ = dθ d e θ dθ = θ e r Sublinha-se que geralmente, estas derivadas não são nulas já que estes versores variam (com o tempo) consoante a posição da partícula. = R θ e θ (2.17) = R θ 2 e r + R θ e θ (2.18) Note-se que neste caso as parcela transversal e radial correspondem, respetivamente, às componentes intrínsecas da aceleração, normal e tangencial: n = R θ 2 e r (2.19) t = R θ e θ (2.20)

7 cinemática 29 Mais, atendendo ao facto de que a norma da velocidade é dada por, v = R θ θ = v R (2.21) É possível recuperar a definição apresentada inicialmente na secção para a componente normal da aceleração: n = v2 R e r (2.22) O sinal de menos que surge nesta equação deve-se ao facto do versor e r não apontar para o centro de da trajétoria, mas sim no sentido oposto.