ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 2. < arg z < π}.

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1 Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR LOGARITMOS E INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES COMPLEXAS Logaritmos () Para cada um dos sguints conjuntos Z C, sboc o conjunto dos sus logaritmos. (a) Z = { C : > }; (b) Z = { C : R() > }; (c) Z = { C : < <, π Dfinição d Intgral W = {w C : w Z} < arg < π}. () Calcul pla dfinição o intgral d f() = ao longo da curva d = para = qu consist m: (a) smicircunfrência paramtriada por = + iθ, π θ π; (b) sgmnto ral paramtriado por = x, x. Expliqu porqu é qu as rspostas a (a) (b) têm qu sr iguais. (3) Calcul pla dfinição o intgral d f() = π π ao longo da frontira do quadrado com vértics nos pontos,, + i i, prcorrida uma v no sntido positivo. Fórmulas Intgrais Torma d Cauchy (4) Mostr qu d ( ) =, n+ para qualqur intiro positivo, n, para qualqur curva fchada simpls,, nvolvndo uma v no sntido positivo. Rsolução: Pla fórmula intgral d Cauchy, f() d πi = ( ) n+ n! f (n) ( ), para qualqur intiro positivo, n, para qualqur curva fchada simpls,, nvolvndo uma v no sntido positivo, com f uma função anaĺıtica numa rgião simplsmnt conxa contndo. Quando f() =, C, tm-s f (n) () =, C, n =,,..., obtém-s d ( ) n+ =.

2 AMIV FICHA SUPLEMENTAR (5) Calcul os sguints intgrais complxos sobr a circunfrência d raio cntrada na origm prcorrida uma v no sntido positivo. (a) d para n =,, 3,... n (b) d. (6) Sja a circunfrência d raio cntrada na origm prcorrida uma v no sntido positivo. Calcul os sguints intgrais: (a) cos( sin ) d ; (b) (c) (d) + i d ; sin ( + 5i) d ; cos ( i) 9 d. Rsolução: (a) A função cos( sin ) é anaĺıtica m C. Plo torma d Cauchy, cos( sin ) d =. (b) A função é anaĺıtica m C. Pla fórmula intgral d Cauchy, + i d = πi = πi i. = i (c) A função é anaĺıtica, por xmplo, num disco d raio 4 cntrado na origm o (+5i) qual contém. Plo torma d Cauchy, sin ( + 5i) d =. sin (d) A função cos é anaĺıtica m C. Pla fórmula intgral d Cauchy, cos πi d 8 d = (cos ) ( i) 9 8! d8. =i Como d4 cos = cos, tm-s d 4 d 8 (cos ) d8 = cos i = +. =i

3 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 3 Logo, ( cos πi d = + ) ( i) 9 8!. (7) Calcul os sguints intgrais complxos sobr a circunfrência d raio cntrada na origm prcorrida uma v no sntido positivo. (a) d para n =,, 3,... ( ) n (b) Séris d Laurnt ( ) sin d. π (8) Mostr qu o dsnvolvimnto m séri d Laurnt = + +! + 3! + 3 4! +... é válido para < < +. Rsolução: Para qualqur C, val o sguint dsnvolvimnto = + +! + 3 3! Logo, para qualqur, é válido o sguint dsnvolvimnto ( ) = + +! + 3 3! +... = + +! + 3! + 3 4! Est tm qu sr o dsnvolvimnto m séri d Laurnt m torno d válido para < < +, porqu o dsnvolvimnto d qualqur função anaĺıtica m potências (positivas ou ngativas) d ( ) válido numa dtrminada coroa circular é único. Comntário: O trmo válido significa qu o dsnvolvimnto é convrgnt convrg para a função m causa. (9) Dtrmin os dsnvolvimntos m séri d Laurnt da função f() = m torno dos sguints pontos: (a) = (b) =.

4 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR Rsolução: (a) Para <, tm-s = = k = k= k, ond s usou a soma da séri gométrica d raão com <. Est dsnvolvimnto val para qualqur com <, plo qu é ncssariamnt a séri d Taylor m torno d, a qual nst caso é também a séri d Laurnt. Para >, tm-s = = k= k, ond s usou a soma da séri gométrica d raão com <. Est dsnvolvimnto val para qualqur com >, plo qu é a séri d Laurnt m torno d para a coroa < <. (b) Para, tm-s = +. Est dsnvolvimnto val na coroa < <, plo qu é ncssariamnt a séri d Laurnt m torno d nssa coroa. Comntário: Para qualqur função anaĺıtica f, xist um único dsnvolvimnto m potências (positivas ou ngativas) d válido m cada coroa circular, r < < r, contida do domínio d f. k= Singularidads, Rsíduos, Etc. () Sja f a função dfinida por f() = ( ) + sin. (a) Dtrmin o domínio d f, indiqu os pontos ond a função é anaĺıtica classifiqu as suas singularidads. (b) Calcul os rsíduos d f nssas singularidads. (c) Calcul o intgral d f ao longo da circunfrência d raio 3 cntrada na origm prcorrida uma v no sntido positivo. (d) Dtrmin os valors possívis para o intgral d f sobr curvas fchadas simpls contidas no domínio d f. () Dtrmin o raio d convrgência do dsnvolvimnto d f m séri d potências d i, sm calcular os coficints dss dsnvolvimnto. Rsolução: (a) A função f stá dfinida é anaĺıtica smpr qu o dnominador não s anular, ou sja smpr qu. Assim, o domínio d f é C \ {, }. A singularidad = é um pólo duplo porqu o limit xist não é ro. [ lim f() ] = lim ( ) + sin =

5 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 (b) A singularidad = é um pólo simpls porqu o limit ( ) lim [( )f()] = lim + ( ) sin = 4 xist não é ro. [ ( d Rs f = lim d )] ( ) + sin = ( ) lim ( ) + sin + cos ( ) Rs f = [ ( )] lim ( ) ( ) + sin = 3 4. ( = lim + ( ) sin ) = 4. Comntário: O limit nvolvido no cálculo do rsíduo só coincid com o limit usado no cálculo para a dtrminação do tipo d singularidad no caso d pólos simpls. Para outras singularidads os limits são difrnts, como s nota aqui no caso d =. (c) A circunfrência d raio 3 cntrada na origm nvolv as singularidads. Plo torma dos rsíduos, ( ) ( ) + sin d = πi (Rs f + Rs f) ( ) = πi = 3 πi. (d) Para fitos do intgral d f, há quatro tipos d curvas fchadas simpls contidas no domínio d f prcorridas no sntido positivo: (i) curvas qu não nvolvm qualqur das singularidads, (ii) curvas qu nvolvm =, mas não nvolvm =, (iii) curvas qu nvolvm = mas não nvolvm =, (iv) curvas qu nvolvm ambas as singularidads = =. Plo torma dos rsíduos (ou torma d Cauchy fórmula intgral d Cauchy), os intgrais ao longo dssa curvas são: (i), (ii) πi Rs f = 3 πi, (iii) πi Rs f = πi, (iv) πi (Rs f + Rs f) = 3 πi. As curvas dos tipos smlhants mas prcorridas no sntido oposto dão valors simétricos para o intgral. Logo, há os sguints st valors possívis para o intgral d f sobr curvas fchadas simpls contidas no domínio d f:, 3 πi, 3 πi, πi, πi, 3 πi, 3 πi. Comntário: S as curvas não form simpls, i.., pudrm intrsctar-s a si próprias, ntão o intgral pod assumir valors qu sjam combinaçõs com coficints intiros dos st númros acima. Por xmplo, sobr uma curva qu nvolva = com d voltas no sntido positivo qu não nvolva =, o intgral srá igual a 5 πi. () O torma da séri d Taylor garant qu a séri d Taylor d f m torno d i convrg m qualqur disco cntrado m i ond f sja anaĺıtica; o maior disco (abrto) nstas

6 6 AMIV FICHA SUPLEMENTAR condiçõs tm raio. Logo, o raio d convrgência dsta séri d Taylor é plo mnos. Sobr a circunfrência d raio cntrada m i xist um ponto singular, =, ond o limit d f é infinito, msmo quando s toma o limit com <. Como a séri d Taylor d f coincid com f no disco <, conclui-s qu a séri d Taylor d f divrg m =. Portanto, é o raio do maior disco (abrto) ond a séri d Taylor d f m torno d i convrg, ou sja, é o raio d convrgência da séri d Taylor d f m torno d i. Comntário: Est tipo d argumnto val quando a(s) singularidad(s) mais próxima(s) do cntro da séri são pólos ou singularidads ssnciais. S = foss uma singularidad rmovívl, a séri já podria convrgir para raios maiors msmo qu não convrgiss para os valors da função. Por xmplo a séri d Taylor da função {, < f() =, m torno da origm é a séri usual da xponncial, tm raio d convrgência +, mas só coincid com a função para <. () Sja f a função complxa dfinida por f() = ( ) +. (a) Dtrmin classifiqu as singularidads d f. (b) Dtrmin o dsnvolvimnto d f m séri d Laurnt válido na coroa < <. (c) Utili o torma dos rsíduos para calcular o intgral d f ao longo da circunfrência d raio cntrada m = prcorrida uma v no sntido positivo. (d) Dtrmin o raio d convrgência do dsnvolvimnto d f m séri d Taylor m torno d = i, sm calcular os coficints dss dsnvolvimnto. () Considr a sguint função u : R R: u(x, y) = x 3 + y 3 3xy(x + y) (a) Mostr qu u é uma função harmónica. (b) Dtrmin a função v tal qu f = u + iv é anaĺıtica (uma tal função di-s uma harmónica conjugada d u) tal qu v(, ) =. (c) Calcul f() d, ond f() = u(x, y) + iv(x, y), = x + iy é a curva { C : = } prcorrida no sntido positivo. (3) Sja f a função complxa dfinida por f() = ( )( ). (a) Dtrmin o dsnvolvimnto d f m séri d Laurnt válido na coroa < <.

7 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 7 (b) Utili o torma dos rsíduos para calcular o intgral d f ao longo da circunfrência d raio cntrada m = prcorrida uma v no sntido positivo. (c) Dtrmin o raio d convrgência do dsnvolvimnto d f m séri d Taylor m torno d = i, sm calcular os coficints dss dsnvolvimnto. Aplicaçõs ao Cálculo d Intgrais Rais (4) Sja R a curva fchada simpls dada pla frontira do smi-círculo, D R = { = ρ iθ C ρ R, θ π}, d raio R >, prcorrida no sntido positivo. (a) Calcul o sguint intgral: (b) Mostr qu ΓR i R i + d. + d Rπ R, ond Γ R é a sub-curva d R dada pla smi-circunfrência (c) Prov qu { = R iθ C θ π}. + cos x x + dx = π. Sugstão: Aĺınas (a) (b). Rsolução: (a) A função f() = i + tm apnas uma singularidad na rgião limitada por R: = i é um pólo simpls porqu é um ro simpls do dnominador d f. Plo torma dos rsíduos, R i + d = πi Rs i if = πi + i = π =i. (b) Sobr Γ R é válida a sguint majoração do módulo d f: i + = i + R porqu i = Im + = R. O comprimnto da smi-circunfrência Γ R é πr. Logo, ΓR i + d R πr = Rπ R. (c) O intgral da aĺına (a) é constant m R, para R >. No limit, π = lim R + i R + d +R cos x+i sin x = lim R + R dx + lim x + R + Γ i R + d

8 8 AMIV FICHA SUPLEMENTAR O intgral +R sin x R dx é ro porqu a intgranda é uma função ímpar. Pla majoração da aĺına (b), lim x + R + ΓR i + d lim Rπ R + R =, consquntmnt, Conclui-s qu π = lim R + ΓR i +R lim R + R (5) Sja f a função dfinida por + d =. cos x + x + dx = f() = 4 + (a) Utili o torma dos rsíduos para calcular R 4 + d ond R é a frontira do smicírculo cos x x + dx. D R = { C : < R, Im > } d raio R > prcorrida uma v no sntido positivo. (b) Mostr qu ΓR 4 + d πr3 R 4 ond Γ R é a porção d R corrspondnt à smicircunfrência. (c) Utili o rsultado das aĺınas antriors para calcular x x 4 + dx (6) Considr a função f() = 4 + (a) Us o torma dos rsíduos para calcular o intgral 4 + d ond é a circunfrência { C : = } prcorrida uma v no sntido positivo. (b) Aprovit o rsultado da aĺına antrior para calcular o intgral π + sin θ dθ

9 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 9 Rsolução: (a) As singularidads da função intgranda são os ros do polinómio 4 + : 4 + = = ± 4 = 5 ± 4 = ± 5 ± 4 Dsts quatro pontos, os qu s ncontram no intrior do contorno d intgração são = ± 5 4 ambos sts pontos são polos simpls da função intgranda. Tmos ( f() = lim 5 ) 4 f() Rs = 5 4 analogamnt, = lim = Rs = 5 4 f() = 8 6 Portanto, plo torma dos rsíduos, R ( 5 4)( ) πi 4 d = = πi 4 (b) Tmos = { iθ : θ π}. Como concluímos qu dfinindo s tm sin θ = iθ iθ i g() = + g( iθ ) = ( i ) + sin θ O intgral d g sobr a circunfrência não é ainda o intgral qu qurmos calcular porqu ao substituir na dfinição d intgral, s obtém π g()d = g( iθ )i iθ dθ Mas para liminar o trmo i iθ basta dividir g() por i. Assim, concluímos qu π + sin θ = d ) i + ( i

10 AMIV FICHA SUPLEMENTAR Como ( i + ( i ) ) = i( 4 ( + )) 4 = i( 4 + ) da aĺına antrior concluímos qu π + sin θ = 4 πi = π i 4 3 (7) (a) Dtrmin classifiqu todas as singularidads d f() = 4 + ( ). (b) Utili o torma dos rsíduos para calcular 4 + ( ) d, ond é a curva { C : = } prcorrida no sntido positivo. (c) Aprovit o rsultado da aĺına antrior para calcular π cos(θ) cos(θ) dθ.